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Rotating string in doubled geometry with generalized isometries

KEK String Advanced Lecture (SAL), 11 th July, 2012. Rotating string in doubled geometry with generalized isometries. ref. arXiv:1205.5549. (accepted by PRD this morning ). 菊池　徹 (NIMS/KEK). 共同 研究者：　岡田崇（京都大学）、酒谷雄峰（京都産業大学）. まとめ. 　　と呼ばれるブレーンが作る背景場と、 そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。.

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Presentation Transcript

  1. KEK String Advanced Lecture (SAL), 11th July, 2012 Rotating string in doubled geometry with generalized isometries ref. arXiv:1205.5549 (accepted by PRD this morning) 菊池　徹 (NIMS/KEK) 共同研究者：　岡田崇（京都大学）、酒谷雄峰（京都産業大学）

  2. まとめ 　　と呼ばれるブレーンが作る背景場と、 そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。 （①　　　ブレーンが作る背景場を再構築した。） cf. [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104(2010) 251603] ②　　　ブレーンの周りを回る基本弦の古典解を得た。 　　　ブレーンと、その周りを回る基本弦の性質が、 Double Field Theoryの枠組みでよく理解できることを示した。

  3. T-fold and

  4. (d次元コンパクト化された時空における) T-duality変換群 の復習 質量０の点粒子の場合： コンパクト方向の足 ノンコンパクト方向の足 (ノンコンパクト時空にとっての質量) 弦 弦の場合：　巻きつき数の寄与も考えて、 巻きつき数

  5. B場の寄与も含めると… 正準運動量がずれる i.e., Generalized metric

  6. Generalized metricの変換性 の種類 変換行列 C∈GL(d) ① 座標変換 Aは反対称 ｄ×ｄ行列 ② （B場の）ゲージ変換 ③それ以外 （非自明なT-duality群変換）

  7. 変換が、 この どのような奇妙な時空(=T-fold)を自然に生み出すのか見てみよう。

  8. T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065] with × 非周期性 ゲージ変換 (→constant H=dB) 座標変換 （非自明な） T-duality群変換 T-fold

  9. T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065] (φ,ψ)-torusのgeneralized metric モノドロミー

  10. 大ざっぱな教訓： 　非周期性がB場だけに因る系に、 ２回T-dualityを作用させるとT-foldを得る。 T T NS5 KKM 弦理論の場合： T-fold brane-web of (type II) string theory IIA IIB 全てU-fold! (codim=2) T-duality 記法： -brane S-duality

  11. の構造 [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603] 基本的には先ほどの toy model と全く同じ。 （余分な次元が加わるだけ） i.e., 非自明にファイバーされた2-torusがある。 (3,4)-torus の構造 ＝　時間方向 ＋transverse (1,2)平面 ＋非自明にファイバーされた(3,4)-torus ＋残りの次元 (1,2)平面 の軸非対称性はO(2,2)変換からくる。

  12. Rotating String and Double Field Theory

  13. 前節のまとめ： T-fold (より一般にはnon-geometric background) 弦理論に自然に（必然的に）存在する奇妙な時空　 観測者は どのような世界を見るか？ このような奇妙な背景場における物理（=プローブの挙動）を調べる。 → 弦理論には「人間」は存在しないので、プローブとして基本弦を置いてみる。

  14. もともとの動機： ・chargeの非保存？ ・離散的なchargeの、連続的な遷移過程 例:：　基本弦を　　　の周りで一周させる。 終状態 p3= -1 ？ p4=0 ？ w3=0 w4=0 始状態 ？ p3= -1 p4=0 背景場の変化に合わせて、 プローブも変化する。 (巻きつき数の非保存？) 中途半端なwinding number？ w3=0 w4=1

  15. 話をはっきりさせるために、 周りを、等角速度で回転する基本弦の古典解を求めた。 ２個の未知関数に対する ６個の方程式。 ： 任意関数 →　一般解が求まった

  16. 結果　（当初の目的意識からするとあまり面白くない）結果　（当初の目的意識からするとあまり面白くない） (3,4)-torus 弦 （見やすさのために 長方形で表している） (1,2)-平面 注：このような解しか存在しない。

  17. と単純だから… 　　の軸非対称性は、 は「何らかの意味で」軸対称で、 の周りを回る基本弦は、「何らかの意味で」形を変えずに回っているのだろう。 ？ ＝ 「何らかの意味」　→　doubled geometryの意味

  18. Double Field Theory の骨子 ・ Doubled geometry すべての場はx^Iに依存する コンパクト方向の座標 双対座標 ※このトークでは、簡単のため１０次元すべてをdoubleにする。 ・Generalized geometry 特に、一般化された リー微分：

