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第三节 定积分的物理应用

第三节 定积分的物理应用. 一、复习微元法. 二、非均匀细杆的质量. 三、变力沿直线所作的 功. 四、液体的侧压力. * 五、引力问题. * 六、转动惯量 ( 补充 ). 一、复习微元法. 微元法的 步骤 和 关键. 1. 将区间 [a,b] 上非均匀分布的所求量 A 适当 的置于坐标系下， A 必须对 [a,b] 具有可加性。即. y. o. a. x. b. 2. 关键. 小微元 dA. 以常代变，以直代曲. 3. 对小微元 取定积分. 二 、 线密度为. a. x. b. x. 0. 利用均匀细杆质量.

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第三节 定积分的物理应用

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Presentation Transcript

  1. 第三节 定积分的物理应用 一、复习微元法 二、非均匀细杆的质量 三、变力沿直线所作的功 四、液体的侧压力 *五、引力问题 *六、转动惯量 (补充)

  2. . . . . . . . . 一、复习微元法 微元法的步骤和关键 1.将区间[a,b]上非均匀分布的所求量A适当的置于坐标系下，A必须对[a,b]具有可加性。即

  3. y o a x b 2.关键 小微元dA 以常代变，以直代曲 3.对小微元取定积分

  4. 二 、线密度为 a x b x 0 利用均匀细杆质量 思考：非均匀分布在细杆上的能量、电量、热量怎么求？

  5. 例1 解： y x 0 3

  6. 利用常力作功 三 、变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x) 作用下沿 x轴从 x a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作功微元 上所作的功为 因此变力F(x) 在区间

  7. 例1

  8. 解 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处

  9. 例2 建立坐标系如图. 解

  10. 例3 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，从水中取出球，做功多少？ 解： 选取x为积分变量，其变化区间[0，2r] （注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功） 0 (x,y) y 做功微元 2r x 做功

  11. 例4 解

  12. 于是, 作用在活塞上的力

  13. 于是所求的功

  14. 　设木板对铁钉的阻力为 例5 解 第一次锤击时所作的功为

  15. 依题意知,每次锤击所作的功相等,所以

  16. 四、液体侧压力 设液体密度为  深为 h处的压强: • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为 面积为 A 的平板 • 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 .

  17. 例1 解 在端面建立坐标系.

  18. 例2 解 建立坐标系如图.

  19. *五、引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .

  20. 例1 解 建立坐标系如图. 将典型小段近似看成质点

  21. 小段与质点的距离为 水平方向的分力元素为

  22. *六、 转动惯量 质量为 m的质点关于轴l的转动惯量为 的质点系 关于轴l的转动惯量为 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .

  23. 设有一个半径为 R , 质量为 M的均匀圆盘 , 例1. ⑴求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解:⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为 . 对应于 的小圆环对轴 l的转动惯量为 故圆盘对轴 l的转动惯量为 小圆环质量

  24. ⑵ 取旋转轴为y轴, 建立坐标系如图. 平行 y 轴的细条 关于 y轴的转动惯量元素为 故圆盘对y轴的转动惯量为 细条质量:

  25. *杂题 某水库的闸门形状为等腰梯形, 上底为10 m, 下底为6 m, 高为20 m, 闸门与水面垂直, 上底恰好 位于水平面上, 求闸门所受的水压力. 从物理学知, 液体深度为h处的压强 p = mgh, 解 其中m 为液体的密度, g为重力加速度. 面积为S的 薄板水平放置于深度为h处的液体中, 薄板一侧所受 液体压力为F = pS= mghS.

  26. x 10m 建立如图所示坐标系, 取 x为 O 变化区间为[0, 20], 积分变量, x 任取小区间[x, x+dx] Ì [0, 20], x+dx 20m 相应该小区间上窄条处各点所受 的压强近似于 9.8x (kN/m2), 6 m 小窄条的长近似于 高为dx, 压力元素为 从而闸门所受的压力为

  27. 在L 设L为xOy坐标面上的圆 例 上分布线密度为常数 m的质量. 点P(0, 0, b)处有质量 为m的质点, 试计算L对质点P的引力. z 解 设(0, a)点为计算弧长的 P 起点, 取弧长 s为积分变量, L Q 变化区间为[0, 2pa], 任取小区 O y a 间[s, s+ds] Ì[0, 2pa]. 对应该 区间上的小弧段, x 对点P的引 力的大小近似于

  28. z 方向近似于 由对称性, θ P L对点P的引力沿 z 轴方向. L Q 设 与 z 轴的夹角为θ, O y a x 则 从而 负号表示方向向下.

  29. 边长为 a 和 b 的矩形薄板(a > b), 与液面成 例 a 角置于液体中, 长边平行于液面位于深 h处, 设液面的密度为m, 求薄板的一侧所受的压力. y 解 取液面上的某点为 O h x 轴的正向向下. 坐标原点, 积分区间为 取x为积分变量, b [h, h+bsina]. 任取小区间 x [x, x+dx] Ì[h, h+bsina]. a x+dx a 对此小区间上的薄板的面积 为 所受水的压力近似 x

  30. y O h b x x+dx a a x 小薄板的面积 [x, x+dx] Ì[h, h+bsina] 于 从而薄板所受压力为

  31. 作业:习题6-3,6,9,10. 小结： 1.微元法实际上是定积分思想方法的一个简化。 2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量适当的置于坐标系下，利用以常代变，以直代曲的思想方法确定出小微元。 3.微元的几何形状常取为：条、带、段、环、扇、片、壳等。 4.应用定积分解决实际问题时，当然还需要使用其它一些常识。

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