南京市期末数学考试附加题质量分析与建议

1. 南京市期末数学考试附加题质量分析与建议 孔凡海

2. C O A P B 1．（几何证明选讲选做题） 如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径． 说明：本题重点考查圆的切线的性质，以及三角形等知识。 抽样均分大概为：6.2分

3. C O A P B 1．（几何证明选讲选做题） 如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径． 常见错误： 1．证明不规范，推理格式不正确，甚至不会推理说明，例如直接得出OP＝2OA 2．求角出现困难；计算出错。 3．勾股定理列式错误，计算失误。

4. C O A P B 1．（几何证明选讲选做题） 如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1．求⊙O的半径． 解：连结OC．设PAC＝ ． 因为PC＝AC，所以CPA＝ ，COP＝2． 又因为PC与⊙O相切于点C，所以OCPC． 所以3＝ 90．所以 ＝ 30． 又设圆的半径为r，在Rt△POC中，r＝ CP·tan30＝1× =

5. 2．（矩阵与变换选做题） 求直线2x＋y－1＝0在矩阵 作用下变换得到的直线的方程． 说明：本题重点考查一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法等知识。 抽样均分大概为：7.8分

6. 常见错误： 1．基本变换公式不清；运算出错。 （1）向量用左乘； （2） （3）选取直线2x＋y－1＝0上两点后，在计算变化后两点时计算错误

7. 常见错误： （4）直线与方程错误 4x－3y－4＝0或4x－3y－1＝0. 2．书写错误，不会基本的表达形式 3．解方程错误，基本运算不过关

10. 3．（坐标系与参数方程选做题） 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是非零常数）． （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为，求a的值． 说明：重点考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程，以及圆等知识 抽样均分大概为：7.6分

11. 3．（坐标系与参数方程选做题） 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是非零常数）． （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为，求a的值． 常见错误： 1．极坐标与直角坐标互化公式不知道； 2．极坐标与直角坐标互化公式记错，例如；

12. 3．（坐标系与参数方程选做题） 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是非零常数）． （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为，求a的值． 常见错误： 3．化为圆的标准方程时，配方出错，导致求圆心和半径出错。例如圆方程化为直角坐标方程时圆心错为(2，0)，配方法不熟练。 4．由a2＝4得a＝±2时舍去a＝－2； 5．直接写方程，无过程

13. 3．（坐标系与参数方程选做题） 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是非零常数）． （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为，求a的值． 解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ， 所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1． 由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsin θ．

14. 3．（坐标系与参数方程选做题） 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ（a是非零常数）． （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为，求a的值． 所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，即 x2＋(y－a)2＝a2． ⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为 解得a＝±2．

15. 4．（不等式选讲选做题） 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|． （1）解不等式f(x)＞3； （2）若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 说明：本题重点考查含有绝对值的不等式的求解，以及恒成立等知识。 抽样均分大概为：6.1分

16. 4．（不等式选讲选做题） 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|． （1）解不等式f(x)＞3； （2）若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 常见错误： 1．分类讨论出错；对绝对值内的代数式的符号讨论不熟； 2．画图象不准确；将答案写成 。 3．分类后结果未合并 4．恒成立问题不会转化求解

17. 解：⑴当x<1时，f（x）＝ 1 – x＋2－x＝3－2x． 由f (x)>3得3 – 2x>3，解得x<0; 当1≤x≤2时，有f（x）＝ x – 1 ＋ 2 – x＝ 1． 此时不等式f (x)>3无解; 当x>2时，有f（x）＝x－1＋ x－2＝2x－3． 由f（x）>3，得2x－3>3，解得x>3． 故不等式f（x）>3的解集为(－，0)∪(3，＋)． （2）因为f（x）＝ |x－1|＋|x－2|≥ |（x－1）－（x－2）|＝1， 当且仅当1≤x≤2取等号． 所以当a<1时，不等式f（x）>a恒成立．