  19. cf. [Duff, Nucl.Phys. B335 (1990) 610] Doubled geometry [Kugo-Zwiebach, Prog.Theor.Phys. 87 (1992) 801-860] 理由１ 不変性（⊃10次元一般座標不変、10次元ゲージ不変） を明白にしたい。→ 通常の時空の足L,M,N…を含む20次元の足が必要 理由２ は弦の運動量と巻きつき数を混ぜる。

  20. 不変な作用が書ける。 実際、 作用を書くのに必要な材料： ゲージ固定

  21. Good review: [Zwiebach, Lect.Notes Phys. 851 (2012) 265-291 ] Generalized geometry Generalized geometryの基本思想： GとBを対等に扱いたい。 ゲージ変換パラメター： one-form vector Gのゲージ変換： GとBで形が異なる （実に醜い） Bのゲージ変換： この「おつり」を吸収したリー微分を作りたい。

  22. 一般化リー微分の見つけ方： [Hohm-Hull-Zwiebach, JHEP 1008 (2010) 008] Generalized metric の変換性を書き下してみる。 vector と one-formに関して対称で美しい式。 注：　より演繹的な一般化リー微分の定義の仕方もある。 cf. Generalized complex geometry (ex. Courant bracket, Hitchin geometry)

  23. Doubled geometry の言葉で、先ほどまでの話を見直してみる。 ・はdoubled geometryの意味で軸対称。 重要な点： 　　が双対座標に依存している。 そうでなければ、ただの座標変換 言い換えると、 は双対座標を巻き込んだような座標変換 我々の時空 （Doubled geometryの言葉を借りなければ、このようなisometryは記述できない。） 現段階では、このgeneralized isometryは「目の子」で見つけただけ。 →　意味の詳しい理解は今後。

  24. ・弦はgeneralized Killing vectorに沿って、 形を変えずに平行移動していく。 弦の”形”を表すベクトル イメージ図２ イメージ図１ 方向 doubled空間 射影 我々の時空 doubled弦 （形を変えない） 通常の弦 (形を変えていく) doubled空間 我々の時空

  25. 関連する話題 ＆ Future directions （放言）

  26. Q-brane

  27. [Greene-Shapere-Vafa-Yau, Nucl.Phys. B337 (1990) 1] [Bergshoeff-Hartong-Ortin-Roset, JHEP 0702 (2007) 003] D7-brane “S-brane” （特に名前はないブレーン） 一般に“Q-branes”と呼ばれる。 弦理論的な素性は分かっていない。 通常のブレーンの束縛状態？

  28. D7-brane -brane U-duality “S-brane” “T34-brane” [TK-Okada-Sakatani, arXiv:1205.5549] Q-braneの素性は何か？ その周りでのprobeの振る舞いは？

  29. U-folds上のcharge

  30. GHMプロセス [Gregory-Harvey-Moore, Adv.Theor.Math.Phys.1:283-297,1997] KKMの周りで基本弦を動かす（off-shell）。 KKMを囲むS^3はHopf S^3 → 基本弦はlocalにしかS^3に巻き付けない。 　（globalには巻きつき数が定義できない） →　プロセスの最中、基本弦からKKMにwinding chargeが流れ込む。 の周りで基本弦を動かす(off-shell)。 のモノドロミーは →　基本弦はlocalにしか　 に巻き付けない。 　（globalには巻きつき数が定義できない） →プロセスの最中、基本弦から　　　にwinding chargeが流れ込む。

  31. 渦の存在下でのcharge 7-brane: 弦理論における渦 渦：非自明なサイクルを持ち得る。 → 周囲に対する影響力が強いソリトン cf. Alice string, Cheshire charge [Schwarz, Nucl. Phys. B 208, 141 (1982).] [Alford-Benson-Coleman-MarchRussel-Wilczek, Nucl. Phys. B 349, 414 (1991)] cf. Abe homotopy: 渦とモノポール共存状態の分類、 Z→Z2 [小林-小林-川口-新田-上田, Nucl.Phys. B856 (2012) 577-606] ↑ これらは“自明な背景”におけるchargeの分類 U-fold上の”charge”を定義するためには、 dualityによって様々なchargeが渾然一体となっている様 を理解しなければならない（？）

  32. dualityへの理解に対する新しいアプローチ（？）dualityへの理解に対する新しいアプローチ（？） 弦 T こちらの世界 あちらの世界 一つの世界での出来事 通常の文脈でのduality U-fold背景におけるduality consistentな描像 → dualityの理解 名言（？） dualityの道 「U-foldをめぐる道は、である。」 --岡田 崇

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