不等式的证明

不等式的证明 函数法根据所给不等式的特征，利用函数的性质及函数图象来证明不等式成立的方法，称之为函数法。荆州师范学院张军涛

教学目标 重点掌握函数的单调性,三角函数的有界性等. 能正确证明有关不等式. 通过数形结合,培养学生思维能力,提高逻辑推理能力.

例1：求函数的最小值。 分析：请思考下面解法对否？ ∴ 函数的最小值是2。上面的解法是错误的‘此时“=”不能达到，因为当故取等号时的 x 值不存在。

2、函数 ,(a>0)在 时的单调性。 y x o 思考1、函数在 0＜x≤1, x＞1时的单调性。设 0<x1<x2≤1 y2－y1= ＜0 y2－y1＞0 1<x1<x2 y 2 o 1 x

例1：求函数的最小值 解：令则有（t≥2） y y 根据函数当t≥2是增区间 ∴ ymin= ．． x o o 1 1 2 2 x

例2：已知求证： y 解：设： · (x,y) ∵x2+y2=r2 ∴1≤r2≤2 r x 1 --1 o 1≤r2≤2 思考如果x+y=1, x+2y=1,x2+y2=3，为条件如何设三角函数？

例3：求证： 解：设 y 利用函数图象可得 y≥-1 · -1 1 x 思考：如何求证： · · · · o -1 ·

【巩固练习】 1、当x∈R+ 时,下列函数中最小值是2的为 D （） (A)y=x2－2x+4 (B) (C) (D) 2、设，求的最小值。解：设 t=sinx 则（0<t≤1) ∴当t=1 时 ymin=3 是减区间在0<t≤

y 1 1 2 o x > 3、若 a>b>1, 则 4、若x2+y2=1, 可设x= y= , ≤x+y≤ 5、求证：证明：设－2x+3 (x≤1) 1 (1<x≤2) 2x－3 (x>2) =

【能力训练】 6、设 x2+y2=1, 求(1+xy)(1－xy) 的最大值,最小值. 设： x=cosA, y=sinA ∴(1+xy)(1－xy) =(1+cosAsinA)(1－cosAsinA)=1－sin2Acos2A 7、设 x2+xy+y2=3, 求证：2≤x2+y2≤6 证明：设 x=rcosB y=rsinB∴r2=x2+y2 ∵x2+xy+y2=r(cos2B+sin2B+sinBcosB) ∴2≤r2≤6

课堂总结 可求两个正数的最小值。 1、用函数但必须判断自变量所在的区间的增减性。 2、对于有x+y=1,x2+y2=r2,a≤x2+y2≤b, 条件的不等式的证明可设x=cos2A y=sin2A ，x=rcosB y=rsinB等。通过函数图象，可直接求证含绝对值及难以推理的不等式。 3、

思考：求证： 证明：设则（1－y)x2+x+1－y=0 当 y=1 时， x=0 ① 当 y≠1时，∵x∈R ∴△=1－4（1－y) 2 ≥0 4y2－8y+3≤0 ② 由①②得点评：⑴求证分式不等式，若分子分母的变量指数最高为二次时，宜用二次函数“△”法。 ⑵当 x2项系数不定时必须讨论系数是0与不是0两种情况。

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