函数极限的统一定义

1. 复习 定理 1 . 函数极限的统一定义 函数极限的性质 唯一性，局部有界性， 保号性， 子列的收敛性

2. 对于任给的 ,由不等式 ，经过一系列适当放大可得 利用函数极限的 定义（或者 定义） 证明 的一般步骤： 解不等式得到 取 （或取正数 )，则当 时(或当 时), 总有 。

3. 说明： 为了证明的方便，也可以限制 以方便进行不等式的放大，得到 再由此得到 最后取 即可。 但要注意这种限制必须按自变量 本身的变化过程来确定，不能随意限制。 最终给出的邻域还应该考虑其是否在定义域中。

4. 时 证明: 当 证: 欲使 只要 可用 且 而 保证 . 故取 时, 则当 必有 因此

5. 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系

6. 一、无穷小 1. 极限为零的变量称为无穷小. 定义1 当 时，有 则称 为 时的无穷小，记为：

7. 例如, 函数 是当 时的无穷小 函数 是当 时的无穷小 数列 是当 时的无穷小 注意 1. 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2. 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 3. 不要将无穷小与负无穷混为一谈.

8. 2. 无穷小与函数极限的关系: ( 时也成立) 定理1 其中 是当 时的无穷小. 证 必要性 设 当 时， 则

9. 2. 无穷小与函数极限的关系: ( 时也成立) 定理1 其中 是当 时的无穷小. 则 充分性 设 当 时， 从而有

10. 2. 无穷小与函数极限的关系: ( 时也成立) 定理1 其中 是当 时的无穷小. 意义 1. 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 2. 给出了函数 在 附近的近似表达式 误差为

11. 二、无穷大 1. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 例如：时， 称 为 时的无穷大. 定义2 当 时，有 则称 为 时的无穷大，记为：

12. 特殊情形：正无穷大， 负无穷大 注意 1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2. 切勿将 认为是极限存在 3. 说无穷小或无穷大，要指明自变量的变化过程. 时是无穷小. 时是无穷大； 4. 无穷大 无界变量

13. 4. 无穷大 无界变量 比较二者定义: 定义 当 时，有 定义 则称 为 时的无穷大. 则称 在 上有界. 否则称无界. 无界：

14. 无界 当k充分大时， 当充分大时， 不是无穷大． 结论：在(0,1]上无界，但当 时，不是无穷大.

15. 例：证明 证 当 时， 说明: 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 .

16. 三、无穷小与无穷大的关系: 定理2 设 证 (1) 当 时， 故当 时， 为无穷小， (1) 证毕.

17. (2) 设 当 时， 意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 故当 时， 为无穷大， (2) 证毕.

18. 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 几点注意: 1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的; 2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.

19. 函数极限的统一定义 当 时，数列 是无穷大的定义 (05期中) 的定义 (04期中)

20. 的定义 (06期中) 在区间I上无界的定义 (07期中) 叙述 的定义 (10期中)

21. 命题1 (2011期中) 命题2 满足 的 , 使得 则命题①是命题②的 充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)非充分也非必要条件

22. 函数 在 处连续, 用 定义 描述就是: 当 时, 恒有 成立. 那么此时取 (2011期中)

23. 第五节 极限的运算法则 一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则

24. 一、 无穷小运算法则 (同一过程中) 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小. 设 证: 仅考虑两个无穷小的和. 当 时 , 当 时 , 有 有 取 则当 时, 有 因此

25. 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小. 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 当 时， 是无穷小 不是无穷小 n个

26. 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 设函数 在 内有界， 即 证 当 时， 恒有 又设 是当 时的无穷小， 即 当 时， 恒有 当 时， 恒有 从而，当 时, 为无穷小.

27. 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 都是无穷小. 例如，当 时， 推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无限个无穷小的乘积？

28. 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ......... 1 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ......... 1 2! 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ......... 1 1 3! 1 1/2 1/3 1/4 ......... 1 1 1 4! 1 1/2 1/3 ......... 1 1 1 1 5! 1 1/2 ......... 1 1 1 1 1 6! 1 ......... ...................................................................... 结论？

29. 2. 极限运算法则 定理3 则 设 定理1 分析：

30. 证 (1) 无穷小 (2) 无穷小 的保号性 局部有界性， (3) 无穷小 利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .

31. 推论1 推论2 推论3 若 且 则 ( P46 定理 5 ) 如果 存在，而 c为常数，则 如果 存在，而 n为正整数，则 提示: 利用保号性定理证明 . 令

32. 定理4. 则有 若 当 时， 提示:因为数列是一种特殊的函数 , 说明: 定理3、4可推广到有限个函数、数列的情形。 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .

33. 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 的渐近线 . 说明 :y = 0 是

34. 例2. 设n 次多项式 试证 证: 例3.设有分式函数 其中 为多项式 , 试证: 证:

35. 例4 解 分子分母都不等于零时，直接代入即得极限。

36. 例5. 不能直接用商的运算法则 . 说明:若 消去零因子法 先约去不为零的无穷小因子，然后再求极限。 x = 3 时分母为 0 !

37. 例6 . 求 解:x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但由于 由无穷小与无穷大的关系,得 分母为零，分子不为零时，极限为无穷大.

38. 解: 原式 例7 . 求 无穷小因子分出法 分母 同除以 时， 分子 分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求极限。

39. 例8 例8* 例8**

40. 一般有如下结果： 为非负常数 ) ( 如 P47 例5 ) ( 如 P47 例6 ) ( 如 P47 例7 )

41. 三、 复合函数的极限运算法则 定理7(复合函数的极限运算法则) 设 又 时， 若 则 意义：求极限的“变量代换”法.

42. 当 时, 证明 时， 当 时, 恒有 对于 当 时, 综合上述两步:

43. 例9. 求 解: 令 ∴ 原式 =

44. 例10 . 求 则 令 解: 方法 1 ∴ 原式 方法 2

45. 内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 注意使用条件 (3) 复合函数极限运算法则 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 用代入法 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 (2) 复合函数极限求法 设中间变量

46. 思考题 问 是否存在 ? 为什么 ? 答:不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件矛盾.

47. 2. 解: 原式 3. 求 解: 原式 =

48. 4.试确定常数 a使 令 解 : 则 故

49. 作 业 • P42： 2(2), 4(2), 8 • P49: 1, 2 , 3 作业提交时间：2012年10月15日上午8:00

50. 是多项式 , 且 提高题 设 求 利用前一极限式可令 解: 再利用后一极限式 , 得 可见 故