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不定积分的概念与性质 牛顿莱布尼兹公式

不定积分的概念与性质 牛顿莱布尼兹公式. 一、原函数与不定积分 二、牛顿莱布尼兹公式. 在为微分学中，已知运动规律 s = s ( t ),. 则在时刻 t 的瞬时速度 v = s ´ ( t ). 在运动学中，也有相反的问题，即已知时刻 t 的瞬时速度 v = v ( t ). 而要求运动规律 s = s ( t ),. 即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数. 例如 : ， 是函数 在 上的原函数 . ， sin x 是 cos x 在 上的原函数. 一 . 原函数与不定积分.

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不定积分的概念与性质 牛顿莱布尼兹公式

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Presentation Transcript

  1. 不定积分的概念与性质 牛顿莱布尼兹公式 一、原函数与不定积分 二、牛顿莱布尼兹公式

  2. 在为微分学中，已知运动规律 s=s(t), 则在时刻t的瞬时速度 v=s´(t) 在运动学中，也有相反的问题，即已知时刻t的瞬时速度 v=v(t) 而要求运动规律 s=s(t), 即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数.

  3. 例如:，是函数 在 上的原函数.，sin x是cos x在 上的原函数. 一.原函数与不定积分 1.原函数 定义 设f(x)定义在区间I 内，如果对任意的 ，都有 F'(x)=f (x)或dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为f (x)在该区间上的一个原函数. 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函数.

  4. 定理5.1 若函数f (x)在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项. 证 设F(x)，G(x)是f (x)在区间 I 上的任意两个原函 数.所以 F'(x) = G'(x) = f (x)， 于是 [G(x)－ F(x)]' = G'(x) － F'(x) = f (x)－ f (x) = 0 所以有 G(x)－ F(x) = C0， 即 G(x) = F(x) ＋C0(C0为某常数).

  5. 即 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. 2.不定积分 定义 如果函数F(x)是f(x)区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作

  6. 解 例1求

  7. 解 例2求

  8. 解 例3求

  9. 解 例4验证下式成立:

  10. 解 例5利用例4的结果，计算下列积分

  11. 3.不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，f(x)为积分曲线在x处的切线斜率.

  12. 解 例6

  13. 解 例7

  14. 证明 二、牛顿莱布尼兹公式 定理6.5(微积学基本定理)

  15. 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.

  16. 牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x) 的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的 增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.

  17. 解 例1求

  18. 解 例2求

  19. 解 例3求

  20. 解 例4求

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