第八章 拉伸与压缩

1. 第八章 拉伸与压缩 山西农业大学工学院

2. §8-1 横截面上的应力 §8-2 拉压杆的强度计算 §8-3 斜截面上的应力 §8-4 拉（压）杆的变形与位移 §8-5 拉（压）杆内的应变能 第 8 章 拉伸和压缩

3. §8-6 低碳钢和铸铁受拉伸和 压缩时的力学性能 §8-7 简单的拉、压超静定问题 §8-8 拉（压）杆接头的计算

4. 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。

5. 在第7章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力——轴力。显然，它是横截面上法向分布内力的合力。 §8-1 横截面上的应力

6. （7-1） 要判断一根拉压杆是否会因强度不足而破坏，仅确定轴力是不够的，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律,找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号s表示。 定义：法向分布内力的集度—m-m 截面 C点处的正应力s为： DA：C点处所取的很小的面积； DFN：面积上分布内力的合力。

7. 是矢量，因而正应力也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。上式为正应力大小的计算式。正应力的量纲为 。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其中文代号是帕，国际代号是Pa。

8. 由于应力在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得到以内力表示应力的公式。

9. 在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。

10. 平面假设：原为平面的横截面，在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。 这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。

11. 在工程上常假设材料是均匀的，连续的,而且是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可知：

12. （7-2） 式中，为轴力，A为横截面面积。 对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。 对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短变形的压应力为负。

13. 注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。 圣维南原理： 外力作用于杆端的方式不同（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。

14. 当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 ，即得杆内的最大应力为： （7-3） 此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。

15. 一横截面面积 A=400mm2 的等直 杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。 例题 8-1 解：此杆的最大轴力为： 最大工作应力为：

16. 例题 8-2 一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知 F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力。 解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。

17. 例题 8-2

18. 例题 8-2 最大工作应力为：

19. 思考题 8-1 试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。 答：根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。

20. 注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式 是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下, 才能应用该公式。 工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓“应力集中”。应力集中处的局部最大应力 smax与按等截面杆算得的应力s0 之比称为应力集中系数a 。

21. 最大应力 smax与按等截面杆算得的应力s0 之比即应力集中系数a：

22. §8-2 拉压杆的强度计算 为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力smax不能超过杆件材料所能承受的极限应力su，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达

23. 上式中，n是大于 1 的因数，称为安全因数，其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考虑。 一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件以必要的安全储备。

24. 材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。 极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的许用应力[s] 。于是强度条件又可写作 应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：

25. 2. 选择截面尺寸——已知荷载及许用应力，根据强度条件选择截面尺寸。 1. 校核强度—— 已知杆件的横截面面积A、材料的许用应力[s] 以及杆件所承受的荷载，检验是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够的强度。 3. 确定许用荷载——已知杆件的横截面积 A、材料的许用应力[s] 以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定此杆所能容许的轴力，从而计算荷载的最大容许值。

26. 例题 8-3 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图(a)所示。BC 段和CD 段的横截面面积是AB 段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比h/b=1.4，材料的许用应力[s]=160 MPa。试选择各段杆的横截面尺寸h和b。

27. 例题 8-3 解：首先作杆的轴力图。 对于AB段，要求：

28. 例题 8-3 对于CD段，要求 由题意知CD段的面积是AB 段的两倍，应取

29. 由 由 例题 8-3 可得AB段横截面的尺寸b1及h1： 可得CD段横截面的尺寸b2及h2：

30. 图示一等直杆在自重和力作用下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为r ，许用应力为[s]。试分析杆的自重对强度的影响。 例题 8-4 解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。

31. 例题 8-4 作轴力图如下：

32. 例题 8-4 由此可见，若杆的rgl与其材料的[s ] 相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。

33. 有一三角架如图所示，其斜杆由两根 等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组成，材料均为Q235钢，许用应力[s ]=120 MPa。 求许用荷载 [ F ]。 例题 8-5

34. 例题 8-5 解：(1)首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。

35. 例题 8-5 (2) 计算许用轴力。由型钢表查得： 知许用轴力为：

36. 例题 8-5 (3) 计算许用荷载。 故斜杆和横杆都能安全工作的许用荷载应取

37. 实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。 §8-3 斜截面上的应力

38. 问题：

39. (A为横截面的面积) 仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。

41. 以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随a角而改变的规律。 应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。 单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定。 以上的分析结果对压杆也同样适用。

42. 可知：

43. 拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成±45º的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。

44. 受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由某种材料制成的拉杆如果实际上是由于 而引起的强度破坏，是否可用 作为强度破坏的判据呢？ 思考题 8-2

45. 答：可以。拉（压）杆斜截面上的最大切应力与横截面上的正应力间保持着固定比例，所以按横截面上的正应力与材料的极限应力相比较所建立的强度条件，与按斜截面上最大切应力所建立的条件是等价的。

46. (3) 拉（压）杆任意两个互相垂直的截面 k-k和n-n上的切应力为： 拉（压）杆两个相互垂直截面上的切应力大小相等，而指向都对着（或都背离）该两截面的交线。

47. 切应力互等定理：两个相互垂直平面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直平面的交线。 该定理有普遍意义。

48. 1. 胡克定律 （为轴力，A为截面积） §8-4 拉（压）杆的变形与位移 实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金钢等都有一个线弹性阶段，即：

49. 引入比例常数 E有： 上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E为弹性模量，其量纲为 ，常用单位为MPa。E的数值随材料而异，是通过试验测定的。EA称为抗拉（压）刚度。 (单向应力状态时的胡克定律) 上述公式也适用于压杆。

50. 该式表达的是均匀伸长时的线应变。 普遍地用于所有的单向应力状态。