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第三章 在數學中發展理解

第三章 在數學中發展理解. 一般數學教育者的共同目標是學生應該理解數學（ Hiebert & Carpenter, 1992）。. 第三章 在數學中發展理解. 建構主義者的學習觀. 第三章 在數學中發展理解. 記憶學習的建構 每一個學習的片段都是獨立的，死記硬背知識幾乎對有用想法網路沒幫助。死記硬背學習是「薄弱的建構」（ weak construction）（Noddings, 1993）。 當用已有的數學想法來創造新數學想法時，形成有用的認知網路。 如果我們同意理解有質化和量化的差別，「她知道嗎？」的問題，將被「她怎麼知道的？她和什麼想法連結？」所取代。.

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第三章 在數學中發展理解

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Presentation Transcript

  1. 第三章在數學中發展理解 • 一般數學教育者的共同目標是學生應該理解數學（Hiebert & Carpenter, 1992）。

  2. 第三章在數學中發展理解 • 建構主義者的學習觀

  3. 第三章在數學中發展理解 • 記憶學習的建構 • 每一個學習的片段都是獨立的，死記硬背知識幾乎對有用想法網路沒幫助。死記硬背學習是「薄弱的建構」（weak construction）（Noddings, 1993）。 • 當用已有的數學想法來創造新數學想法時，形成有用的認知網路。 • 如果我們同意理解有質化和量化的差別，「她知道嗎？」的問題，將被「她怎麼知道的？她和什麼想法連結？」所取代。

  4. 第三章在數學中發展理解

  5. 第三章在數學中發展理解

  6. 第三章在數學中發展理解 • 關係性理解的好處 • 內在獎勵 • 強化記憶 • 較少背誦 • 有助於學習新概念和程序 • 增進解題能力 • 自我生成 • 改善態度和信念

  7. 第三章在數學中發展理解 • 數學知識的類型 • 數學的概念性知識 • 數學的概念性知識（conceptual knowledge）是由內部建構的邏輯關係和心中已有觀念所組成的網路知識的一部分。這也是Piaget所謂的邏輯數學知識（logico-mathematical knowledge）（Kamii, 1985, 1989; Labinowicz, 1985）。對其本質而言，概念性知識是理解的知識（Hiebert & Carpenter, 1992）。

  8. 第三章在數學中發展理解 • 做數學與程序性知識 • 數學的程序性知識在學習和做數學方面扮演很重要的作用。算法的程序幫助我們更容易做例行工作，因此使我們心思集中於更重要的任務。符號是個強而有力的工具，能將數學概念轉換至其他想法；但是，再怎麼熟練的程序使用也不會發展和程序相關的概念知識（Hiebert, 1990）。不斷做長除法並不會幫助學生理解除法的意義。事實上，在特定程序上熟練的學生，對其附加意義之瞭解顯得不情願而勉強。

  9. 第三章在數學中發展理解 • 數學概念的模型 • 數學概念的模型（a model）是指以物體、圖片或者畫圖表示概念，或概念能夠利用到的關係。 • 模型「說明」概念的說法是不正確的。說明意味著，當你看模型時，你可以看見概念的例子。技術上，你用眼睛實際上看見的是這個有形的物體；只有你的心能夠把數學關係加給物體（Thompson, 1994）。一個還沒有建立關係的人，模型不能說明那個人的概念。

  10. 第三章在數學中發展理解 • Lesh、Post和Behr（1987）討論了概念的五種表徵

  11. 第三章在數學中發展理解 • 在教室裡使用模型 • 把模型視為「思考者玩具」或「談論者玩具」 • 1.幫助學生發展新概念或關係。 • 2.幫助學生連結概念與符號。 • 3.評量學生的理解。

  12. 第三章在數學中發展理解 • 不恰當的模型使用方法 • 最常見的模型使用錯誤見於老師命令學生「跟我這樣做」，如此，老師就會把材料拿出來向學生演示怎樣使用它們，學生盲目地跟隨老師；看起來他們好像已理解，讓學生無頭無腦地移動積木和無頭無腦地教他們做分數除法時「顛倒相乘」一樣，都不能促進思考和幫助概念發展（Ball, 1992; Clements & Battista, 1990）。

  13. 第三章在數學中發展理解 • 發展式教學法（a developmental approach） • 1.小孩建立他們自己的知識和理解，我們不能把觀念灌輸給被動學習者。 • 2.每個學習者的知識和理解是獨特唯一的，和其他人不一樣。 • 3.反省性思考是有效學習的一個重要因素。 • 4.有效教學是以學生為中心。

  14. 第三章在數學中發展理解 • 有效教學的策略 • 1.塑造數學環境。 • 2.設計有用的數學課業。 • 3.建立合作學習小組。 • 4.使用模型和計算器作為思考工具。 • 5.鼓勵對談和寫作。 • 6.要求學生解釋回饋資訊。 • 7.積極聆聽。

  15. 第三章在數學中發展理解 • 書寫作業 • 1.用你的話說明「我們建構自己的知識」與「我們吸收知識」的意義之相異處。 • 2.為什麼我們必須假定每位學童對一個概念知識及其理解都是唯一、獨特的？試提出你的闡釋。 • 3.什麼是反省性思考？為什麼在教室中提升反省性思考是重要的？ • 4.知曉（knowing）概念是對比於理解（under-standing）概念。所謂理解是存在於關係性理解與工具性理解之間的連續性，有何意義？試舉一個數學概念加以說明之。

  16. 第三章在數學中發展理解 • 5.檢核關係性理解之七大好處，你認為哪一個最為重要？描述每一個好處，並且說明為什麼如此重要？ • 6.描述數學的概念性知識與程序性知識，並舉例說明之。 • 7.為什麼說：模型「說明」概念的說法是不正確的？當我們注視模型時，「看到」其概念，是什麼意思？ • 8.模型可視為「思考者玩具」、「測試者玩具」或「談論者玩具」，這意謂著利用模型可幫助學生發展概念。請問如何利用模型幫助學生發展概念？ • 9.在教室裡，使用模型，可幫助學生發展概念外，還有沒有其他目的？

  17. 第三章在數學中發展理解 • 10.教師如何不正確的使用模型教學？ • 11.本章提及七種有效教學策略，請以學生如何學習的觀點，從中選擇最重要的三種教學策略加以說明之。 • 12.本章倡導發展式的教學的四項依據中，為什麼反思性思考是最重要的學習要素？

  18. 第三章在數學中發展理解 • 討論與探究作業 • 1.Labinowicz（1985）說：「我們看到我們所理解的，而不是我們理解我們看到的。」試討論其意涵及其正當性。 • 2.考量你最近的數學教學經驗，試與本章提倡的「發展式教學」加以比較之。你認為你的教學能否反映出建構主義者的學習觀？為什麼是或不是？ • 3.並非每一位教學者都信仰建構主義，通常有這樣的說法：「基本事實及其概念，透過仔細良好規劃課程與有意義的解釋，更能有效率去教學生。」「學生並不要再去發明車輪了。」對於這類學校和學習的感受，你有何回饋反應？

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