サンクションの進化モデル

1. サンクションの進化モデル 大浦宏邦 （帝京大学）

2. 問題の所在 • サンクションには通常コストがかかるのに、なぜサンクションが存在しているのか • １次サンクションは普遍的なのに２次以上のサンクションが珍しいのはなぜか。 　→　１次が必要なら２次以上も必要では？ 　　　 ２次が不要なら１次も不要では？

3. 先行研究 • 余りない 　　国家が提供してくれるから？ 　　サンクションなしの回避研究が多い • Henrich and Boyd(2001) 　　高次サンクションになるとコスト低なので 　　若干の同調傾向があれば維持される (J.theor.Biol.208:79-89)

4. 実験的研究 • Fehrら(2002)Nature 415:137-140 　　資源提供とサンクション提供を交互に繰り返す 　　サンクションにはコストが必要 　　試行ごとに被験者の組み合わせを変更 　　同じ相手とは二度と対戦しない 　→　高い確率で非提供者に罰を与えた 　　　＜利他的なサンクション＞と命名 　　　非協力者に対する怒りが至近要因

5. 「非協力者に対する怒り」という心理メカニズムが存在しているらしい「非協力者に対する怒り」という心理メカニズムが存在しているらしい • ２次サンクションがなくても１次サンクションは提供される　→　Boydモデルは不適切 • Gintis(2000)のアイディア　J.T.B. 206:169-179 　　２次ジレンマ以上の淘汰圧はいずれにせよ 　　小さいので、わずかな群淘汰圧があれば 　　１次サンクションは維持されるのでは？ 　→　きちんとモデルを立てて検討

6. モデルの構成 • 舞台設定 　　資源とサンクションの交互提供 • サンクションの学習モデル 　　ロス・エレブ型試行錯誤学習を仮定 • サンクションの進化モデル 　　離合集散群淘汰を仮定 • Priceの共分散法による解釈 　　１次サンクションで必要十分な理由

7. 舞台設定 • ｎ人の資源提供ゲーム（ｎ≧３） • 元手はｂ円。提供すると２倍の額が均等配分。 　　　　　Ｃ(k)＝２ｋｂ/ｎ 　　　　　Ｄ(k)＝２ｋｂ/ｎ＋ｂ　　（ｋは提供人数） • 資源提供ゲーム後、ランダムに一人選んだ他のプレーヤーに罰を与える機会がある • 罰を与えるコストｃ。罰を受けたプレーヤーは２ｃの損失をこうむる。

8. 学習ダイナミクス • ロス・エレブ型試行錯誤学習を想定 • 集団中 i 番目のプレーヤーが資源提供をする確率をｘi、罰を与える確率をｙiとする • 資源提供の学習と罰の学習は独立と仮定 　　　Ｅ[Δｘi]＝ｘi(１－ｘi)(ｕ11i－ｕ12i)/分母　　　 　　　Ｅ[Δｙi]＝ｙi(１－ｙi)(ｕ21i－ｕ22i)/分母　 　ｕ11、ｕ12は資源提供有無時の利得 　ｕ21、ｕ22は罰提供有無時の利得

9. 資源提供の利得 • ｘiの平均をｘ、ｙiの平均をｙとする　→　ｎ人のうち平均してｎｘ人が資源提供 • 罰による利得損失の期待値は２ｃｙ 　　　資源提供者の利得　＝２ｎｘｂ/ｎ＝２ｘｂ 　　　資源非提供者の利得＝２ｘｂ＋ｂ－２ｃｙ 　　よって　ｕ11i－ｕ12i＝２ｃｙ－ｂ　なので 　　Ｅ[Δｘi]＝ｘi(１－ｘi)(２ｃｙ－ｂ)/分母

10. サンクションの利得 • 非提供行動を目撃する確率は(１－ｘ)　→　与罰予定者が実際に罰を与える確率は(１－ｘ) • 負担コストの期待値は(１－ｘ)ｃなので 　　　　　ｕ21i－ｕ22i＝－(１－ｘ)ｃ　 　以上より、学習ダイナミクスは 　　　Ｅ[Δｘi]＝ｘi(１－ｘi)(２ｃｙ－ｂ)/分母　　　(式1) 　　　Ｅ[Δｙi]＝－ｃｙi(１－ｙi)(１－ｘ)/分母　 　(式2)

11. y リャプノフ安定 b/2c 漸近安定 x ダイナミクスの軌道 • ｙiは常に減少 （ｘ＝１のとき定常） • xi は y＞b/2cで増加 y＜b/2cで減少 →ｘ＝１、ｙ＞ b/2cが リャプノフ安定 　ｘ＝０、ｙ＝０が 漸近安定

12. 学習モデルの結論 • サンクションのない状態は漸近安定 　　　この状態になると回復困難 • サンクションがある状態はリャプノフ安定 　　　サンクションのお陰で非提供者がいない 　　→　サンクションの費用が不要 　　→　２次ジレンマが顕在化しない 　★　ただし、摂動に弱いので、非提供者が 　　　　繰り返し現れると、漸近安定点に遷移