18. 5．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝ ，M是棱CC1的中点． （1）求证：A1B⊥AM；A1B1C1BACM （2）求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值． 说明：本题重点考查了空间向量的 坐标表示，直线的方向向量，用法 向量来表现平面的方向；空间向量 的垂直证明以及求线面角的方法等 知识。 抽样均分大概为：6.3分 B1 A1 C1 M B A C

19. 常见错误： 1．建立坐标系出错，确定坐标出错；计算能力差。 2．平面AA1B1B的法向量与向量AM夹角余弦值的计算错误；法向量与AM向量夹角余弦值与所求的sinθ不会转化；更多人虽算对却不会求线面角的 正弦值，错求成 3．运算不正确法，最基本运算不过关，例如向量求错、向量求角算错

24. 6．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．6．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．

25. 说明：本题考查古典概型的概率计算，以及进一步求分布列与期望．古典基础的概率问题应该是考查的重点，而且兼考查了排列组合等知识．说明：本题考查古典概型的概率计算，以及进一步求分布列与期望．古典基础的概率问题应该是考查的重点，而且兼考查了排列组合等知识． 第一问中，含有一个待定的参数，可以通过解方程求出． 指前三次都是黑球，第4次为白球．这时看作有序地取4个球， 本题取不同值时，事件的实验是不同的，求概率时一定要看清事件的试验是什么，是否有序，是否可重复等要点． 抽样均分大概为：5.6分

26. 常见错误：1．部分学生对该内容几乎不懂；理解题意困难；2．计算能力差，方程不会解，解方程只得到x=6，不写x=－5；3．第二问X = 2,3,4时概率计算出错较多，部分学生不会求概率，并导致最终的数学期望计算出错；4．解答步骤不完整，表达不规范，解题不规范。

29. 2010年附加题复习建议

30. 1．附加题供理工方向考生使用，满分40分，考试时间30分钟．1．附加题供理工方向考生使用，满分40分，考试时间30分钟． 2．1－4题为选做题，每题10分，考生只需选做其中2题，多选做的按前两题计分，5－6题为必做题，每题10分。 3．附加题部分由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1。 4．要特别重视理科附加题，本次考试附加题抽样均分25.7分。对数学附加题一定要充分重视，估计不同层次的学生附加分的差距会超过语文、外语中的任何一门．

31. 5．复习附加题可以采取专题与考试、讲评相结合的方法．建议在每一块内容最终要形成整体的知识结构。必须有针对性地对自己在模考或其他作业中出现的某一方面的问题进行系统的整理和思考．5．复习附加题可以采取专题与考试、讲评相结合的方法．建议在每一块内容最终要形成整体的知识结构。必须有针对性地对自己在模考或其他作业中出现的某一方面的问题进行系统的整理和思考． 6．注意把握难度，考虑只有30分钟要做4道大题，除最后一题中的一问有点难度外，其余题应该都是基础题，要比上手快（速度），解法标准（规范），运算正确（准确），不追求难度．很多学生最后常常是很简单的问题做错了，或者不熟练，来不及做完．

32. 数学附加选做题部分 江苏高考数学试卷附加题部分由解答题组成，共6题，其中选做题2题，考查选修系列4中4个专题中的内容。 这部分题，难度应该不会太大，但要保证思路清、速度快，否则来不及。

33. 几何证明选讲

34. 说明：掌握常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序；特别是一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法；特征值和特征向量的概念，及特征多项式的知识；说明：掌握常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序；特别是一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法；特征值和特征向量的概念，及特征多项式的知识； 逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法．

