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本章题头. 第四章. 定轴转动. 定轴转动. w. 角动量守恒定律. 角动量守恒定律. 与刚体的. 与刚体的. L. I. w. chapter 4. law of conservation of angular momentum. rigid body rotation with a fixed axis. 内容提要. 本章内容. Contents. chapter 4. 角动量与角动量守恒. angular momentum and. law of conservation of angular momentum. 刚体的定轴转动.

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  1. 本章题头 第四章 定轴转动 定轴转动 w 角动量守恒定律 角动量守恒定律 与刚体的 与刚体的 L I w chapter 4 law of conservation of angular momentum rigid body rotation with a fixed axis

  2. 内容提要 本章内容 Contents chapter 4 角动量与角动量守恒 angular momentum and law of conservation of angular momentum 刚体的定轴转动 rotation of rigid-body with a fixed axis 刚体作定轴转动时的功能关系 relation of work with energy in rotation of rigid-body 刚体的角动量守恒 law of conservation of angular momentum of rigid-body

  3. 第一节 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 角动量与角动量守恒定律 s s Angular momentum and law of conservation of angular momentum r r v v 一、角动量 m m sin sin angular momentum q q 大量天文观测表明 v 4 - 1 常量 夹 角 m r q s m 定义： 运动质点 s angular momentum and p v v 对点的 角动量 为 O L m m O v law of conservation of angular momentum L 大小： r v q ) ( r r r r L 方向： 速度 位矢 质量

  4. 问题的提出 二、质点的角动量定理及其守恒定律 theorem of partical angular momentum and its conservation 质点 对 的角动量 问题的提出 m O 大小 L L q v r r v sin m m 地球上的单摆 太阳系中的行星 q r r O m v O m q v L r v m L r v m 变 变 变 变 q sin 大小未必会变。靠什么判断？ 大小会变 L L

  5. 质点角动量定理 导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？ L L L 与什么有关？ 思路： 分析 由 L v r m ( d v ) d d 则 m ( ) d d d d v + m v r r r r r m d d t t d t d t d d d d t t t t 0 d v v v m a m m F F F 两平行矢量的叉乘积为零 ( ) 得 L L 所受的合外力 位置矢量 质点 对参考点 的 O m 叉乘 等于 角动量的时间变化率 质点的角动量定理

  6. 微分形式 r r r r r 而 是力矩的矢量表达： M 即 力矩 F O r F F 大小 方向 M F q 垂直于 r sin 所决定 d F d 的平面，由右螺旋法则定指向。 q m d d d d t t 得 质点 对给定参考点 的 O m F F F 角动量的时间变化率 所受的合外力矩 M L L 称为质点的 角动量定理的微分形式 如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。

  7. 积分形式 质点的角动量定理也可用积分形式表达 M M M 由 L L L d t t d d d d d t , t L L t 0 L L 0 0 角动量的增量 称为 冲量矩 例如， 单摆的角动量大小为 L =mv r, v为变量。在 t = 0 时从水平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t下摆至铅垂位置，角动量大小为 L⊥=m v⊥ r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r =m r 2gr 。 这就是质点的 角动量定理的积分形式

  8. 归纳 质点的 角动量定理 归纳 r M t 微分形式 d 角动量的时间变化率 所受的合外力矩 M L 积分形式 t L 冲量矩 角动量的增量 d L L 0 t d L 0 0 d t 当 0 0 时， 有 M 特例： L L L L 0 0 F 即 物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零 L 前后不改变。 （如有心力作用）时，质点的角动量 （后面再以定律的形式表述这一重要结论）

  9. 质点角动量守恒 质点的角动量守恒定律 质点的角动量守恒定律 r r 根据质点的 角动量定理 ( ) 若 则 0 0 M M M 常矢量 即 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 d d M O m L L d d t t 为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为 d L d t F F 零，即质点对该点的角动量 守恒。 L L 称为 质点的角动量守恒定律 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。

