复变函数与积分变换

1. 复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy@zju.edu.cn 浙江大学

2. 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Laplace变换 浙江大学

3. 第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 浙江大学

4. 复数及其代数运算 a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y 规定： 浙江大学

5. b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。 浙江大学

6. c) 共轭复数： 互为共轭复数 容易验证 浙江大学

7. d) 复平面 一对有序实数（x，y） 平面上一点P 复数 z = x + i y y 实轴、 虚轴、复平面 z = x + i y Z 平面、 w 平面 x O 浙江大学

8. e) 复数的几种表示法 几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 y O x 加法运算 浙江大学

9. y O x 减法运算 浙江大学

10. 复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为 三角式： 指数式： 复数的 模 复数的 幅角 浙江大学

11. 讨论： • 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把 • 的幅角称为Arg z的主值。记为 2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。 浙江大学

12. 设 定理 y 注意多值性 O x 浙江大学

13. 指数形式表示 推广至有限个复数的乘法 浙江大学

14. 除法运算 或者 浙江大学

15. 例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。 y O x 浙江大学

16. 复数的乘幂 n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 复数的方根 设 为已知复数，n为正整数，则称满足方程 的所有w值为z的n次方根，并且记为 浙江大学

17. 设 则 即 浙江大学

18. 当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根： 浙江大学

19. 例： 即 浙江大学

20. 复球面与无穷远点 球极平面射影法 N P 取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。 对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。 z P 浙江大学

21. 从几何上可以看出： N Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。 由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点 扩充复平面 ＝ 复平面＋ 约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 等也没有意义。 浙江大学

22. 复平面点集与区域 （1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 浙江大学

23. （5）边界点 点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。 （6）开集 点集E中的点全是内点 （7）闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 （9）区域 非空的连通开集 浙江大学

24. （10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有 则称 D为有界区域。 （11）简单曲线、光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 浙江大学

25. 简单曲线： 简单闭曲线： 没有交叉点。 光滑曲线： （12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。 浙江大学

26. 平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。 例： Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为 浙江大学

27. 例： （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为 （2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为 （3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为 浙江大学

28. 例： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 得 即 浙江大学

29. 同理可以得到 得证。 浙江大学

30. 例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y = －x。 （2） 设 z = x+ iy, 浙江大学

31. （3） 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点） （4） 浙江大学

32. 例： 指出不等式 中点z的轨迹所在范围。 解： 因为 所以 于是有 浙江大学

33. 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 浙江大学

34. 复 变 函 数 复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。 浙江大学

35. 我们主要考虑单值函数 定义： f(z)是单射（或一对一映射） 对于任意 f(z)是满射 f(z) 既是单射，又是满射。 f(z)是双射 浙江大学

36. 例： 浙江大学

37. 浙江大学

38. 浙江大学

39. 复变函数的极限与连续 函数的极限 定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域 如果有一确定的数A存在，对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作 浙江大学

40. 几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。 注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。 关于极限的计算，有下面的定理。 浙江大学

41. 定理一 定理二 浙江大学

42. 例 证明函数 当z趋于0时的极限不存在。 解法一 令z=x+iy, 则 所以极限不存在。 浙江大学

43. 解法2 利用复数的三角表示式 趋于零时，f(z) 趋于不同的值。 当z沿着不同的射线 如 极限不存在。 浙江大学

44. 函数的连续 如果 那么f(z)在z0处连续。 如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。 定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y) 在（x0，y0）处连续。 连续函数的四则运算、复合运算都成立。 有界区域上的连续函数的最值定理。 浙江大学

45. 例： 例： 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性 故在原点不连续。 因为 不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。 其余地方均连续。 浙江大学