第五章計數 (Counting)

第五章計數(Counting) §5.1基本計數原則(The Basics of counting) §5.2鴿洞原理(The Pigeonhole Principle) §5.3排列與組合(Permutations and Combinations) §5.4二項式係數(Binomial Coefficients) §5.5較複雜的排列與組合(Generalized Permutations and Combinations) §5.6產生排列與組合(Generating Permutations and Combinations)

基本計數原則(§5.1) • 乘法法則(product rule)假設一個程序可以分解為兩個連續的階段任務。如果完成第一階段任務有n1種方法，在完成第一階段後，有n2種方法完成第二階段；則有n1n2種方法完成這整個程序。 • 加法法則(sum rule) 如果完成第一種任務有n1種方法，第二種任務有n2種方法；並且這兩項任務不能同時完成，則完成任一種任務的方法有n1+n2種。

乘法法則－－範例 • 例：一個只有兩個僱員(山卓與派托)的新公司，租下了一個有十二個辦公室的房子。有幾種不同的方式，能將這兩個僱員安排於不同的辦公室？ • 解： • 例：用一個英文字母與不超過100的正整數替禮堂的座位編號。不同編號的座位最多能有多少個？ • 解：

例：長度為7的位元字串有多少個？ • 解： • 例如果每個車牌由3個英文字母後面接著3個數字的序列構成(允許任何字母的排序)。共有多少不同的有效車牌？ • 解：

函數的計數 從一個含有m個元素的集合對應到另一個含有n個元素的集合，能形成多少個函數？ • 解： • 一對一函數的計數從一個m個元素集合對應到一個n個元素集合，可形成多少個一對一函數？ • 解：

有限集合之子集合的計數 利用乘法法則導出有限集合S的不同子集合數為2|S|。 • 解：

加法法則－－範例 • 例：假設要從數學教師或主修數學的學生中選一個人作為校委員的代表。如果有37位數學教師和83位主修數學的學生，那麼這個代表有多少種不同的選擇？ • 解： • 例：一名學生可以從三份清單中選擇一個電腦計畫來完成。這三份清單分別包含23、15和19種計畫。則能被選擇的計畫有多少種？ • 解：

更複雜的計數問題(同時使用兩個法則來解決問題)更複雜的計數問題(同時使用兩個法則來解決問題) • 例：在計算機語言BASIC的某個版本中，變數的名稱是一個或兩字元的符號字串，其中的大小寫字母視為相同(字元符號取自26個英文字母或是10個數字)。此外，變數名必須以字母為開頭，並與5個由兩個字元構成的保留字(用於程式設計)區別。則在這個BASIC版本中共有多少個不同的變數名稱？ • 解：

例：電腦系統的每個使用者，皆擁有一個6到8個字元構成的登錄密碼，其中每個字元是一個大寫字母或數字，且每個密碼必須至少包含一個數字。則密碼共有多少種？例：電腦系統的每個使用者，皆擁有一個6到8個字元構成的登錄密碼，其中每個字元是一個大寫字母或數字，且每個密碼必須至少包含一個數字。則密碼共有多少種？ • 解：

排容原理 • 計數原理可以用集合方式來表達。令A1和A2為集合，從A1中選擇一個元素有A1種方法。從A2中選擇一個元素有A2種方法。從A1或A2中選擇一個元素的方法數等於從A1中選擇一個元素的方法數加上從A2中選擇一個元素的方法數，減掉同時存在集合A1和A2中之元素個數，所以我們有 A1∪A2 = A1 + A2 - A1∩A2

例：以字元1開始或者以字串00結束的8位元字串有多少個？例：以字元1開始或者以字串00結束的8位元字串有多少個？ • 解：

例：一個電腦公司收到350個碩士的履歷表來應徵工作。假定其中有220個主修電腦科學；147個主修商業管理；而有51個人雙主修電腦科學與商管。有多少應徵者的主修既非電腦科學也非商業管理？例：一個電腦公司收到350個碩士的履歷表來應徵工作。假定其中有220個主修電腦科學；147個主修商業管理；而有51個人雙主修電腦科學與商管。有多少應徵者的主修既非電腦科學也非商業管理？ • 解：