13. サンクションの進化モデル • サンクション傾向が遺伝的に継承されると仮定 • 学習ダイナミクスの初期値として定式化 　　　サンクション傾向大　→　ｙi(0)大 　　　サンクション傾向小　→　ｙi(0)小 • たとえば 　　　ｘi(0)＝0.5、ｙi(0)＝0.9　をＡタイプ 　　　ｘi(0)＝0.5、ｙi(0)＝0.1　をＢタイプ 　として、Ａタイプが進化できるかどうか考える

14. y p=1 p=0.8 p=0.6 p=0.4 p=0.2 x Ａ，Ｂ混在時の学習ダイナミクス • Ａの割合をｐとする • ｐ≧0.6のときはリャプノフ安定 • ｐ≦ 0.5のときは漸近安定に収束

15. y Ａタイプ Ｂタイプ x ｐ＝0.6のときのダイナミクス • 収束時、 　Ａタイプは 　　ｙ＝0.71 　Ｂタイプは 　　ｙ＝0.03 ★Ａタイプの方が摂動時に不利（罰のコスト大）

16. 収束時の利得 • ｐ≦0.5のとき　　漸近安定状態に収束 　　　ｕａ＝10 、 ｕｂ＝10 • ｐ≧0.6のとき　　リャプノフ安定状態に収束 　　　Ａタイプの方がサンクション実施確率が高い 　　　　→　Ｂタイプより、εだけ利得が低いとする 　　　ｕａ＝20－ε 、 ｕｂ＝20 　★　単一集団モデルでは、Ａタイプの方が不利

17. 集団が複数の場合 • ５人グループが６つあると仮定 • Ａタイプの人数はそれぞれ０人～５人とする。 • Ａタイプの平均利得 (10×０＋10×１＋10×２＋(20-ε)×３＋(20-ε)×４＋(20-ε)×５)/15＝18－0.8ε

18. Ｂタイプの平均利得 (10×５＋10×４＋10×３＋20×２＋20×１＋20×０)/15　＝12 　これより　ε＜7.5のとき 　　Ａタイプの平均利得＞Ｂタイプの平均利得 ★　Ａタイプのシェアが一様分布しているときには、Ａが有利になりうる

19. 離合集散のある場合 • 集団が時々離合集散すると仮定 • 新しい集団がランダムに創設される 　　→　Ａの人数は二項分布する • 全体集団におけるＡシェアを ｐ 　　集団人数＝５人、ε＝２として、各タイプの 　　平均利得を数値的に計算。

20. 平均利得 Ａタイプ Ｂタイプ ｐ 数値計算の結果 • ｐ＝0.67付近以下でＡタイプの利得がＢタイプを上回る • 遺伝的ダイナミクスを考えると、ｐ＝0.67付近で多形安定

21. 平均利得 非提供 提供 ｐ サンクションのない離合集散モデル • 常に非提供の利得が提供を上回る • サンクションがない場合は、離合集散程度の群淘汰圧では協力は進化できない

22. Priceの共分散法 • i 番目の集団の 　　サイズ　ｓi　　　　　　戦略Ａのシェア　ｆi 　　平均適応度　πi　　とする • 全体集団の 　　サイズ　　ｓ＝Σｓi　　→　ｑi＝ｓi/ｓ　とすると 　　戦略Ａのシェア　ｆ＝Σｓiｆi/ｓ＝Σｑiｆi 　　平均適応度　　π＝Σｓiπi/ｓ＝Σｑiπi

23. 次期の集団サイズ　　ｓi'＝ｓiπi • 次期の全体サイズ　　ｓ'＝Σｓiπi＝ｓπ • 次期の全体Ａシェア　ｆ'＝Σｓi' ｆi' / s' 　　　　　　　　　　　　　　　＝Σｓiπi ｆi' /ｓπ 　　　　　　　　　　　　　 　＝Σｑiπi ｆi' /π • Ａシェアの変化　　Δｆ＝ｆ'－ｆ　　とすると πΔｆ＝πｆ'－πｆ 　　　　　　　　＝Σｑiπi（ｆi＋Δｆi）－Σπｑiｆi 　　　　　　　　＝Σｑi(πi－π)ｆi＋ΣｑiπiΔｆi 　　　　　　　　＝Ｃｏｖ(πi、ｆi)＋Ｅ(πiΔｆi)

24. なぜならば 　　　Ｃｏｖ(πi、ｆi)＝Σｑi(πi－π)(ｆi－ｆ)　かつ Σｑi(πi－π) ＝Σｑiπi－Σｑiπ＝０ • したがって πΔｆ＝Ｃｏｖ(πi、ｆi)＋Ｅ(πiΔｆi) 　　　　　　＝ｒ(πi、ｆi)σ(πi)σ(ｆi)＋Ｅ(πiΔｆi) 集団間淘汰集団内淘汰 ★　利他的戦略の場合　ｒ(πi、ｆi)＞０、Δｆi＜０ 　　なので、σ(ｆi)が十分大きいことが進化の条件

25. サンクションの意味 戦略Ａがサンクション戦略の場合 １）　πΔｆ＝ｒ(πi、ｆi)σ(πi)σ(ｆi)＋Ｅ(πiΔｆi) 　　　　においてΔｆi は０に近い。 ２）　協力行動を促進するのでｒ(πi、ｆi)＞０ 　　→σ(ｆi)が小さな値でも　Δｆ＞０　になりうる 　★　サンクションは集団内淘汰の足を止めつつ協力のエンジンを駆動させることで、協力と共進化できる。