  10. 开普勒第二定律 应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律 行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积

  11. 定律证明 时刻 m 对 O 的角动量大小为 证： t m L q d s r v m t d t + t h ( ) r r r r r r r m s s sin q r m d d d + ) ( d h d d d d d O m 瞬间 位矢扫过的微面积 d d d d d t t t t t d t A h h 2 m 1 1 d 2 2 A L s 即 （称为掠面速率） d d A A d t 2 m 因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。 L A L 常量 故，位矢在相同时间内扫过的面积相等 则 2 m

  12. 质点系角动量 三、质点系的角动量定理 theorem of angular momentum of partical system L L 惯性系中某给定参考点 O S i i S m v r i i i i r v m 1 3 1 r 各质点对给定参考点的 m 2 2 r m 3 3 v 1 角动量的矢量和 v 2 质点系的角动量 质点系的角动量

  13. 质点系角动量定理 质点系的角动量定理 对时间求导 将 S m v i r r r r r r i i i i i i i i d L L L ( S ( S + r m m v v i i i i d t i i i i 某给定参考点 O + S S S S S S S m a r i i 2 i i i i i i i d d d d S m + 0 2 d F r i i 1 d d d d t t t t i F i + F 内 外 m m i v v 1 i i 内 i 内 得 外 内 + L L 外 M M M F F F F i i i 2 2 1 1 外 质点受外力矩的矢量和 质点系的角动量 外 M M 外 的时间变化率 i 内力矩在求矢量和时成对相消 称为 微分形式 质点系的角动量定理

  14. 微、积分形式 质点系的角动量定理 M 对时间求导 将 S m v i r r r r r r i i i i i i i i t d L d d t L L L ( S 0 ( S + r m m v v t i i i i d t i i 0 i i 某给定参考点 O 0 + S S S S S S S S m a r i i 2 i i i i i i i i d d d d d S m + 0 2 d F r i 的微分形式 的积分形式 i 1 d d d d d t t t t t i 质点系的角动量定理 质点系的角动量定理 F i + F 内 外 m m i v v 1 i i 内 i M M 外 i 内 得 外 内 + L L L L L L L 外 M M M F F F F i i i 质点系的角动量 2 2 1 1 质点受外力矩的矢量和 质点系的 质点系所受的 外 质点受外力矩的矢量和 质点系的角动量 外 的时间变化率 角动量增量 冲量矩 M M 外 的时间变化率 i 内力矩在求矢量和时成对相消 称为 微分形式 质点系的角动量定理 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。

  15. 质点系角动量守恒 质点系的角动量守恒定律 M t 由 d t M 外 L i M M t , 0 0 d 恒矢量 则 若 或 0 L L L 0 当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。 0 S i d d t L L L L L

  16. 随堂小议 随堂小议 两人质量相等 两人同时到达； （1） 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 用力上爬者先到； （2） 一人用力上爬 一人握绳不动 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 结束选择

  17. 小议链接1 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  18. 小议链接2 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  19. 小议链接3 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  20. 小议链接4 两人质量相等 又忽略 既忽略 轮绳摩擦 滑轮质量 O 终点线 终点线 一人用力上爬 一人握绳不动 随堂小议 可能出现的情况是 （请点击你要选择的项目） 两人同时到达； （1） 用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3） 以上结果都不对。 （4） 结束选择

  21. 小议分析 质点系 忽略轮、绳质量及轴摩擦 , R 若 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 O 系统的初态角动量 系统的末态角动量 v v m m m m m 2 m m m m m 1 1 1 1 1 1 v v 0 2 2 2 2 2 R R 1 1 得 不论体力强弱，两人等速上升。 若 系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 v v 2 2 同高从静态开始往上爬 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。