35. 坐标系与参数方程

36. 5．复习附加题可以采取专题与考试、讲评相结合的方法．建议在每一块内容最终要形成整体的知识结构。必须有针对性地对自己在模考或其他作业中出现的某一方面的问题进行系统的整理和思考．5．复习附加题可以采取专题与考试、讲评相结合的方法．建议在每一块内容最终要形成整体的知识结构。必须有针对性地对自己在模考或其他作业中出现的某一方面的问题进行系统的整理和思考． 6．注意把握难度，考虑只有30分钟要做4道大题，除最后一题中的一问有点难度外，其余题应该都是基础题，要比上手快（速度），解法标准（规范），运算正确（准确），不追求难度．很多学生最后常常是很简单的问题做错了，或者不熟练，来不及做完．

37. 说明： 重点掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程；理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题．

38. 不等式选讲 说明：涉及应用柯西不等式，只要求二元。

39. 数学附加必做题 江苏高考数学试卷附加题部分由解答题组成，共6题，其中必做题2题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容。

40. 一．计数原理与概率、统计

41. （Ⅰ）二项式定理的运用 （Ⅱ）古典概型基础的离散型随机变量的分布列 古典概型的概率计算，以及进一步求分布列与期望．古典基础的概率问题应该是考查的重点，而且兼考查排列组合． 求概率时一定要看清事件的试验是什么，是否有序，是否可重复等要点．

42. （Ⅲ）独立、独立重复基础上的离散随机变量的分布列（Ⅲ）独立、独立重复基础上的离散随机变量的分布列 关于独立，一般只要求学生掌握两个独立事件的合成，同时通过独立事件来理解独立重复试验． 独立事件的概率与独立重复试验，而且要求对这两种模型深刻理解。 解这类问题时，要养成用字母表示事件的习惯．注意，不是说独立重复试验中的变量就一定是二项概型．

43. 例如：已知方程 为常数． （1）若 ， ，求方程的解的个数的期望； （2）若 内等可能取值，求此方程有实根的概率． 说明：第一问是一古典概型问题，而第二问是一个几何概型问题，问题的背景基本一致，一个是离散的，一个是连续的，通过比较可以帮助学生理解离散与连续既对立又统一的关系．

44. 二．空间向量与立体几何

45. （Ⅰ）直接与间接建立坐标系 初中时，学生学过数轴知道数轴的三要素是原点、方向、单位长度，作为由三条数轴组成的空间直角坐标系，在建立时也要求说明原点、彼此垂直的三个方向以及单位长度．三条轴的方向必须是两两垂直的，如果两两垂直不直观，则需要说明．

46. （Ⅱ）运用空间向量求空间角（考查的重点方向）（Ⅱ）运用空间向量求空间角（考查的重点方向） 我们常常用直线的方向向量（直线上的任意非零向量）来表现直线的方向，用法向量（任意与平面垂直的非零向量）来表现平面的方向． 求斜线与平面所成的角，一般先求平面的法向量，再求斜线与法向量的夹角的余角，俗称“小角的余角”． 求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条互相垂直的直线来求解法向量．

47. （Ⅲ）运用空间向量证明平行与垂直。 注意把空间中的线面之间的关系转化为向量的语言，如线面平行（直线的向量与平面内一条直线的向量共线，或与法向量垂直，且说明线在面外），线面垂直（直线的向量与平面内的两条相交直线的向量垂直，或与法向量平行），面面平行（于同一条直线垂直或法向量平行），面面垂直（法向量垂直）等，注意说清楚一些要点，如线面平行要强调线在面外．

48. （Ⅰ）直接与间接建立坐标系 初中时，学生学过数轴知道数轴的三要素是原点、方向、单位长度，作为由三条数轴组成的空间直角坐标系，在建立时也要求说明原点、彼此垂直的三个方向以及单位长度．三条轴的方向必须是两两垂直的，如果两两垂直不直观，则需要说明．

49. 三．圆锥曲线与方程 （Ⅰ）求轨迹方程 （Ⅱ）抛物线的几何性质探索 （Ⅲ）点、直线与抛物线

50. 四．推理与证明 （Ⅰ）数学归纳法证明不等式 （Ⅱ）数学归纳法与数列 数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力。也是考查推理与证明的一个重要内容。要求能够了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用。