第二章　集合カバー（その２）

第二章　集合カバー（その２） 作：　牧山幸史

これまでのあらすじ • 現実で遭遇する最適化問題の多くは「ＮＰ困難」 • 厳密解を求めるのに、膨大な計算時間が必要 • 近似解ならば、求めることができるかも。 • 個々の問題に対する近似アルゴリズムを調査する（第Ⅰ部）：第1章：個数版点カバー問題（近似率2）第2章：集合カバー問題

第二章　集合カバー（目次） • 集合カバー問題（グリーディアルゴリズム） • 重み付き点カバー問題（層別化） • 最短拡大ストリング問題

重み付き点カバー問題 • ここでは、重み付き点カバー問題に対して、層別化を用いた２近似アルゴリズムを与える。 • 重み付き点カバー問題（ｐ1）： • 無向グラフ G=(V,E)，各点へのコスト関数 w:V→Q+が入力として与えられて、最小コストの点カバーを求める問題。点カバーとは、 G=(V,E)のどの辺に対しても少なくとも一方の端点を含むような点集合 V’⊆Vのことをいう。

重み付き点カバー問題 ２２点カバーとは、すべての辺をカバーする頂点集合のことである３４４３２２コスト９の点カバーが得られた１１２

層別化によるアルゴリズム設計 • アイデア：与えられたグラフの点集合の重み関数を、次数重み付き関数に分割する。 • 次数重み付き関数： • w:V→Q+ を点集合上の重み関数とするとき、各点 v ∈ Vの重み w(v)が、ある定数 cを用いて w(v) = c・deg(v) と表されるとき、 wを次数重み付き関数という。

次数重み付き関数 • 次数重み付き関数は、次のようなよい性質を持つ。 • w:V→Q+ が次数重み付き関数ならば、 w(V) ≦ 2・OPT が成り立つ。 • 証明： • cを w(v) = c・deg(v)を満たす定数とし、Uを Gの最適点カバーとする。 Uはすべての辺をカバーするので、∑v∈U deg(v) ≧ |E| が成り立ち、したがって、 OPT = w(U) ≧ c|E|となる。一方、 ∑v∈V deg(v) = 2|E| であり、 w(V)=2c|E| であるので、証明された。

次数重み付き点カバー問題 ２２次数重み付き関数ならばすべての点を選んでも、コストは OPTの高々2倍４４２２２４１４２

層別化アルゴリズム • c = min{w(v)/deg(v)} • t(v) = c・deg(v)（最大次数重み付き関数） • w’(v) = w(v) – t(v)（残余重み付き関数） • i=0, G0=G, w0=w • Di = { v∈Gi| deg(v)=0 } とおく。 • Gi– Di, w0に対してc, t, w’を計算する。 • Wi = { v∈Gi– Di | w’(v)=0} • Gi+1= Gi – (Wi∪Di), wi+1=w’, i=i+1 • Gi の点がすべて次数 0になったら終了。出力は C=W0∪・・・∪Wi-1,　そうでなければ2.に戻る。

1.0 0.75 0.5 2.0 1.5 1.0 層別化アルゴリズム２２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) ３４４３２２１１２ 0.25

0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 層別化アルゴリズム２２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) ３４４３２２１１２ 1.0

0 層別化アルゴリズム 1.5 ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 2.0 ４ 3.5 2.5 ２ 1.0 G1 1.5

0.75 0.75 0.33.. 3.5 1.25 1.5 層別化アルゴリズム 1.5 ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 2.0 ４ 3.5 2.5 ２ 1.0 G1 c = 0.33.. 1.5

0.66.. 1.0 1.0 0.33.. 0.66.. 0.33.. 層別化アルゴリズム 1.5 ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 2.0 ４ 3.5 2.5 ２ 1.0 G1 c = 0.33.. 1.5

0 層別化アルゴリズム 0.833.. ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 1.0 ４ 3.166.. 1.833.. G2 c = 0.33.. 1.166..

0.4266.. 0.5 3.166.. 1.833.. 層別化アルゴリズム 0.833.. ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 1.0 ４ 3.166.. 1.833.. G2 c = 0.4266.. 次数０になったので切り捨て 1.166..