  22. 第二节 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 刚体的定轴转动 s s rotation of rigid body with a fixed axis 一般运动 平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 4 - 2 s 刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心 刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的 相同，可当作质点处理。 s 刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。 刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。 rotation of rigid-body with a fixed axis 复杂的运动与平动的混合。 r r v a 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。） 刚体运动的分类

  23. 定轴转动参量 描述刚体定轴转动的物理量 描述刚体定轴转动的物理量 1. 角位置 q w 刚体中任一点 刚体定轴转动的运动方程 刚体 p q r 2. 角位移 p p X q q (t+△t) 参考方向 q q (t) q r r q ( ) t p p r t 0 3. 角速度 r w p 转动平面 （包含p并与转轴垂直） r d d d q q q q 转轴 静止 0 w 匀角速 d q 常量 w w 用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 变角速 d t w w t ( ) w w 4. 角加速度 , 转 b 动 d w b 常量 匀角加速 匀角速 方 b b 0 d t 向 变角加速 b b t ( )

  24. 转动方程求导例题 rad 单位： -2 -1 -2 -1 w b s s s s rad rad rad rad , , 1 rad 例 2 t t t t t t ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) t 5 0 p ) p ( + 已知 q + p 2 求 b b w w t ) q 5 0 ( p p + , 解法提要 ) ( p , r q rad rad s s 匀 变 角 速 定 轴 转 动 1 2 d d q q rad b q w w d t 150p p 100p d 52p 50p 53p 51p 50p w t t b d t t s s p s 0 3 0 3 2 0 1 3 2 1 2 1

  25. 积分求转动方程 恒量 k 0 解法 b , w w w w w w w t t t 0 0 0 0 0 0 0 提要 w k 例 t t t t t ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) b 已知 0 0 0 d d w w k b d d d t t t 得 w t t t k k k + + + w d d d q q q 且t= 0 时 w ) ) ( ( w d d d d t t t t , w q q q q q q 0 0 0 0 1 1 得 2 2 t t t t k k + + q r q 求 2 2 任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程 或 d + w b q q d t 匀变角速定轴转动的运动方程

  26. 线量与角量的关系 定轴转动刚体在某时刻t的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ， 已知 w 刚体中一质点P至转轴的距离为r w b 瞬时线速度 d q 例 v O O 瞬时切向加速度 质点P 的大小 求 r r 瞬时法向加速度 P P d d d q q q a a t t a a 解法提要 n n w r r r d d d d v w s s s s r d d v b r w ) r ( d d d d t t t t 2 ) ( 2 v 2 w r r r 这是定轴转动中线量与角量的基本关系

  27. 公式对比 质点直线运动或刚体平动 刚 体 的 定 轴 转 动 位移 角位移 ( ) x q q q ( ) ( ) t ( ) r x t x r 1 1 q w 角速度 s 速度 v 加速度 w 角加速度 v b a t t 2 2 d d d d 匀角速定轴转动 匀速直线运动 t t q w s v d d d d t t t t 匀变速直线运动 匀变角速定轴转动 1 1 2 2 2 t 2 t b t t q t w + v a a + s 0 0 b t w + v v + 0 2 2 2 b w w q 2 v w a 2 s 2 v 0 0 0

  28. 刚体转动定律引言 刚体的转动定律 刚体的转动定律 质 点 的运动定律 或 F=ma 刚体平动 合 外 力 惯性质量 合加速度 主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量 若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？

  29. 合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动 切向 切向 M=r× F 力矩 1 1 1 大小 j F 1 d d d d 1 1 = = 1 2 2 1 M=rFsin j M 1 1 M=r×F 1 r r r r 2 2 2 1 1 2 2 M =rFsin j r P P F 大小 d 2 1 r M t 2 2 2 2 2 2 2 2 F d = O j = F t 1 1 1 2 F F 2 F 2 2 = + 合外力矩 M M 2 F F r F F F F 1 1 t t t t M M 1 1 2 2 1 1 = = M 大小 一、外力矩与合外力矩 方向 叉乘右螺旋

