§6.4 相对论的时空性质 Space-Time Property of the Special Theory of Relativity

1. §6.4 相对论的时空性质 Space-Time Property of the Special Theory of Relativity

2. 在洛仑兹变换下，空间距离和时间间隔都要发生变化，只有在闵可夫斯基的四维时空中的线元，即间隔才是不变量。对这种时空性质，闵可夫斯基曾有过这样一句名言：“从今以后，空间本身和时间本身都已成为阴影，只有两者的结合才能独立存在”。在洛仑兹变换下，空间距离和时间间隔都要发生变化，只有在闵可夫斯基的四维时空中的线元，即间隔才是不变量。对这种时空性质，闵可夫斯基曾有过这样一句名言：“从今以后，空间本身和时间本身都已成为阴影，只有两者的结合才能独立存在”。 本节将详细地讨论狭义相对论的时空性质。

3. 1、相对论时空结构 以第一个事件O为空时原点（0，0，0，0），设第二个事件P的空时坐标为（x, y, z, t )，这两个事件的间隔为： 式中 为两事件的空间距离。 对于任意两个事件，间隔并不一定为零 。因此，可以把间隔分成三类：

4. (1) 若两事件可以用电磁信号（光波）联系，此 时， ； (2) 若两个事件可以用低于电磁信号传播的作 用来联系，此时 (3) 若两个事件的空间距离超过了光波在时间t所传播的距离，此时 为了说明问题的方便，把三种间隔用一个三维时空图形表示出来，事件用一个三维时空点P来表示。

5. ct ·P y o x P点在 xy 面上的投影表示事件发生的地点，P点的垂直坐标表示事件发生的时刻 t 乘以c 。 在四维时空中，任何一个事件都可以用其中

6. 的一个点来表示，这个点称为世界点。事件发展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。由于四维时空的结构由三个区域组成，对于上述三种情况，具体分析它们各自的特点：的一个点来表示，这个点称为世界点。事件发展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。由于四维时空的结构由三个区域组成，对于上述三种情况，具体分析它们各自的特点： (1)若事件P与事件O的间隔是 ，则 ，因此P点在一个以O点为顶点的锥面上，这个锥面称为光锥。凡是光锥上的点，都可以和0点用光信号联系，这类型的间隔称为类光间隔。 (2)若事件P与事件0的间隔是，则，因而P点在光锥之内。这类型的间隔称为类时间隔。 (3)若事件P与事件0的间隔是 ，则，因而P点在光锥之外。这时P点不可能与0点用光信

7. 号或低于光信号的传播速度的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。号或低于光信号的传播速度的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。 间隔的划分是绝对的，不因参考系为而变，这是相对论时空性质中的绝对性。 概括起来，事件P相对于事件0的时空关系可作如下的绝对分类： (1) 类时间隔 a) 绝对将来，即P在0的上半光锥内。 b) 绝对过去，即P在0的下半光锥内。 (2) 类光间隔 P点在光锥面上。 (3) 类空间隔 P与0绝对远离，P点在光锥之外。

8. 2、因果律和相互作用的最大传播速度 如果两个事件有因果关系，那么两事件的先后秩序应该是绝对的，不容颠倒。如播种必在收获之先，人的死亡必在出生之后，因果关系的绝对性反映了事物发展变化的客观事实，与参考系的选择无关。 根据间隔的分类，对于类时间隔，若事件P在O的上半光锥内(包括锥面)，则对任何惯性系P保持在O的上半光锥内，即P为O的绝对未来。因果关系的绝对性。 下面讨论相对论理论在什么条件下才与这个要求一致。 设两事件的时空坐标在∑系中为(x1,t1)和(x2,t2)，在∑’系中为 ，则由洛仑兹变换式，