0.833.. 0.833.. 0.4266.. 0.4266.. 層別化アルゴリズム 0.833.. ２ c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 1.0 ４ 3.166.. 1.833.. G2 c = 0.4266..

0 層別化アルゴリズム c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 0.166.. ４ 2.74 1.4066.. G3 c = 0.4266..

0.166 0.166.. 2.74 0.166 層別化アルゴリズム c = min{w(v)/deg(v)} t(v) = c・deg(v) w’(v) = w(v) – t(v) 0.166.. 0.166.. ４ 2.74 1.4066.. 2.74 0 c = 0.166.. 点がすべて次数０になったので終了 2.5733..

層別化アルゴリズム 出力として出されるのはアルゴリズムの途中で重みが０になった頂点２２３４４３２２１１２

層別化アルゴリズム Di: 次数が０になった頂点 Wi: 重みが０になった頂点 Gk Dk Gk-1 Wk-1 Dk-1 ・・・ G1 W1 D1 G0 (=G) W0 D0 出力 C = W0∪・・・∪Wk-1 G – C = D0∪・・・∪Dk

層別化アルゴリズムの解析 • 層別化アルゴリズムは重み付き点カバー問題に対して、近似保証 2 を達成する。 • 証明： • 出力 Cは G の点カバーである • w(C) ≦ 2・OPT の順で説明する。

層別化アルゴリズムの解析 • 出力 Cは G の点カバーである • もし、Cが Gの点カバーでないとすると、ある i, jに対して u∈Diかつ v∈Djとなる (u, v)が存在することになる。仮にi≦j とすると、(u, v) は Giに存在することになり、 uが次数０の点であることに反する。 j≦i のときも同様。したがって、Cは G の点カバーである。

層別化アルゴリズムの解析 2. w(C) ≦ 2・OPTの証明（前半） • C* を最適な点カバーとし、 w(C) ≦ 2・w(C*) となることを証明する。 • アルゴリズムの各繰り返しで得られる tを順番に t0, t1, ..., tk-1と表すことにする。 • 点 v∈Cに対して、v∈Wjとすると、w(v)=∑i≦jti(v)が成り立つ。 • 点 v∈G–C に対して、v∈Djとすると、w(v)>∑i<jti(v)が成り立つ。

層別化アルゴリズムの解析 2. w(C) ≦ 2・OPTの証明（後半） • ところで、各 iに対して、C∩Gi=Wi∪・・・∪Wk-1および C*∩Giは点カバーである。 • よって、tが次数重み付き関数であることから、ti(C∩Gi) ≦ ti(Gi) ≦ 2・OPT ≦ 2・ti(C*∩Gi) が成り立つ。 • したがって、 w(C) = ∑i=0k-1ti(C∩Gi) ≦ 2・∑i=0k-1ti(C*∩Gi) ≦ 2・w(C*)

重み付き点カバー問題の近似保証の改善 • 重み付き点カバー問題に対して、層別化アルゴリズムが 2 近似アルゴリズムであることを示した。 • 層別化アルゴリズムの近似保証は、よりよい解析を用いれば改善できるか？答え：　できない⇒タイトな例が存在する • 重み付き点カバー問題に対して、よりよい近似保証を持つアルゴリズムは存在するか？

層別化アルゴリズムの近似保証2に対するタイトな例層別化アルゴリズムの近似保証2に対するタイトな例 • すべての点の重みが１の完全二部グラフ Kn,n • アルゴリズムによる出力のコスト＝ 2n • 最適解のコスト OPT＝ n １１１１１１ n ・・・・・・１１

重み付き点カバー問題の近似保証の改善 • 重み付き点カバー問題に対して、層別化アルゴリズムが 2 近似アルゴリズムであることを示した。 • 層別化アルゴリズムの近似保証は、よりよい解析を用いれば改善できるか？答え：　できない⇒タイトな例が存在する • 重み付き点カバー問題に対して、よりよい近似保証を持つアルゴリズムは存在するか？答え：　？？？？

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