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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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  1. 相異なる(n+1)個の点                 :given相異なる(n+1)個の点                 :given 未知の関数      対応する点: なる    に対して を満たす関数を求める 関数の補間とは

  2. 補間 導出した関数 未知の関数 補間関数と呼ぶ このような方法で未知の関数の形状を推定し,関数値を推定することを補間(あるいは関数の補間)と呼びます

  3. 多項式     が補間多項式である時, n次の 多項式である       は, と表記可能. ここに各係数である,                  は 次の連立方程式を満たす. 補間関数の満たすべき条件

  4. (n+1)個の未定係数 a0, a1, ..., anに対して, 上記の通り,(n+1)個の連立方程式が成立するため,各係数を行列の要素とする (n+1)×(n+1)行列式, det| ai | がゼロでなければ一意に解けることになる 上記の連立方程式により,補間多項式が数学的に決定できることは明らか

  5. (n+1)個の点列が与えられる度に,このような連立方程式を立てて, 未知係数を決定することで,補間関数を導出可能 毎回,補間関数を決定するために,与えられた点列を基に連立方程式を立てて,それを解法するという処理が発生 & 一般に多元多次?の(高次でかつ未知数が多い)方程式を数学的に解くことはそれほど容易ではないかも... 誰にでも適用できる)もっと簡易な方法は ?

  6. 点列:given 一般的には 未定係数:target なる線形(連立)方程式の解として,未定係数:a0~anを求める その際に,左辺の行列要素を行列式とする値が非ゼロ であることが必要条件 そこで....

  7. Lagrange補間公式 分子にはこの項が存在しない Lagrange補間係数関数Li(x) : n次多項式 分母にはこの項が存在しない 分母は定数 (注)第 i項目のxiに関する (x - xi)/(xi - xi) は定義不能のため上記の補間係数関数の記述には存在しない. この補間係数関数 Li(x) を用いれば, Lagrangeのn次補間多項式Pn(x)は......

  8. Lagrangeのn次補間多項式 (n+1)個の点列{ (x0,f0),(x1,f1),・・・,(xn,fn) }の総てを通ることは自明 大変見通しの良い形状の補間関数を容易に構成可能

  9. 具体例(その1) 2点{ (x0,f0),(x1,f1) }が与えられた場合,Lagrangeの補間多項式は.... Lagrange補間係数関数Li(x)は,2点に対して,それぞれ, L0(x) = (x-x1)/(x0 - x1),L1(x) = (x - x0)/(x1 - x0)それを基にLagrangeの補間1次式を求めると, P1(x) = Σi=01 fi*Li(x)=f0*L0(x) + f1*L1(x) = f0*(x - x1)/(x0 - x1) + f1*(x - x0)/(x1 - x0) 指定された2点を通る直線の方程式として表現可能

  10. 具体例(その2) 具体的に3点{ (x0,f0),(x1,f1),(x2,f2) }が 与えられた場合, Lagrangeの補間多項式は.... Lagrange補間係数関数Li(x)は,3点に対して,それぞれ, L0(x) = (x-x1)(x - x2)/(x0 - x1)(x0 - x2) L1(x) = (x - x0)(x - x2)/(x1 - x0)(x1 - x2) L2(x) = (x - x0)(x - x1)/(x2 - x0)(x2 - x1) それを基にLagrangeの補間2次式を求めると, P2(x) = Σi=02 fi*Li(x)=f0*L0(x) + f1*L1(x) + f2*L2(x) =f0*(x - x1)(x - x2)/(x0 - x1)(x0 - x2) +f1*(x - x0)(x - x2)/(x1 - x0)(x1 - x2) +f2*(x - x0)(x - x1)/(x2 - x0)(x2 - x1)    指定された3点を通る2次関数の方程式として表現可能