1 ． 4 生活中的优化问题举例

1. 1．4　生活中的优化问题举例

3. 能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．

5. 本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． • 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．

7. 1．解决实际应用问题的基本步骤 • 一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行： • (1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．

8. (2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型． • (3)运用数学知识和方法解决上述问题． • (4)检验结果的实际意义并给出答案．

9. 2．求最优化问题的步骤 • 求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下： • (1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)； • (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； • (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．

11. 1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由和确定，当定义域是且函数只有一个时，这个也就是它的 ． • 2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用可以解决一些生活中的 ． 端点的函数值 极值 开区间 最值 极值 极值 优化问题 导数 导数 优化问题

13. [例1]　在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[例1]　在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

14. [分析]　根据所给几何体的体积公式建模． • [解析]设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， • V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) • ＝4x3－240x2＋3600x. • ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， • 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) • 当0<x<10时，V′(x)>0， • 当10<x<30时，V′(x)<0.

15. ∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值． • 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大． • [点评]在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．

16. 已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值． • [解析]设圆柱的底面半径为r，高为h， • 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，

18. [例2]　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[例2]　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

19. [分析]　根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．[分析]　根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．

20. [解析]解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则[解析]解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 • ∵BD＝40，AC＝50－x， • 令y′＝0，解得x＝30. • 当0<x<30时，y′<0；当30<x<50时，y′>0.

21. 因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)． • ∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．

24. [点评]　解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．[点评]　解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．

25. 设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？ • [解析]设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．

27. 答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.

28. [分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．[分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．

30. 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． • [点评]建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．

32. 现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益． • (注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)

33. [解析]设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3－x)百万元，[解析]设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3－x)百万元， • 则广告投入带来的销售额增加值为 • y1＝－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)， • 技术改造投入带来的销售额增加值为

35. 所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益．所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益．

37. 一、选择题 • 1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为 () • [答案]A

39. 2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ()2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 () • A．10 B．15 • C．25 D．50 • [答案]C

41. 3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为 ()3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为 () • A．0.5m B．1m • C．0.8m D．1.5m • [答案]A

43. 二、填空题 • 4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________． • [答案]1∶1

45. 5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________． • [答案]6% • [解析]设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)． • 当x∈(0,0.06)时，y′>0，当x∈(0.06，＋∞)时，y′<0，故当x＝0.06时，y取最大值．

46. 三、解答题 • 6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ • [解析]设广告的高和宽分别为xcm，ycm，

48. 令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140. • ∴函数在(140，＋∞)上单调递增， • 在(20,140)上单调递减， • ∴S(x)的最小值为S(140)． • 当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．