  30. 转动定律 瞬时 瞬时 i r r r m m m b i i i w f f 角加速度 角速度 i i + f = 分量均通过转轴， 其法向 不产生转动力矩。 受内力 t t 投影式为 其切向 j f + sin sin q O r i i i i r a b t = = i i n n r r r r F F m m m m r i i i i i i r r 等式两边乘以 a i i i i j 某质元 i i i i 并对所有质元及其所受力矩求和 b b r r F F F j ) ) ∑ ∑ f ∑ q ( ( ∑ sin + 2 2 sin i i = i i i 受外力 r r r r r r r m m m m m m m i i i i i i i q i 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 = 得 M 二、刚体的转动定律

  31. 转动惯量 二、刚体的转动定律 瞬时 瞬时 i r r r m m m b i i i w f f 角加速度 角速度 i i + f = 分量均通过转轴， 其法向 与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示 不产生转动力矩。 受内力 I t t 投影式为 其切向 j f + sin sin q O r i i 称为 转动惯量 i i r a b t = = i i n n 刚体的转动定律 r r r r r F F m m m m m r i i i i i i i r r 等式两边乘以 a i i i i b M I j 某质元 i i i i 即 并对所有质元及其所受力矩求和 M I b b b r r F F F j ) ) ∑ ∑ f ∑ q ( ( ∑ sin + 2 2 sin i i = 刚体所获得的角加速度的大小与刚体受到的 i i i 受外力 r r r r r r r r m m m m m m m m b i i i i i i i i q i 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 合外力矩 的大小成正比， M r b = M ∑ 2 ) i = ( 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M I

  32. 转动惯量的计算 a I = b m = F M 与质点运动定律 对比 将刚体转动定律 I 转动惯量 是刚体转动惯性的量度 与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关 I ∑ 2 k g I I 质量连续分布的刚体用积分求 为体积元 处的密度 2 2 r r r r m V d V r r i i r m i I 的单位为 2 d m m d V 二、转动惯量及其计算

  33. 分立质点的算例 可视为分立质点结构的刚体 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则 转轴 ∑ ∑ m m m m m 2 2 I I 2 2 2 2 2 m m m m m 1 1 1 1 1 r r r r 2 2 1 1 2 O 2 + 转轴 2 ( ) r r r r i i i i 0 0 0 6 6 6 sin sin r r m m l l l 2 i i ) ( 1 1 1 + l l l O 2 2 2 2 0.75 2 ) ( + 转动惯量的计算举例

  34. 直棒算例 质量连续分布的刚体 匀直细杆对端垂轴的 匀直细杆对中垂轴的 I I d d d d m m m m m m O O d d d d r r r r L m I 2 2 2 2 I r r r r r r L 0 L L m L m 3 m 1 3 L r r L L 0 3 1 1 1 平行移轴定理 对质心轴的转动惯量 L L L L 2 2 2 2 I I 2 r 3 3 3 r + m L C C m 对新轴的转动惯量 , O O O I I 质心 时 例如： C L 2 r 1 2 2 2 L L L m m m 质心轴 代入可得 新轴 I 端 1 2 新轴对心轴的平移量 r

  35. 圆盘算例 匀质薄圆盘对心垂轴的 I 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元 r d d d m m m m d d d d d d r r r r r r m r p 2 O d d m m 2 R p m m 2 2 r r 2 2 r r r 2 2 R R R R 2 m 3 I R r 0 0 2 R 4 R 2 m r 1 m 4 2 2 R R 2 0

  36. 球体算例 匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加 I d m r r 的薄圆盘的转动惯量为 距 为 、半径为 、微厚为 O r y R y d d m m O d 其中 d m r V d d d 2 m r r p p y y y r d d d I I I 1 1 1 1 2 ) I ( r 2 2 2 2 4 d d d r r r r p p p y y y 2 2 2 2 2 2 2 R R r r r y y 2 R ( ) R m r 2 8 2 R 5 4 3 m R R p 5 1 3 5

