第一节

1. 第二章 第一节 数列的极限 一、数列极限的概念 二 、数列极限 1、数列极限的定义 2、收敛数列的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 一 、数列极限的概念 设有半径为r的圆 , 用其内接正n边形的面积 引例. (刘徽割圆术), 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 时， 无限接近某个确定的数。在数学 上称这个确定数即是数列 的极限。

3. 1.数列与函数的关系 数列{ } 可以看作自变量为自然数n的函数 它的定义域是全体正整数 2.数列的几何意义 }可以看作数轴上的一 从一维角度考察，数列{ 个动点，它依次取数轴上的点 然而，从二维角度考察，数列{ }可以看作XOY面 上的点集{（n， ）}， 在XOY平面上数列{ } 表现为一个散点图。

4. 二、数列极限 1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图： （2） （1） （4） （3） （5） （6） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5. 在 Mathematica 中，表格生成函数: Table[f[n] ，{n，min，max}] 表示生成n从min变到max，步长为1的数值表。 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 表示生成n从min 变到max ，步长为 step数值表。 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图 （1）输入语 句，得到右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6. （2）输入语 句，得到右图 （3）输入语 句，得到右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7. （4）输入语 句，得到右图 （5）输入语 句，得到右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8. （6）输入语 句，得到右图 由上六图可以看出，随着n的增大， 越来越趋向于1； 越来越趋向于0； 越来越大； 趋向于－１ sin n在－１与１之间 越来越趋向于１； 或1； 变动． 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9. （2）、数列极限的精确定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n >N时, 总有 记作 的极限为 a , 则称该数列 或 此时也称数列收敛, 否则称数列发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10. 例如, 收 敛 发 散 趋势不定 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11. 例1. 证明 证：对于任意给定的 ，要使 只有 ,取正整数 ，则当 时， 恒成立，故 以2为极限，即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12. = 例2.求证 证明 :首先我们有 显然当 时 于是，对任意给定的 ，取 当 时，成立 上述不等式的放大，是在条件“ ”前提下才成立， 所以在取N时，必须要求 与 同时成立。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

13. 满足的不等式 2、收敛数列的性质 （1）. 收敛数列的极限唯一. 及 且 假设 证:用反证法. 取 因 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 同理, 因 使当 n > N2 时, 有 故存在 N2 , 从而 则当 n > N时, 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14. 例3.证明数列 是发散的. 证:用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a存在 . 取 则存在 N , 使当 n > N时 , 有 但因 而此二数不可能同时落在 交替取值 1 与－1 , 长度为 1 的开区间 内, 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15. （2）. 收敛数列一定有界. 证:设 取 则 当 时, 有 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 例如, 说明:此性质反过来不一定成立 . 数列 虽有界但不收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16. （3）. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 取 证: 对 a > 0 , 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17. （4）. 夹逼准则 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18. 例4 证明 由 证: 利用夹逼准则 . 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束

19. 内容小结 1. 数列极限的 “  – N”定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 夹逼准则。 作 业 P21 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束