第三章  数值积分法在系统仿真中的应用
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第三章 数值积分法在系统仿真中的应用. 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法 ……………. 3.2 刚性系统的特点及算法 …………………………. 3.3 实时仿真法 ………………………………………. 3.4 分布参数系统的数字仿真 ………………………. 3.5 面向微分方程的仿真程序设计 …………………. 本章小结 ………………………………………………. 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法. 1. 数值积分法. 如果已知某一系统的一阶向量微分方程为. ( 3-1 ). 对式子 (3.1), 数值积分可写成统一的公式. ( 3-2 ).

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第三章 数值积分法在系统仿真中的应用

3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法…………….

3.2 刚性系统的特点及算法………………………….

3.3 实时仿真法……………………………………….

3.4 分布参数系统的数字仿真……………………….

3.5 面向微分方程的仿真程序设计………………….

本章小结……………………………………………….


3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法

1. 数值积分法

如果已知某一系统的一阶向量微分方程为

(3-1)

对式子(3.1),数值积分可写成统一的公式

(3-2)


几种常用的积分法

欧拉法

欧拉法的几何意义

改进的欧拉法

龙格-库塔法

亚当斯法(显式)

亚当斯法(隐式)


欧拉法

欧拉法虽然计算精度较低,实际中很少采用,

但器推倒简单,能说明旧够数值解法一般计算公

式的基本思想。

误差

(3-3)

0

t

图3.1 矩形近似及其误差


欧拉法的几何意义

欧拉法的几何意义 十分清楚。

t

称为欧拉折线法。

图3.2 欧拉折线


改进的欧拉法

在推导时用图中的阴影面积来近似

式(3.3)时,由于梯形公式中隐含有待求

量,通常可用欧拉法启动初值,算出近

似值,然后带如微分方程,最后利用梯

形公式求出修正。为提高精度,简化计

算,只迭代一次。这样可得改进的欧拉

公式:

(3-8)

0

t

第一式称为预估公式,

第二式称为校正公式。

图3.3 梯形近似及其误差


龙格-库塔法

泰勒级数

(3-9)

龙格-库塔(RK)法的一般形式为

(3-10)

式中


4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法,其公式如下

(3-11)


亚当斯法(显式)

在解决积分问题时,采用亚当斯-贝喜霍斯显示多步法,简称亚当斯法。

根据牛顿后插公式

(3-25)

(3-26)


亚当斯多步法的计算公式是

(3-27)

其中

(3-28)

(k=1时可得欧拉公式)


k=2时,得到亚当斯多步法的计算公式,(3-28)式各系数为

(3-29)


故可得三阶亚当斯公式

整理上式得

(3-30)


亚当斯法(隐式)

牛顿前插公式为

(3-31)

(3-32)


仿照显式多法的推倒过程,得亚当斯-摩尔顿隐式多步法

的计算公式

(3-33)

常用的四阶亚当斯预测-校正法的计算公式为

(3-34)

(3-35)


3.2 刚性系统的特点及算法

一个刚性系统可以这样描述,对于n阶微分方程组

(3-36)

作为系统刚性程序的度量。


当 时,系统为刚性系统,或称为stiff系统。对与这样的系统作做

数字仿真,其最大的困惑是:积分步长由最大的特征值来确定,最小的

特征值决定数值求解总的时间。

刚性系统在时间中的普遍性和重要性已得到广泛的重视,这种方程的数

值解已成为常微分方程的数值研究的重点。

目前解刚性方程的数值方法基本分为:

显式公式

隐式公式

预测校正


显式公式常用雷纳尔法。其中着眼点是,在保证稳定的前提下,尽

可能地扩大稳定区域。这一方法的优点是,它是显式的,所以便于程序

设计。对一般好的方程设计。对一般条件好的方程,它就还原为四阶龙

格-库塔方法,而对刚性方程它又有增加稳定性的好处。

众所周知,隐式公式都是稳定的,故都大于解描述刚性系统的方程

组,如隐式的龙格-库塔法。但这种方法每计算一步都要进行迭代,故计

算量大。在工程上使用又一定捆年。因此在解刚性方程时,常Rosenbrock

提出的半隐式龙格-库塔法。

预测-校正型中常用的解刚性方程的方法式Gear算法。Gear首先应

引进刚性稳定性的概念,它可以满足稳定型,而减低对h的要求。Gear

方法是一格通用的方法,它不但使用于解刚性方程组,而且也适用于解

非刚性方程组。


3.3 实时仿真法

假设仿真的连续动力学由非线形常微分方程描述为:

(3-37)

对(3-37)式采用二阶龙格-库塔公式求解,其递推方程可写为

(3-38)

F为函数,外部输入为u(t) 。


3.6 RK-2 的计算流程


为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:

(1)选择Adams多步法。

(2)合理地选择龙格-库塔法计算公式中的系数,使之适用于

实时仿真。

(3-39)


1为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:

其流程图如图3-7:

图3.6 实时RK-2 的计算流程


下面为一个高阶的为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:龙格-库塔法计算公式

(3-40)


为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:3)利用已经取得的值进行外推。

(3-41)

采用外推算法不仅会带来附加的误差,还要增加计算量,所以

比较下来还是选择实时算法为佳。


本章小结为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:

(1) 系统的动态特性通常是用高阶微分方程或一阶微分方程组来

描述的。一般讲只有极少微分方程能用初等方法求得其解析解,多

数只能用近似数值求解。利用计算机求解微分方程主要使用数值积

分法,它是系统仿真的最基本解法。本章重点讨论了数值积分发在

系统仿真中的应用问题。

(2) 在系统仿真中,常用的微分方程的数值积分发有欧拉法、龙格-库塔法和线性等分法等。数值积分法的分类方式很多,常见的有:单步法和多步法,显式和隐式的分法。使用这些解法时,要注意其特点。


本章小结为了适用于实时仿真计算,一般经常采用以下方法:

(3) 实时仿真解法是半实物仿真所必须满足的条件,但并非所有的解法都适用于实时解法。应用时,必须仔细选择能满足实时要求的解法和公式。

(4) 有相应一类动力学系统无法用常微分法来描述,而要用偏微分方程法来描述。例如,热传导问题、振动问题等,这类系统被称为分布参数系统。这类系统的数值求解更难,主要的解法有差分解法和线上求解法。


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