樹狀圖 • 樹狀圖(tree diagram)可以用來解決計數問題。一個樹圖包含一個根點，一些由根點分出去的分支，和由分支端點分出去的分支和端點(將在第十章詳細地研究樹)。在計數中使用樹同時，我們用每個支點表示可能的選擇，用葉子點表示可能的結果。這些葉子點是某些分支的終點，不再有從它們開始分出去的分支。

例：不含連續兩個1的4位元字串共有多少種？ • 解：下面的樹狀圖列出了所有不含連續兩個1的4位元字串。可以看出存在8個不含連續兩個1的4位元字串。第一個位元第二個位元第三個位元第四個位元 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1001 0001 1010 0010 0100 1000 0000 0101

例：假設印有 ”I Love New Jersey” 的T恤有五種不同的大小，分別為：S、M、L、XL及XXL。若除了XL及XXL外，每個大小都有四種顏色，黃(Y)、紅(R)、綠(G)及黑色(B)。而XL只有紅、綠及黑色；XXL只有綠色及黑色。在紀念品店必須庫存至少多少件不同的T恤，方能使得每種顏色及每種大小都至少有一件？ • 解：

鴿洞原理(§5.2) • 定理: 若k為正整數，如果有k+1個或更多的物件放入k個盒子中，則至少有一個盒子包含2個或更多的物件。 • 證明： • 鴿洞原理也稱作狄利克雷抽屜原理(Dirichlet drawer principle)，以19世紀的德國數學家狄利克雷命名。

系理:一個函數 f 由含有k + 1（或以上）個元素的集合，對應至只有k個元素的集合，一定不會是一對一的。 • 證明：

範例 • 在一群367人中一定至少有2人的生日在一年的同一天，因為一年至多只有366天。 • 在27個英文單字中一定至少有2個單字以同一個字母開始，因為英文字母集中只有26個字母。 • 例：如果考試給分是從0到100，班上必須有多少名學生才能保證在這次期末考試中至少有2位學生得到相同的分數？ • 解：

例：證明對每一個整數n，有一個n的倍數僅由0和1組成。例：證明對每一個整數n，有一個n的倍數僅由0和1組成。 • 解：

廣義的鴿洞原理 • 廣義的鴿洞原理(The generalized pigeonhole principle)：如果N個物件放入k個盒子，那麼至少有一個盒子包含了至少[N/k]個物件。 • 證明：假設沒有盒子包含了比[N/k]-1多的物件，那麼物件總數至多是 k(N/k 1) < k[((N/k)+1)  1] = N, 這裡用到不等式N/k < (N/k)+1。這與總共存在N個物件的事實矛盾。

範例 • 例：在100個人中，至少有人在同一個月裡出生。 • 例：如果成績分為A、B、C、D和F五種標準。則在一個離散數學班裡，最少要多少位學生，才能保證至少有6位學生得到相同的分數？ • 解：

例a)一副標準撲克牌，必須選多少張牌，才能保證至少選到三張同花例a)一副標準撲克牌，必須選多少張牌，才能保證至少選到三張同花色的牌？ b)必須選擇多少張撲克牌，才能保證至少選到三張紅心？ • 解： a) 假設有4個箱子，當選取了一張牌之後，它便會被放到為該花色而保留的箱子內。由廣義的鴿洞定理知道，如果N張牌被選擇，至少有一個箱子包含至少[N /4]張牌。因此，如果[N /4]  3時，表示至少3張牌是同花色的。使得[N /4]  3的最小整數N為N = 2．4+1 = 9，所以9張牌已足夠了。如果只選擇8張牌，有可能每種花色只有兩張牌，所以必須多於8張牌。因此，必須選擇9張牌，以保證至少選到三張同花色的牌。有一個好的方法來思考這個問題，即若已選了8張牌後，某種花色無可避免的會出現第三張牌。 b) 由於想要確定有三張紅心，而不只是三張同花色的牌，不使用廣義的鴿洞定理來回答這個問題。在最差的情況下，在選擇唯一的一張紅心之前，可以選取所有梅花、方塊以及黑桃的牌總共39張。則接下來的三張牌將會全都是紅心，所以必須選擇42張卡片才能得到三張紅心。

