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误差理论与测量平差基础. 复习 主讲：王华. 第一章 绪论. 观测误差. 测量（观测）数据： 用一定的仪器、工具、 传感器或其它手段 采集、获取反映地球或其他实体空间分布有关信息的数据，包含 信息 和 干扰或误差 两部分。 信息 就是 有用的数据 ， 干扰 也称为 误差 。 测量误差 ： 对某量进行测量时，其测量结果（即 观测值 ）与该量客观存在的真正 大小（即真实值）或理论上应满 足的数值 （即应有值）之间 的差异 。 真实值和应有值通称 真值 ，从概率与数理统计的观点看就是观测值的数学期 望. 观测误差的分类.
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误差理论与测量平差基础 复习 主讲：王华
观测误差 • 测量（观测）数据：用一定的仪器、工具、传感器或其它手段采集、获取反映地球或其他实体空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰或误差两部分。信息就是有用的数据，干扰也称为误差。 • 测量误差：对某量进行测量时，其测量结果（即观测值）与该量客观存在的真正大小（即真实值）或理论上应满足的数值（即应有值）之间的差异。 • 真实值和应有值通称真值，从概率与数理统计的观点看就是观测值的数学期望
观测误差的分类 • 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，但就大量误差总体而言，具有一定的统计规律。 • 系统误差：在相同的观测条件下作一系列观测，误差在大小、符号上保持系统性，或在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。 • 粗差：明显歪曲测量结果的误差（粗大误差），指比在正常观测条件下所可能出现的最大误差还要大的误差，通俗的说，粗差要比偶然误差大好几倍。
多余观测与不符值 • 必要观测（t）：确定某些未知量所必需进行的观测。如测定一条边长，只需丈量一次；确定某三角形的形状，只需测定任意两个内角即可。 • 多余观测（r）：确定某些未知量所进行的观测中多于必要观测的观测。如测量某边n次，就多余了n－1次观测；确定某三角形的形状，测量了三个内角，多余了一次观测。（作用：发现粗差；提高精度） • 不符值（或闭合差）与多余观测：由于有了多余观测，才使得各次观测偶然误差引起的矛盾得以暴露。
偶然误差的特性小结 • 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零； • 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； • 绝对值相等的正负误差出现的概率相同； • 偶然误差的数学期望为零。
精度 • 精度:指误差分布的密集或离散的程度,也就是指离散程度的大小。 • 假如两组观测成果的误差分布相同,便是两组观测成果的精度相同；反之,若误差分布不同,则精度也就不同。 • 在相同的观测条件下所进行的一组观测,由于它们对应着同一种误差分布,因此,对于这一组中的每一个观测值,都称为是同精度观测值。
衡量精度的指标 • 方差与中误差 • 平均误差 • 或然误差 • 极限误差 • 相对误差：中误差与观测值之比 △限=3σ
协方差传播律 • 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 • 协方差传播律：阐述观测值与其函数之间方差或协方差传播规律的关系式。
小结 • 协方差传播律：观测值向量X=[X1,X2, …，Xn],其协方差阵为
例3-2：设X为独立观测值L1、L2和L3的函数 已知L1、L2和L3的中误差是 求函数的中误差。 解：因为L1、L2和L3是独立观测值，所以有
思考：协方差如何影响误差传播？ 例3-3：设在测站A上，已知 ，设无误差， 观测角1和2的中误差 ，协方差 求角x的中误差
例3-5：设有函数，已知X和Y的协方差阵和，X关于Y的互协方差阵为，求Z的方差阵和Z关于X及Y的互协方差阵。例3-5：设有函数，已知X和Y的协方差阵和，X关于Y的互协方差阵为，求Z的方差阵和Z关于X及Y的互协方差阵。 解： 由协方差传播律得： 由此得： X、Y可写成 若X、Y独立，则：
三、非线性函数的情况 • 设有观测值X的非线性函数Z=f(X),已知X的协方差阵为DXX，需求Z的方差DZZ。 • 解：假定X的近似值 在X°处按台劳级数展开，并略去二次以上各项，则得 令： 得:
