第五章 连续时间系统的复频域分析

1. 第五章 连续时间系统的复频域分析 5.1 拉普拉斯变换 5.2 单元信号的拉普拉斯变换 5.3 拉普拉斯变换的基本性质5.4 拉普拉斯反变换5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法5.6 双边拉普拉斯变换5.7 系统的模拟图与框图 5.8 系统的信号流图与梅森公式 5.9 系统函数

2. 第5章 连续时间系统的复频域分析 傅里叶变换分析的优缺点 傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转变为 频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号谐波分量、 系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实际问题时有独到之处。 对一些不满足绝对可积条件的常用信号，虽然其傅里叶变换 存在，但带有冲激项处理不方便；尤其用傅里叶分析分析系统响 应时，初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响 应；另外，其反变换的积分计算也不易。

3. 5.1 拉普拉斯变换 5.1.1 单边拉氏变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、反变换为 傅氏变换对于一些指数阶的函数处理不方便,主要原因是 这类函数不收敛,例如阶跃函数 。为了使函数收敛，在 乘以 进行变换时让原函数 ，使得 是一个 收敛速度足够快的函数。 为收敛（衰减）因子，使 满足绝对可积条件。

4. §5.1 拉普拉斯变换 由傅氏反变换为 两边乘以

5. §5.1 拉普拉斯变换 L L 为象函数 为原函数 0 称为复频率， 单边拉氏变换定义为 象函数与原函数的关系还可以表示为 或 可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，

6. 5.1 拉普拉斯变换 因为 的作用，使得 2.单边拉氏变换收敛区 收敛区 是使 满足可积的 取值范围； 的单边拉氏变换存在的 取值范围。 或是使 在一定条件下收敛， 叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。 穿过 并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。 拉氏变换的收敛区就确定了。 一旦 确定，

7. 5.1 拉普拉斯变换 收敛区 0 的 指数阶函数 满足上式的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散， 借助指数函数衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉 的 确定。 氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标 取值与 有关。 收敛区的大致范围： 讨论： 是随时间衰减的， 例如单边指数信号 时，收敛区包含虚轴 ，函数的傅氏变换存在

8. 5.1 拉普拉斯变换 收敛区 是稳定信号， ， 例如 0 时，收敛区不包含虚轴 函数的傅氏变换存在，但有冲激项。 收敛区 幅度是随时间增长的 ，例如 0 时收敛区不包含虚轴 随时间增长的速度比 快，拉氏变换不存在。

9. 5.2 单元信号的单边拉氏变换 单边拉氏变换的收敛域比较简单，不标出来也不会混淆。 通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法 的函数 1. 轴，可由 当拉氏变换的收敛区包括 直接得到 例3.1-1 已知 ，求 以及 的拉氏变换。 解

10. 5.2 单元信号的单边拉氏变换 2. （为任意常数） 的指数函数

11. 5.2 单元信号的单边拉氏变换 L L 3. t 的正幂函数 L 即 依次类推： L L L

12. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 、 为任意常数。 1 线性 若 ， 则 例

13. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 2 时延（移位）特性 若 则 证 ， 令 ，代入上式得 ， 时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移 其拉氏变换应乘以移位因子 。适用时延特性的时延 ，而不是 函数是

14. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 如图所示， 例 1 求象函数。 1 2 0 解：已知 -1 其中 （利用线性） （时延） 则

15. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 3 频率平移（域） 若 为复常数 则 证 例 已知 ，求象函数。

16. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 解 方法1 方法2

17. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 4 尺度变换 若 其中 则 证 L 令 L

18. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 已知 的象函数。 ，求 例 解 方法1 先频移后尺度 方法2 先尺度再频移

19. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 例 求 、 的象函数。 解

20. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 5 时域微分 若 则 推广到高阶导数

21. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 6 时域积分 若 则 或 表示积分运算， 式中

22. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 7 频域微分 若 则 8 频域积分 若 则

23. 5.3 拉普拉斯变换的基本性质 9 时域卷积定理 若 则

24. 5.4 拉普拉斯反变换 部分分式法 的有理函数时，一般形式可表示为 为 为正整数 为实常数， 1. 均为单极点 式中 为不同数值的单极点。

25. 5.4 拉普拉斯反变换 均为单极点 2. 当 时，利用长除法将分子多项式的高次项提出， 对余下的 部分处理同上。对提取的 部分 利用微分性质：

26. 5.4 拉普拉斯反变换 ，求原函数。 例 已知象函数 解

27. 5.4 拉普拉斯反变换 可展开为 式中 是展开式中与极点 无关的部分。 有重极点 3. 设： 阶极点。 其中 的 是

28. 5.4 拉普拉斯反变换 L + L

29. 5.4 拉普拉斯反变换 例3.3-4 已知 ，求原函数 。 解：

30. 5.4 拉普拉斯反变换

31. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法 5.5.1 用拉氏变换求解线性微分方程 用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分 方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程， 再经拉氏反变换得到响应的时域解。 例 ：已知 ，求 。 ， 解：对方程两边取L (注意单边的)，且

32. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法 L 代入 值，合并同类项 其中：

33. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法 例 ：已知 求响应 、 。 且 ， ， ， 解：

34. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法

35. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法 或：

36. 5.5 线性系统的拉普拉斯变换分析法 §3.5系统函数与零极点分析法 5.5.2 S域的网路模型——运算电路法 初始状态 元件的域模型 网络域等效模型 线性网络的各种方法如等效方法、系统的方法对 网络域等效模型建模得到响应的象函数，由拉氏 反变换得到响应的时域解。

37. 5.6 双边拉普拉斯变换 L L 5.6.1 双边拉氏变换定义 或

38. 5.6 双边拉普拉斯变换 5.6.2 双边拉氏变换的收敛域 先讨论 作用 一定时， 为收敛因子 为发散因子 如果有函数在 给定的范围内,使得 无限区间积分为有限值,我们说函数的双边L变换存在。 定义： 双边拉氏变换收敛区是使 满足可积的 的双边拉氏变换存在的 取值范围，或是使 取值范围。

39. 5.6 双边拉普拉斯变换 例 已知函数 双 ，试确定 边L变换的收敛区。 ① ② 解：将积分分为两项 对第①项，只有 时积分收敛；收敛 ，即 对第②项，只有 时积分收敛，收敛区如图所示。 两项的公共收敛区为

40. 5.6 双边拉普拉斯变换 1 0 1 0 0 通常，双边拉氏变换有两个收敛边界，取决于 的函数，是左边界用 表示； ，是右边界以 表示。 的函数 则 与 的变换有公共收敛区, 双边L变换存在 的带状区； 双边拉氏变换的收敛区是s平面上 双边拉氏变换不存在。

41. 5.6 双边拉普拉斯变换 收敛 对第①项，只有 对第②项，只有 收敛 双边拉氏变换的收敛区必须标明， 否则不能正确确定时域信号。

42. 5.6 双边拉普拉斯变换 例 已知 ，求所有可能的 。 解: 的收敛区有 a. ；b. ；c. 三种情况，对应的 为

43. 5.7 系统的模拟图与框图 连续时间系统的模拟（仿真） 在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析外， 往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行观察， 以直观了解各种激励对响应的影响以及参数对系统的影响。

44. 5.7 系统的模拟图与框图 n阶LTI系统微分方程的一般形式为 其系统函数为 要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或 微、积分方程进行模拟。具有相同输入输出关系的系统， 系统实现的结构、参数不是唯一的，

45. 5.7 系统的模拟图与框图 5.7.1.三种基本运算—加法、标量乘法与积分 对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法器、积分器 1.加法器: 2.标量乘法器（数乘器）: 3. 初始条件为零的积分器

46. 5.7 系统的模拟图与框图 5.7.2 系统模拟的定义与系统的模拟图 在实验室中用三种运算器：加法器、数乘器和积分器来模拟给定系统的数学模型­­­——微分方程或连续时间系统复频域形式的系统函数，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。 经过模拟而得到的系统称为模拟系统。 从系统模拟的定义可看出，所谓系统模拟，仅是指数学意义上的模拟。模拟的不是实际的系统，而是系统的数学模型——微分方程或系统函数。这就是说，不管是任何实际系统，只要它们的数学模型相同，则它们的模拟系统就一样，就可以在实验室里用同一个模拟系统对系统的特性进行研究。

47. 5.7 系统的模拟图与框图 5.7.3 系统模拟的直接形式(微分方程形式) 1. 全极点系统模拟的直接形式 一阶系统的微分方程及系统函数表示 将一阶线性线性系统的微分方程改写为 将 做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域 与复频域模拟图，如图所示：

48. 5.7 系统的模拟图与框图 改写微分方程 二阶系统模拟 时域 复频域

49. 5.7 系统的模拟图与框图 阶系统

50. 5.7 系统的模拟图与框图 2.一般系统模拟的直接形式 以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外， 一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为 辅助函数F(s)满足 则