例：為保證一州的2500萬個電話有不同的10位電話號碼所需地區代碼的最小數是多少？(假設電話號碼是NXX-NXX-XXXX，其中前3位是地區代碼，N表示包含2到9的數字，X表示任何數字)。例：為保證一州的2500萬個電話有不同的10位電話號碼所需地區代碼的最小數是多少？(假設電話號碼是NXX-NXX-XXXX，其中前3位是地區代碼，N表示包含2到9的數字，X表示任何數字)。 • 解：

鴿洞原理的巧妙應用 • 例：在含有30天的某一個月裡，某棒球隊一天至少打一場比賽，但比賽總數不會超過45場。證明這個球隊一定有連續的若干天內恰好比賽了14場。 • 解：令aj是在這個月的第j天或第j天之前所打的場數，則a1、a2、…、a30是不同正整數所成的遞增序列，其中1 aj 45。此外a1+14、a2+14、…、a30+14也是不同正整數所形成的遞增序列，其中15 aj+14  59。此60個正整數a1、a2、…、a30、a1+14、a2+14、…、a30+14全都小於或等於59。因此，由鴿洞定理得知有兩個正整數相等。因為整數aj (j = 1、2、…、30)每個都不同，並且aj+1(j = 1、2、…、30)每個也不相同，則一定存在下標i和j滿足ai = aj+14。這意味著從第j+1天到第i天恰好打了14場比賽。

例：證明在不超過2n的任意n+1個正整數中，一定存在一個正整數被另一個正整數整除。例：證明在不超過2n的任意n+1個正整數中，一定存在一個正整數被另一個正整數整除。 • 解：

排列與組合(§5.3) • 所謂排列(permutation)是將不同元素的集合做有序的安排。我們同樣對將某集合中取出幾個元素出來排列感到興趣。自一個集合中取出r個元素來排列稱作r-排列(r-permutation)。 • 一個集合之元素的r-組合(r-combination)指的是在此集合中，不考慮次序選出r個元素。其實，一個r-組合就是集合中包含r個元素的子集合。

例:令S = {1, 2, 3}。有序安排3, 1, 2是種S的排列。而有序安排3, 2是S的2-排列。 • 自一個含有n個元素的集合中，選取r個元素出來做有序安排記為P(n, r)。我們能用乘法法則來求出P(n, r)。 • 例:令S = {1, 2, 3}。所有S的2-排列有：a, b；a, c；b, a；b, c；c, a和c, b。故，有六種S的2-排列。為證明所有含三個元素的集合都有六個2-排列。我們注意到選擇第一個元素有3種可能，而選取第二個元素則有2種可能。根據乘法法則P(3, 2) = 32 = 6。

定理:若n與r為正整數（1 rn），則自含有n個元素的集合中選取r個元素來做排列的方法數有 P(n, r) = n(n1)(n 2)…(nr + 1)。 • 證明：我們將利用乘法法則來證明這個等式是正確的。在此排列的第一位中有n種選擇，因為集合中有n個元素；第二位有n 1種選擇，因為第一位選定後，集合中只剩下n 1個元素。同樣的理由，第三位的選取方法剩下n 2個，以此類推，直至選取第r時，集合中只剩下nr + 1。結果，根據乘法法則此集合之r-排列有 n(n1)(n 2)…(nr + 1)。