9. 有 如果两事件有因果关系，而且t2>t1，由于它们的秩序不可颠倒，必须在∑’系中观察时，也有 ，这就说明 必须同号，从形式上看，这就要求： 即

10. 令信号速度u为：（当然这也是物体的运动速度）令信号速度u为：（当然这也是物体的运动速度） 则有 式中：v是两惯性系之间的相对速度，可以用来传递作用，因而可看作为一种作用速度。 上式要成立，即保证事件的因果关系的绝对性，则要求 大量实验事实证实真空中的光速c是物质运动的最大速 度，也是一切相互作用传播的极限速度。

11. 车子 O’. ∑’ 后门 前门 地面 O. ∑ 对于没有因果关系的两事件的先后秩序，在不同的惯性系 看来，是不同的。因为对这两事件来说， 不代表什么速 度，所以它大于c当然是可能的。故因果事件的间隔一定是类时 的，而类空间隔的两事件一定没有因果关系。 3、同时的相对性 定性描述： 一个作匀速运动的车子，其前后两门皆用光信号控制其开和关。

12. 在车厢中o’与地面上o点相遇时发一光信号，在与车厢相对静止的∑’系中的观察者看来，由光速不变原理，光信号必然同时到达前、后门，所以看到的是前、后门同时开启。在车厢中o’与地面上o点相遇时发一光信号，在与车厢相对静止的∑’系中的观察者看来，由光速不变原理，光信号必然同时到达前、后门，所以看到的是前、后门同时开启。 但∑系观察者看来，因光往前、往后的传播速度都是c (光速不变原理），而前、后门又都以速度 前进，所以从∑系看到的是光信号相对于后门的传播速度是(c+v)，相对于前门的传播速度是(c-v)，因此后门先开、前门后开。 开门是一个事件，开前门与开后门则是两个 事件，从∑’系看来，这两个事件是同时事件；从∑系看来，这两个事件是不同时事件。这就是同

13. ∑ ∑’ M’ a’ b’ o’ x’ o x 时的相对性。 定量描述： 一物体a’b’随∑’系一起运动，M’处于a’b’的中点上，在M’点发一光脉冲，在∑’系看来，光信号将同时到达a’和b’ ，即，这两个事件用 和

14. 表示，那么在∑系中，两个事件用 和 是否也观察到光信号同时到达a’,b’ 呢？ 根据Lorentz变换式： 这就说明：在∑系看来，信号不是同时到达a’和b’点，

15. t2的读数大于t1的读数，即t1时刻在先，t2时刻在后，即信号是先到a’点，后到b’点。t2的读数大于t1的读数，即t1时刻在先，t2时刻在后，即信号是先到a’点，后到b’点。 由此得到结论：若两个事件在某一参考系中为同时异地事件，那么根据洛仑兹变换式，在其他参考系中这两个事件就不是同时的。这就是同时的相对性。 相对论效应在于，在一参考系中不同地点上对准了的时钟，在另一参考系上观察起来会变为不对准的，这就是同时相对性的意义。

16. 4、运动时钟的延缓—时间间隔的相对性 现在来讨论：在不同的惯性系中观察同一物质运动过程所经历的时间，其结果是否相同？ 设物体内部相继发生两件事（如分子振动一个周期的始点和终点）。设在∑’系为该物体的静止坐标系，则两事件发生的时刻为t1’和t2’，发生在同一地点x’，因此两事件的间隔为： 在∑系上观察该物体以速度v运动，则两事件的时空坐标为(x1 ,t1),(x2 ,t2)，两事件的间隔为：

17. 间隔不变性

18. 这表明：在不同惯性系中，同样两个事件之间的时间间隔是不同的。一个运动物体上 发生的自然过程比静止物体 同样过程延缓了相对论的这一运动学效应称为运动时钟延缓，或称Einstein延缓。 由此得到结论：运动的时钟所指示的时间间隔比静止的时钟所指示的时间间隔要小。换句话说：运动的钟比静止的钟走得慢一些。 当局限于匀速运动时，时间延缓效应是相对的。 5、运动尺度的缩短—空间距离的相对性 测量物体的长度往往就是用一根尺子去和物体比较，看物体的两端与尺子上哪两点重合，关键在于必须对物体的两个端点进行同时测量。测量物体每一端的坐标都是一个事件，同时测量意味着是同时事件。

