工程數學

工程數學 第 4 章向量微積分

本章內容 • 4.1 向量函數 • 4.2 向量函數的微分 • 4.3 微分法則 • 4.4 常向量的導數 • 4.5 用分量求向量函數的導數 • 4.6 如果的大小為常數，則 • 4.7 如果的方向為常數，則工程數學第4章第189頁

本章內容（續） • 4.8 的幾何意義 • 4.9 速度及加速度 • 4.10 純量及向量場 • 4.11 純量場的梯度 • 4.12 梯度的幾何意義 • 4.13 方向導數 • 4.14 梯度的性質工程數學第4章第189頁

本章內容（續） • 4.15 向量函數的散度 • 4.16 向量函數的旋度 • 4.17 散度的物理意義 • 4.18 旋度的物理意義 • 4.19 散度及旋度的性質 • 4.20 ▽的連續作用 • 4.21 向量函數的積分 • 4.22 線積分工程數學第4章第189頁

本章內容（續） • 4.23 環流 • 4.24 力作用的功 • 4.25 面積分 • 4.26 體積分 • 4.27 高斯散度定理(面積分及體積分之間的關係) • 4.28 平面上的格林定理 • 4.29 史托克定理(線積分及面積分之間的關係) 工程數學第4章第189頁

4.1 向量函數 • 如果對每一個純量變數t，都對應到一個向量，我們就稱為變數t 的向量函數，並記為或。 • 例如，物體沿曲線移動的位置向量就是時間t 的向量函數。工程數學第4章第190頁

4.1 向量函數 • 給定三個非共平面的向量，因為任意向量都可以唯一分解為這些向量的線性組合，所以我們可以把向量函數表示，其中代表的是沿x, y, z軸方向的單位向量。我們稱及為向量沿座標軸的分量。工程數學第4章第190頁

4.2 向量函數的微分 • 令表示變數t 的向量函數，δt是t 的變化量，而則是這個向量函數相對應的變化量。 • 也就是說或因此工程數學第4章第190頁

4.2 向量函數的微分 • 若存在，我們用表示這個極限的值，稱為相對於t 的導數。 • 因為也是t 的向量函數，我們可以定義它的導數並記為，或稱做是對t 的二階導數。同樣的方法可以定義的高階導數。工程數學第4章第190頁

4.3 微分法則 • 若及是t 的向量函數，而是t 的純量函數，則工程數學第4章第190頁

(i) 4.3 微分法則 • Proof : 同樣的可以得到工程數學第4章第191頁

4.3 微分法則 (ii) • 註：因為，在求時可以任意交換內積中向量的順序。工程數學第4章第191頁

4.3 微分法則 (iii) • 註：因為，在求時及的向量順序不可以改變。工程數學第4章第191-192頁

4.3 微分法則 (iv) • 註：是純量及向量的乘積。這種情形，我們通常把純量寫在前面而向量寫在後面。工程數學第4章第192頁

4.3 微分法則 (v) • 註：是向量及的純量三重積。在求時，這三個向量的順序不能變。 [由律(ii)] [由律(iii)] 工程數學第4章第192頁

[由律(iii)] 4.3 微分法則 (vi) 工程數學第4章第192頁

4.4 常向量的導數 • 大小及方向都不變的向量稱為常向量。如果其中一項會變，這個向量就不是常數。 • 令為t 的常向量函數。若，則，所以 ∴ 由此可知，常向量函數的導數等於零向量。 • 註：單位向量都是常向量， ∴ 工程數學第4章第193頁

