Геометрия (от греч. «землемерие» ) – наука о

1. Геометрия (от греч. «землемерие») – наука о свойствах геометрических фигур. Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. Основные понятия планиметрии: точка и прямая. m M

2. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в пространстве Основные понятия стереометрии А а 

3. КУБ Тетраэдр D B1 C1 A1 D1 В С A А C D B ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД В1 С1 А1 D1 С В D А

4. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ А 1 :Черезлюбые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.  В А С

5. А 2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.  В А

6. А 3:Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.   а

7. Т 1:Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. а Дано: а ,М  а Q Р Док-ть: (а, М)   М Док-во: 1. Р  а, Q  а 2. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой    (по А 1) 3. По А1 эта плоскость единственная. чтд

8. Т 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. а Дано: а  b = М N b Док-ть: (а, b)   M  Док-во: 1. Nb, М  N 2.  (N, а) ( по Т1) 3. Т.к. М  , N  b  (по А 2)   (а, b)   4. Любая плоскость, проходящая через а и b, проходит через N, т.е. совпадает с   единственность плоскости. чтд

9. Аксиомыстереометрии ABCD - параллелограмм АМ = MD, AK = КВ AD = 14 М А D К Е В С  1. Построить точку пересечения прямой МК и плоскости . 2. Вычислить расстояние от этой точки до точек В и С.

10. Аксиомы стереометрии Точки А, В, С и К не лежат в одной плоскости. К С А В  1. Пересекаются ли прямые АС и ВК? 2. Лежат ли в одной плоскости точки А, К, В? 3. Пересекает ли прямая АС плоскость КВС?

11. Аксиомы стереометрии В пересекающихся плоскостях  и  взяты соответственно точки А и В, которые не лежат на линии их пересечения (прямой с). Точка М лежит на прямой с.  А М с В  1. Построить линию пересечения плоскостей  и (МАВ). 2. Построить линию пересечения плоскостей  и (МАВ).

12. Задача 1. ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат на плоскости . M Дайте ответы на вопросы с необходимыми обоснованиями. 1. Лежат ли в плоскости  точки В и С? 2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D? D С О 60 3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO. В А  4 4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

13. Задача 2. Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. D  МВ, Е  МС, F АВ, AF = FB, P  МА. • Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: • а) МАВ и MFC; М б) MCF и ABC. 2. Найти длину отрезка CF и площадь треугольника АВС. P К 6  АВС – равносторонний, F – середина АВ. Е 3. а) Объясните, как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью АВС. D А С DE ВМС, ВС  ВМС  DE  ВС = К F б) Постройте точку пересечения прямой PD с плоскостью АВС. 6 В PD АВС = R R

14. Задача 3. АВCDА1В1С1D1 - куб, К  DD1, DK = KD1. В1 С1 1. Как построить точку пересечения прямой В1К с плоскостью АВС. 2. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей АВ1К и ADD1. А1 D1 3. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей АВ1К и ADC. В К С 4. Вычислите длины отрезков АК и АВ1, если AD = а а А D Решение: 1. AKD (D = 90) АК2 = AD2 + KD2 ( по теореме Пифагора) P АК = 2. АВВ1 (В = 90), АВ = ВВ1 = а АВ1 =