19. ∑ ∑’ l0 o’ x’ o x B(x2) t2 A(x1) t1 设在∑’系内有一根平行x’轴的静止的杆，在∑’系的观察者观测，杆的后端坐标为 ，前端坐标为 ，杆相对于∑’系的观察者没有运动。因此， ∑’系的观察者测得杆长为 ，即物体的静止长度。

20. 在∑系测量，杆后端在t1时刻与x轴上的A点重合，A点的坐标为x1，前端在t2时刻与x轴上的B点重合，B点的坐标为x2，由于测量是同时的，则∑系观察者观测到杆的两端与x轴的A、B两点重合是同时的，即t1=t2。测得杆的长为在∑系测量，杆后端在t1时刻与x轴上的A点重合，A点的坐标为x1，前端在t2时刻与x轴上的B点重合，B点的坐标为x2，由于测量是同时的，则∑系观察者观测到杆的两端与x轴的A、B两点重合是同时的，即t1=t2。测得杆的长为 根据 Lorentz变换式：

21. 两式相减，即得 由于t2-t1= 0，故有 即

22. 或者 由于 ，所以l<l0，这表明固定在∑’系 中的杆最长，在相对于它的速度 运动的参考系 ∑中，它的长度就减少到 ，相对论的这个结果称为洛仑兹收缩，l0称为固有长度。 由此得出结论：物体沿其长度方向运动时， 其长度即缩短为静止时的 倍。如果物体是任意形状的，那么就是沿运动方向的长度有上述的缩短。 长度缩短效应是相对的。

23. 6、速度变换式 这里，我们要找出某个粒子在一个参考系内的速度与在另一个参考系内的速度之间的变换关系。 假定∑’系相对于∑系以速度v沿着x轴正方向运动，设粒子相对于∑系、∑’系的速度分别为 利用洛仑兹变换，微分得到

24. 用dt’去除dx’，dy’，dz’，则得 即

25. 即

26. 即 也就是：

27. 讨论： a) 速度有三种不同的形式v、 及 则v是∑’系相对于∑系的速度； 是粒子（ ∑”系）相对于∑系的速度； 是粒子（ ∑”系）相对于∑’系的速度； 要使用速度变换式，必须要有三个客体存在，即两个观察者∑和∑’，以及一个粒子（ ∑”系）。 b) 在非相对论极限下c→∞，速度变换式将过渡到经典力学中速度变换式，即

28. 综上所述，相对论的时空性质不承认普适的时间与不变的空间，而认为不同的惯性系有不同的尺和钟。在这个意义上它的时空是“相对”的，但这种相对性并不意味着任何主观任意性。归根到底，它只不过是光速不变性这一客观事实的反映，光速不变性还规定了事件间的“间隔”是绝对的，不随参考系而异，这就是狭义相对论时空观中相对和绝对的统一。综上所述，相对论的时空性质不承认普适的时间与不变的空间，而认为不同的惯性系有不同的尺和钟。在这个意义上它的时空是“相对”的，但这种相对性并不意味着任何主观任意性。归根到底，它只不过是光速不变性这一客观事实的反映，光速不变性还规定了事件间的“间隔”是绝对的，不随参考系而异，这就是狭义相对论时空观中相对和绝对的统一。

29. ∑ ∑’ ∑” l0 B x” O” o’ x’ o x （4）例题 设有两根相互平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为 ，它们以相同的速率 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 l0 A

30. 解: 站在∑系上观察到A尺（∑’系）、B尺（∑”系）的运动速度为 ，根据速度变换公式，得到从A尺（∑’系）测量B尺（∑”系）的速度为 所以在A尺（∑’系）测量B尺（∑”系）的长度为

31. 或者