令 则有： • 因为，求DZZ时只要求出K即可，所以，可以用求全微分的方法得到K，再用协方差传播定律求出函数的方差。 • 由以上推导知，求非线性函数的方差—协方差矩阵比求线性函数的方差—协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。
协方差传播律计算规则 • 按要求写出函数式 • 对函数式求全微分 • 将微分关系写成矩阵形式 • 应用协方差传播律求方差或协方差阵 练习：习题集P5:3.2.07
一、权的定义 • 权是表示观测值方差之间的比例关系的数字特征，是表征精度的相对数字指标。 • 设有一系列观测值Li（i=1,2, …,n)，它们的方差是σi，如果选定任意常数σ0，则观测值的权定义为： • 各观测值权之间的比例关系 • 对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，方差越小，权值越大，精度越高。 • 权值的大小与σ0有关，但各权的比例关系不变
定权的注意事项 • 选定了一个值 ，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的 值。 • 一组观测值的权，其大小与 有关，但权之间的比例关系不变, 即 • 在同一个问题中只能选定一个 值，否则，破坏了权之间的比例关系 。 • 只要事先给定一定的观测条件，就可以确定出权的数值。
二、单位权中误差 • 单位权：权值为1的权。 • 单位权中误差：权为1的观测值的中误差，即中误差等于σ0。 • 单位权观测值：权等于1的观测值。 • 单位权方差因子：即σ02 • 权的量纲： • 在确定一组同类元素观测值的权时，选取的单位权中误差的单位与观测值中误差的单位一致，所定出的一组权是无量纲的数值，即此时的权无单位。 • 在确定一组含有两种及其以上不同元素观测值的权时，如角度和长度，若选取的单位权中误差的单位是秒，则角度观测值的权是无量纲的，而长度观测值权的量纲则是“秒2/mm2”或其它形式。
一、协因数 • 权是一种比较观测值之间精度高低的指标，可以用权来比较各个观测值函数之间的精度，也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。 • 由权的定义可知，观测值的权与方差成反比。 • 对于观测值Li和Lj 或 Qii和Qjj是观测值Li和Lj的协因数（权倒数） Qij是观测值Li 和 Lj的互协因数（互相关权倒数） pij是观测值Li 和Lj的相关权。 Qii是比较观测值精度高低的一种指标 Qij是比较观测值间相关程度的一种指标
二、协因数阵 • 将协因数的概念扩展到对于观测向量X、Y，则：
二、协因数阵 • QXX和QYY为X和Y的协因数阵（权逆阵） • QXY为X关于Y的互协因数阵(相关权逆阵） • QXX中的对角元素是各个Xi 的权倒数 • 非对角元素是Xi 关于Xj（i≠ j )的相关权倒数 若 X/Y互相独立
三、权阵 • 一个观测值的权与协因数互为倒数 • N个观测值组成的向量X的权阵为： • 权阵为对称方阵，且 • 协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为逆矩阵
三、权阵 • 相关观测值的协方差矩阵、权阵、协因数阵的关系 观测值相关时，协因数阵和权阵不是对角阵， 协因数阵主对角线上的元素为观测值的权倒数， 权阵主对角线上的元素不是该观测值的权， 权阵的各个元素不再具有权的含义了。 例题3-10 已知L1/L2的协因数阵 求其权阵及各观测值的权 解：L的权阵为： L1的权为：
线性函数协因数传播律 协因数传播律的表达形式与协方差传播完全相同，所以将两者合称为广义传播律。 综合练习题讲解
图4-2 常用几何模型的必要观测数 • 确定两点间的距离：t=1 • 确定两点连线的方向：t=1 • 确定一点的高程：t=1 • 确定一点的平面坐标：t=2 • 确定一点的三维坐标：t=3 • 有m个待定点的水准网：t=m • 有m个待定点的平面导线（网）：t=2m • 有m个待定点的三角网：t=2m • 有m个待定点的三维导线（网）：t=3m
函数模型的定义 • 函数模型是描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 • 函数模型一般分为几何模型和物理模型 • 未知量的选择视实际平差问题而定，可以是观测量的真值，也可以是t个独立参数 • 观测方程：描述观测量与t个独立未知参数之间关系的函数
非线性函数的线性化 • 设有函数 • 为了线性化，需要取参数的近似值XO • 同时考虑到 • 按台劳公式展开时略去二次和二次以上的项，只取至一次项，则有
