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7.1 解析变换的特性 ( 共形映射 )

7.1 解析变换的特性 ( 共形映射 ). 7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 解析变换的保形性. 7.1.1 解析变换的保域性. 定理 7.1 ( 保域定理 ) 设 w = f ( z ) 在区域 D 内解析且 不恒为常数 , 则 D 的象 G = f ( D ) 也是一个区域. 即当 w * 与 w 0 充分接近时 , 方程 w * = f ( z ) 在 D 内有解. 证 首先证明 G 的每一点都是内点. 设 w 0 ∈ G , 则有一点 z 0 ∈ D , 使 w 0 =f ( z 0 ).

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7.1 解析变换的特性 ( 共形映射 )

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  1. 7.1 解析变换的特性(共形映射) • 7.1.1 解析变换的保域性 • 7.1.2 解析变换的保角性 • 7.1.3 解析变换的保形性

  2. 7.1.1解析变换的保域性 定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且 不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域. 即当w*与w0 充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解. 证 首先证明G的每一点都是内点. 设w0∈G,则有一点z0∈D,使w0=f(z0). 要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G, 为此,考察f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,) 显然 f(z0)-w0=0, 由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R, C及C的内部全含于D, 使得f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外) 均不为零.因而在C上:

  3. 对在邻域 内的点w*及在C上的点z有 因此根据儒歇定理6.10,在C的内部 与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解. 其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来. 由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是： 就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线. 从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到

  4. 一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1 总结以上两点,即知G=f(D)是区域. 定理7.2设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域. 证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数. 注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域. 定理7.3设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)≠0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析. 结合定理7.2,合本定理条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.

  5. y z z0 必存在 则 且 它的倾角为 就是切向量, 0 x v w w0 0 u 设w=f(z)于区域D内解析,z0∈D,在点z0有导数 7.1.2 解析变换的保角 通过z0任意引一条有向光滑曲线 C C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0). 因此C在z0有切线, w=f(z) ——导数的几何意义 经变换w=f(z) C之象曲线  的参数方程应为

  6. y z z0 就是切向量, 0 x v w  C z0+∆z w0+∆w w=f(z) w0 0 u 由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内 是光滑的.又由于 故 在w0=f(z0)也有, 切线 设其倾角为，则 且 图7.1

  7. 如果我们假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：如果我们假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则： (7.1)说明:象曲线 在点w0=f(z0)的切线正向,可由原曲线C在点z0的切线正向旋转一个角度argf’(z0)得出：argf’(z0)仅与z0有关,而与经过Z0的曲线C的选择无关,称为变换w=f(z)在点z0的旋转角 ——导数辐 角的几何意义. (7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的

  8. 无穷小距离之比的极限是R=|f’(z0)|,它仅与 z0有关,而与过z0的曲线C之方向无关,称为 变换w=f(z)在点z0的伸缩率.这也就是导数模 的几何意义. 上面提到的旋转角与C的选择无关的这个 性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关 这个性质,称为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩 率不变性就表示w=f(z)将z=z0处无穷小的圆5变 成w=w0处的无穷小的圆,其半径之比为|f’(z)|. 上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的 地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.

  9. 经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向 所构成的角称为两曲线在该点的夹角. 定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的邻域内有 定义,且在点z0具有: (1)伸缩率不变性; (2)过z0的任意两曲线的 夹角在变换w=f(z) 下,又保持方向; 则称函数w=f(z)在点z0是保角的.或称w=f(z)在 点z0是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都 是保角的,则称w=f(z)在区域D内是保角的,或 称w=f(z)在区域D内是保角变换.

  10. 定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它 在导数不为零的点处是保角的. 推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称 w=f(z)在区域D内是保角的.(由定理6.11,在D内f’(z)≠0.) 7.1.3 解析变换的保形性 定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保 角的,则称此变换w=f(z)在D内是保形的,也称它 为D内的保形变换. 定理7.6 设w=f(z)在 区域D内单叶解析.则 (1)w=f(z)将D保形变换成区域G=f(D). (2)反函数 在区域G内单叶解析,且

  11. 证 (1)由推论7.2G是区域,由推论7.5及 定义7.2,w=f(z)将D保形变换成G. (2)由定理6.11,f’(z0)≠0(z0∈D),又因w=f(z) 是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变 换.于是,当w≠w0时,z≠z0,即反函数 在区域D内单叶.故 由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即 在D内满足C.-R.条件ux=vy,uy=-vx. 故

  12. 由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函 数x=x(u,v),y=y(u,v)在点w0=u0+iv0及其一个邻 域 内为连续.即在邻域 中,当ww0 时,必有 故 即 由于w0或z0的任意性,即知 在区域G内 解析.

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