因為 4.5 用分量求向量函數的導數 • 令表示t 的向量函數。如果，其中 x, y, z是t 的純量函數，則工程數學第4章第193頁

4.5 用分量求向量函數的導數 • 若，則  • 也就是說，只要知道分量函數的導數，就可以求出向量函數的導數。工程數學第4章第193頁

4.6 如果的大小為常數，則 • 假設向量函數的大小為常數。 ∴   • 註：。工程數學第4章第193頁

4.7 如果的方向為常數，則 • 令，而表示與同方向的單位向量，所以。 ∴ …(1) 工程數學第4章第194頁

4.7 如果的方向為常數，則 • 當的方向固定時，也是。在這種情形下是常向量而。 • 由式(1) 可知 ∴ 工程數學第4章第194頁

4.8 的幾何意義 • 取O 為原點。若表示點P 的位置向量，當t 變化時，P 的軌跡會形成一條曲線(如圖所示)。所以，向量函數也可以用來描述空間中的一條曲線。工程數學第4章第194頁

4.8 的幾何意義 • 例如， (i) 向量方程表示的是xy 平面上的拋物線 y2=4ax。這是因為這條拋物線可以用參數方程表示為 (ii) 向量方程表示的是xy 平面上的橢圓，因為它的參數方程為。工程數學第4章第194頁

4.8 的幾何意義 • 令C 為向量方程描述的曲線。如果曲線上二個很靠近的點P 及Q 的位置向量為及，則 ∴ 的方向與線段PQ 的方向一樣。工程數學第4章第194-195頁

4.8 的幾何意義 • 當δt →0時，Q →P所以線段PQ 會趨近於曲線在P 這點的切線。 ∴ 是曲線在P 這點的切線上的向量。工程數學第4章第195頁

4.8 的幾何意義 • 把t 用s 代替，這裡的s 表示曲線從固定的點A 到P 點這個部分的長度。也就是說 arc AP = s而 AQ = s +δs，所以δs = arc PQ 。這時候向量會落在曲線在P 這點的切線上。所以 • 因此，會等於曲線在P 這點的切線上的單位向量。工程數學第4章第195頁

4.9 速度及加速度 • 把運動粒子P 的位置向量看成是變數為時間t 的向量函數，則表示的就是粒子經過時間δt的位移。向量表示長度為δt這段時間的平均速度。如果用表示粒子在P 點的速度，則，而且它的方向會平行於曲線在P 這點的切線。工程數學第4章第195頁

4.9 速度及加速度 • 如果用表示在長度為δt這段時間的變化量，則就表示粒子在區間δt的平均加速度。如果用表示粒子在P 點的加速度，則工程數學第4章第195頁

4.10 純量及向量場 • 把空間中某個區域的每一點都指定一個值的關係稱為點函數(point function)。點函數有二種： • (a) 純量點函數。如果空間中的區域R 上每一點都給定一個純量 =  (x, y, z)，我們就稱為純量點函數(scalar point function)，而R 則是一個純量場(scalar field)。介質中的溫度分布以及空間中不同點的大氣壓力都是純量點函數的例子。工程數學第4章第204頁

4.10 純量及向量場 • (b) 向量點函數。如果空間中的區域R 上每一點都給定一個向量 = (x, y, z)，我們就稱為向量點函數(vector point function)，而R 則是一個向量場(vector field)。向量場中的每一個向量都可以看成是把一個向量局部附加到(x, y, z)這點而得到。流體的速度及重力都是向量點函數的例子。工程數學第4章第204頁

4.11 純量場的梯度 • 令 =  (x, y, z)為純量場，則向量稱為純量場的梯度(gradient) 並記為 grad 。所以 • 純量場的梯度是把向量算子作用在上而得到的。這個算子通常用符號表示，念作del 或nabla。所以grad  =  工程數學第4章第204頁

4.12 梯度的幾何意義 • 在空間中畫出一個通過點P 的曲面 (x, y, z) = c，這個曲面上每一點的函數值都和P 點一樣，稱為通過P 點的等高面(level surface)。例如當 (x, y, z)表示(x, y, z)這點的位能時，等位面(equipotential surface)  (x, y, z) = c就是位能函數的等高面。 • 空間上的每一點都屬於唯一的一個等高面，而且任何兩個等高面不會相交。工程數學第4章第204頁

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