一、随机模型 • 随机模型：描述平差问题中随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。 • 观测不可避免地带有偶然误差，观测量是随机变量，描述随机变量的精度指标是方差或中误差（标准差），描述两个随机变量之间相关性的是协方差，方差、协方差是随机变量的统计性质。 • 对于观测向量L，其随机模型是指L的方差-协方差阵 • 测量平差中一般认为观测量是随机量，参数是非随机量
二、数学模型 • 平差的数学模型包含函数模型和随机模型两部分，函数模型给出的观测值与未知量间的函数关系，顾及观测值的先验方差和协方差，确定观测值的协因数阵或权阵，按最小二乘原理作出未知量的最佳估计值。 • 条件平差数学模型 其中 • 间接平差数学模型 其中 高斯-马尔科夫模型， 简称G-M模型
二、数学模型 • 附有参数的条件平差数学模型 其中 • 附有限制条件的间接平差数学模型 其中
上述的平差函数模型都是用真误差 和未知量真值 表达的，真值是未知的，按最小二乘原理平差可求出它们的最佳估值，即 V是的平差值，称为改正数，在讨论V的统计性质时又称V为残差。 的平差值，它是X0的改正数。 在以后各章中，通常以平差值直接代替真值，为此，平差模型为： 1、条件平差： 作业题—4.2.09; 4.2.11 2、间接平差： 作业题—4.3.13; 4.3.14 3、附有参数的条件平差： 4、附有限制条件的间接平差：
二、最小二乘原理 • 最小二乘法 匀速运动的质点在时刻τ的位置y表示为： 为了得到 ，观测了一组i和yi，由上式可以得到一组改正数： 令： 则误差方程可以写为： 间接平差函数模型
问题：用什么准则来对参数进行估计？ • 最小二乘原理 • 或
最小二乘估计与极大似然估计 • 极大似然法是数理统计中求母体参数点估计的一个常用方法，这种方法的主要想法是这样的：如果在一次观测中，某一事件出现了，那么，可以认为此事件出现的可能性是很大的。因此，自然希望所取的参数，能使相应的子样出现的概率为最大。这种在要求子样出现的概率为最大的前提下，来求未知参数估计量的方法称为极大似然法。 • 设L1，L2，…Ln是一组相互独立的观测值。 Li服从正态分布。 • 由极大似然估计准则知，其似然函数（即L的正态密度函数）为 或：
按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的 作为μL的估值量。上式右边第一项是常量，第二项前是负号，只有当该项取得极小值时lnG才能取得极大值，亦即的估值量V应满足如下条件： 考虑到 ，上式等价于 极大似然估计与最小二乘估计结果一致。
条件平差模型 • 函数模型 或 • 随机模型 • 平差准则 条件方程个数等于多余观测数r=n-t r<n，改正数条件方程不能求得V的唯一解 条件平差就是要求在满足r个条件方程的情况下，按最小二乘原理求V的最或然值，从而求出观测量的最或然值（条件极值问题）
公式汇编 条件平差的函数模型和随机模型是 条件方程: 法方程： 改正数方程： 观测量平差值： 平差值函数： 权函数式为 单位权方差的估值： 平差值函数的方差：
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 • 根据平差问题的具体情况，列出r个相互独立的条件方程。 • 根据条件式的系数和闭合差及观测值的权组成法方程，法方程的个数等于多余观测数 r。 • 解算法方程，求出联系数 K 值。 • 将K代入改正数方程，求出V值，并求出平差值。 • 为了检查平差计算的正确性，将平差值代入平差值条件方程，看其是否满足方程。
图5-1 例5-1 等精度观测了图5-1中的三个内角，观测值： 试按条件平差求三个内角的平差值。 解：n=3,t=2,r=n-t=1,其平差值条件方程为 以 代入上式得改正数条件方程 将条件方程写成矩阵的形式： 设各内角的权相等， ，则有P=I， 法方程的系数阵为 法方程为 3k+9=0，k=-3。 改正数 检验：
例5-2 在图5-2中，A、B为已知水准点，HA=12.013m,HB=10.013m，可视为无误差。为确定C、D点的高程，共观测了四个高差， 高差及路线长如下： h1=－1.004m ，S1=2km，h2=1.516m，S2=1km， h3=2.512m，S3=2km，h4=1.520m，S4=1.520km， 求C和D点的高程。 解：n=4,t=2，r=n-t=2,可列两个条件方程： 将 代入得 令1km观测高差的权为单位权，即 则法方程系数阵为 法方程为 解得ka=－0.35，kb=1.74。