  37. 常用结果 匀质细直棒 匀质薄圆盘 转轴通过端点与棒垂直 转轴通过中心垂直盘面 m R L m 1 1 2 2 mL I = mR I = 3 2

  38. 其它典型 匀质矩形薄板 匀质厚圆筒 转轴通过中心垂直板面 转轴沿几何轴 m a m 2 2 I= (a+b ) 2 2 R I= (R1+R2 ) 1 12 2 匀质细圆环 匀质圆柱体 2 2 mR mR 转轴通过中心垂直环面 R 转轴通过中心垂直于几何轴 L R 2 b m m R 2 I= I= I=mR 2 2 L I=R + 4 12 匀质细圆环 匀质薄球壳 转轴沿着环的直径 转轴通过球心 R R 2 3 2

  39. 转动定律例题一 三、转动定律应用选例 b M I 例 合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 M 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。 M b 时刻对应，何时 则何时 ， 与 b 0 b M M 则何时 恒定。 恒定 何时 b M 0 L m q q 1 2 1 1 , cos cos I L O M L g g m m m 3 2 2 , q 匀直细杆一端为轴水平静止释放 g g 3 3 b M I L L 2 2 M L 0 q b , , g m 0 0 q M 2 b p , ,

  40. 转动定律例题二 转动 (T2–T1 )R = Ib 已知 I = m R 2 2 b 平动 m2g –T2 =m2a 例 解法 提要 1 T1 T2 T1 – m1g =m1a 2 R 线-角 a = Rb m T1 T2 T1 a a 联立解得 求 m2 G1 m1 a g g = G2 a m1+ m2+ m m1 g m T1 = m1 ( g + a ) m 1 2 T2 = m2 ( g – a ) m2 g 轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑 如果考虑有转动摩擦力矩Mr ,则 转动式为 T2 (T2–T1 )R –Mr= Ib 再联立求解。 （以后各例同）

  41. 转动定律例题三 细绳缠绕轮缘 （A） （B） （A） 例 解法 提要 M F R F 2 b 1 I 2 R R m m 2 R R a b F R 2 m m m （B） 1 1 1 b 2 b R T R I m 2 2 2 b R g a T m m m m m m m m F 1 1 1 1 1 1 1 恒力 b g 1 ) ) ( ( R m m + + 滑轮角加速度 b 求 b R g 细绳线加速度 a a

  42. 转动定律例题四 物体从静止开始运动时，滑轮的 已知 求 转动方程 = 1kg q R = 0.1m m m = 3kg 对 和 分别应用 1 例 m t ( 解法 ) 提要 = 5kg 质点运动和刚体转动定律 m1g – T1 =m1a a = Rb b T2 –m2g =m2a 及 R (T1–T2 )R = Ib m 1 I = mR2 (m1-m2)g (m1-m2)g (m1-m2)g 2 T2 T1 b = 得 常量 R(m1+ m2+ m 2) R(m1+ m2+ m 2) R(m1+ m2+ m 2) T2 T1 d d q q m m 故 由 b t w w 1 1 w d q , m m m 2 2 2 d d t t t t q t w a 0 0 0 a g t 2 t G2 q 2 (rad) q 2 G1 d d t t

  43. 转动定律例题五 两者瞬时角加速度之比 已知 b 求 两匀直细杆 2 L 根据 b M I 例 解法 提要 q q b b M I I M b 1 1 L L L L L L L q 2 sin g 3 2 1 1 q 2 sin L g L 2 3 m m m m m m L 1 2 L 1 O O 地面 短杆的角加速度大 A B ( ) ( ) 且与匀质直杆的质量无关 从等倾角 处静止释放 q