系理:若n與r為正整數（0 rn），則 P(n, r) = n!/(n r)!。 • 證明: 當n與r為正整數（1 rn），根據定理，我們得到 P(n, r) = n(n1)(n2)…(nr+1) = n!/(n1)!。因為，當n為非負整數時，n!/(n1)! = n!/n! = 1。所以P(n, r) = n!/(n r)!，在r = 0時亦成立。

例:從100個參賽者中，可能產生的第一名、第二名和第三名的組合有幾種？例:從100個參賽者中，可能產生的第一名、第二名和第三名的組合有幾種？ • 解： • 例:假設有八個人參加賽跑。優勝者將得到金牌，第二名得到銀牌，而第三名得到銅牌。得獎結果可能出現的結果有幾種（不會有平手的情形發生）？ • 解：

例:假設一個推銷員必須拜訪八個城市。她必須由某個特定的城市開始。接下來拜訪之城市的順序則沒有限制。這個推銷原有多少種方式安排她的旅程？例:假設一個推銷員必須拜訪八個城市。她必須由某個特定的城市開始。接下來拜訪之城市的順序則沒有限制。這個推銷原有多少種方式安排她的旅程？ • 解： • 例:在字母ABCDEFGH的排列中，包含字串ABC的排列有幾種？ • 解：

例:令S為集合{1, 2, 3, 4}。則{1, 3, 4}就是個S的3-組合。 • 一個包含n個相異元素的集合，其r-組合的個數記為C(n, r)。有時，C(n, r)也會表成二項式係數(binomial coefficient)。 • 例:我們發現C(4, 2) = 6，因為集合{a, b, c, d}的 2-組合有六個子集合，分別為{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}和{c, d}。

定理:當n為非負整數，r為整數，0 rn時，一個包含n個相異元素的集合，其r-組合的個數 C(n, r) = n!/r!(n  r)!。 • 證明：因為，r-排列能由先找出r-組合，然後再將找出的組合做排列就可得到。所以， P(n, r) = C(n, r)P(r, r)。所以，可得 C(n, r) = P(n, r)/P(r, r) = (n!/(nr)!)/(r!/(rr)!) = n!/r!(n  r)!。

例:一副52張的撲克牌中取出5張牌有幾種可能的組合？又若選取47張牌有幾種方法？例:一副52張的撲克牌中取出5張牌有幾種可能的組合？又若選取47張牌有幾種方法？ • 解：

系理：令n與r為rn的非負整數。則 C(n, r) = C(n, nr)。 • 證明：根據定理，我們有 C(n, r) = n!/r!(n  r)!與 C(n, nr) = n!/(n  r)[n  (n  r)]! =n!/(n  r)!r!。所以，C(n, r) = C(n, nr)。

定義: 一個等式的組合證明(combinatorial proof)是一種利用計數論證的證明方式。證明等式兩端都是在計算某種物件的數量，只是使用方法不同。 • 令n與r為rn的非負整數。則C(n, r) = C(n, nr)。的組合證明。 • 證明：假設S為包含n個元素的集合。每個包含r個元素的子集合A都對應一個包含nr元素的子集A合。所以C(n, r) = C(n, nr)。

例:一個有10個隊員的網球隊要挑出五個球員來參加和它校的比賽有幾種不同的方式？例:一個有10個隊員的網球隊要挑出五個球員來參加和它校的比賽有幾種不同的方式？ • 解： • 例:一個30個成員的太空人團體，要挑選6人參與第一次的火星探險任務，可以有幾種不同的組合團隊（假設所有隊員的工作都相同）？ • 解：

例：有多少個長度為n的位元字串中恰巧含有r個１？例：有多少個長度為n的位元字串中恰巧含有r個１？ • 解： • 例：假設在數學系中有9個教師，在電算系中有11個教師。若想要組成一個離散數學發展委員會，此委員會中必須包含三個數學系教授，四個電算系教授。請問委員會有幾種組合方式？ • 解：

第五章計數 (Counting)