  44. 第三节 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 刚体定轴转动的功能关系 s s Relation of work with energy in rotation of rigid-body 刚体中任一质元 的速率 w r m 一、转动动能 i 该质元的动能 w r r E E k k i i 2 2 4 - 3 2 1 1 r r w m m i i 2 2 对所有质元的动能求和 ∑ ∑ 1 1 2 2 2 ( ) r m w w E E i 2 2 s k k s 转动惯量I relation of work with energy in rotation of rigid-body O 刚体 得 I 转动动能 r r r r r r r r i i i i i i i i 公式 r r r m m m i i i v v v v v i i i i i

  45. 力矩的功 二、力矩的功和功率 力的元功 t A A r r r r r r d d O F j ( ) d d d d d d q q q q q q cos d d d d d F P j sin sin j j F r F F F p 力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算 M M M 2 作的总功为 A 若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ， M M q q q q 1 1 d 2 2 A M 力矩的瞬时功率 A d N M w d d t t

  46. 力矩的功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 求 已知 转轴 总摩擦力矩 是 平放一圆盘 例 解法 提要 各微环带摩擦元力矩 的积分 O R m d 环带面积 d d d r 2 r r r p m m m m m 环带质量 d d ( ) d m m d d d 2 r d p 环带受摩擦力 d d f f g r r 环带受摩擦力矩 4 M M M M M M M 粗 糙 水 平 面 r r r r r r r 3 m 2 2 R d d s s g m 2 m r r r O 2 2 R R 圆盘受总摩擦力矩 r d r d m 转一周摩擦力矩的总功 2 2 得 g g p p m m 2 m m 2 R p A A d d R q q p d q 0 0 0 0

  47. 刚体的动能定理 三、刚体转动的动能定理 回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理 ？ 由力矩的元功 d A b I d d d d d d d A A I q q q q q M M d w d d t t b I M I w 转动定律 I d d d w w w 2 2 A v v m m w q 则 0 2 2 A I w I I w w 0 q w 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 转动动能的增量 合外力矩的功 称为 刚体转动的动能定理

  48. 动能定理例题一 圆盘下摆 时质点 的 匀质圆盘 求 q 0 0 0 3 3 3 、切向、法向加速度 角速度 盘缘另固连一质点 的大小 例 w 解法 提要 a a a a R n n t t m m 1 1 系统 对 O 水平静止释放 m m m 2 2 2 q 系统转动动能增量 外力矩的功 2 w sin R g I 2 2 R R m m m m m m m m m m m m 其中 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 I + 通过盘心垂直盘面的水平轴 g 2 2 2 2 2 2 得 m m m m 2 2 2 2 w ( R ) + 1 1 由转动定律 2 2 g g 3 3 M ( R ) g R 得 + cos I b I g 2 则 R w b R + + ,

  49. 动能定理例题二 从水平摆至垂直 已知 解法 提要 ) 一端为轴 ( L 匀直细杆 m 外力矩作的总功 , 水平位置静止释放 例 L d q q cos A 2 O 0 L q 2 0 w 0 由 2 2 A I I w w 0 得 A I w 2 1 G 2 3 L 本题 I m g m 1 1 代入得 g L w 3 2 2 p ？ 2 w 的关系 利用 v r w 摆至垂直位置时杆的 求 w 还可算出此时杆上各点的线速度 g g m m

  50. 动能定理例题三 从水平摆至垂直 已知 解法 提要 水平位置静止释放 段，外力矩作正功 a 例 a d A q q cos a 2 0 段，外力矩作负功 b 0 w 0 b 1 d L A q q cos O b q 2 g g 3 m m 2 0 合外力矩的功 A b a 3 3 G G ∑ 1 i L b b 1 1 g m A 4 4 4 4 G G 由 2 2 a a A I I w w 0 1 1 得 4 A I w 2 2 2 转轴对质心轴的位移 p p L 4 r L L 2 2 9 w L 7 2 I I r 2 L + m m 2 3 c 4 8 摆至垂直位置时杆的 求 w 代入得 g 4 g g 2 m m w L 7

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