正交定理

正交定理 第二正交关系第三正交关系

3.3.4 群表示的约化 定理：任何一个有限维的可约表示D(R) 都可以经过一个适当的相似变换而约化为一些不可约表示的直和：而且，若不计及的次序，则这种分解形式是唯一的。

若而则

证明：设完全约化后，分解为： a1个不可约表示矩阵D(1)(R)，其特征标为 (1)(R) a2个不可约表示矩阵D(2)(R) ，其特征标为 (2)(R) …………… aC个不可约表示矩阵D(c)(R) ，其特征标为 (c)(R) 而，只要证明是唯一的即可（  (R)是未约化前的特征标） ∴ ∴aj由(R)和(j )(R)唯一确定，故是唯一的，因为特征标在相似变换下不变, 所以不可约表示的个数和类的个数相等。第二正交关系

群表示的可约性的判据 1．定理：有限群表示为不可约的充要条件是证: 有RG，表示为D(R) 若D(R)不可约，则 2． (Burnside 定理) 共c套表示，mi为第i套表示的维数。 3．不等价不可约表示的数目(c)等于群的共轭元素类的数目(k)

例1：Abel群的表示：（Abel群中每一个元素自成一类）例1：Abel群的表示：（Abel群中每一个元素自成一类）令：h为表示矩阵的个数，k为类的数目，c为不可约表示的独立套数。对Abel群：h=k=c 又∵ 因此，只有一种可能如为Abel群 ∴

例2： 有三个类：据burnside定理： ∴有两个一维，一个两维的表示 {1, 1, 1, 1, 1, 1} {1, -1, -1, -1, 1, 1}

§3.4 正则表示和特征标表 3.4.1 正则表示称为A的正则表示（regular representation）

此类表示称为（左）正则表示。

正则表示有如下性质： 1）正则表示一般是可约的： 2） 3），而对正则表示即D中有mj个相同的表示矩阵D(j) 在正则表示中，群G的每一个不可约表示都出现，而且每个不可约表示的出现次数等于这个表示的维数。

4）Burnside定理: 一个群全部不可约表示的维数的平方和，等于群G的阶。特殊情况下的证明：

3.4.2 第三正交关系和特征标表 k= c 特征标表：特征标表中k = c，这是因为共厄元素类的数目等于不等价不可约表示的数目。 k= c 表示套数类数

定理：若以某一共厄元素类在各个不可约表示的特征标为分量构成矢量，则各个类所代表的矢量正交：定理：若以某一共厄元素类在各个不可约表示的特征标为分量构成矢量，则各个类所代表的矢量正交： ——第三正交关系第p类的阶例：三个类，特征标为 K1K2K3 设特征标为：利用三个正交关系方可求得a,b,c,d（取实数）

解法1：利用第三正交关系 当时，得 ——（1）时，得 ——（2）时，得 ——（3）时，得 ——（4）时，得 ——（5）解之得 a=1, c=-1, d=0, b=-1

解法二：用第二正交关系 当，得，得，得，得，得解之得a=1, c=-1, d=0, b=-1 ∴ 特征标表为

例：狄拉克矩阵群 狄拉克矩阵{}在相对论量子力学和量子场论中经常出现。 Dirac方程：矩阵满足： ——（1）即（1=I）——（2）（）——（3）即当时，与是反对易的

用群论方法确定{}的不可约表示的维数，考虑所有矩阵乘积的集合Γ：用群论方法确定{}的不可约表示的维数，考虑所有矩阵乘积的集合Γ： **如果连乘积中包含两个相同 ，则可用（2）和（3）式将其合并为±I。 **集合中四个不同的矩阵连乘所组成的矩阵：记为： 5= 12 34 显然： 52=1； 5 + 5=0

∴ 矩阵的乘积的集合Γ包括： ∴集合Γ={A}共有32个元素容易证明：集合Γ中元素的乘法是封闭的，且上面（1）式说明每一元素的逆元素存在。 ∴集合Γ构成一个32阶的矩阵群（∵ ）（实际上这是三个矩阵的乘积）

定义：不可约正群Γ称为狄拉克矩阵群，不可约矩阵的维数可确定如下：定义：不可约正群Γ称为狄拉克矩阵群，不可约矩阵的维数可确定如下：如果矩阵是l维，则据上面（1）式和矩阵迹的循环性：得：

例： ∴必有又若所取的矩阵使Γ矩阵的自身表示是不可约，其特征标满足 ——不可约表示的充要条件即 ∴ l=4 ——即不可约矩阵是四维

又：有限群的任何表示均等价于么正表示，故可选用么正的可约矩阵，有又：有限群的任何表示均等价于么正表示，故可选用么正的可约矩阵，有 ∴ 矩阵是么正厄米矩阵据上述矩阵之性质，诸不可约矩阵的显式：其中I为2×2单位矩阵，为泡利矩阵：

证明：事实上，∵厄未矩阵总可对角化，不妨设4为对角阵，又42 = I, tr4 = 0,  4的对角元为“1，1，-1，-1”，可令将4代入（1）式，即：得i ( i =1, 2, 3)具有如下形式：可设 ∴必有a=0,d=0

由于厄米， i = i+，必有 ∴ 再将A显式代入（1）式，令得6个关系式：此式正是泡利矩阵满足的关系，故可取特解：于是得所有F={A} 矩阵当然，在量子场论中，选取不同表象，自然相应的A矩阵也有不同的形式。

不可约矩阵

§3.5 群表示的基和投影算符（projection operator）设某体系哈密顿有本征值E，对应一组完备简并本征函数： 1, 2, …f, 若经坐标变换不变，则也是E的本征函数令（不同空间矢量坐标，自旋，…）必有对于表示矩阵D(R)，f个简并的本征函数即为它的基。这时，所有能保持不变的变换{R}构成一个群G，D(G)即为这个的对称群的一组表示。 ( =1, 2, …f )

定义：若对于群G的第j个表示D(j)(G)（mj维），存在有函数组{f(j)}，( =1, 2, …,mj )，使得：则称该函数组为第j个表示D(j)(G)的基，其中f(j)称为属于该表示的第列变换。即：注意：①表示矩阵确定后，基才能确定； ②基可以都乘上某一常数，因此要进行归一化。 ------()

例：为点群，与C3v同构乙烷就有这种对称性, H6C2 C3 H H H C2(2) C C2(1) H C H H C2(3) 具有D3对称性验证：（x2, y2, 2xy）为一组基。

此等式是变换，不过 取它的第一个分量x，故这里均为前页Δ式的左端。 ①对x2：同理：

②对y2（求法一样，不过用表示矩阵的第二行）②对y2（求法一样，不过用表示矩阵的第二行）

③对于2xy

或写成： D(E) D(C3) D(C32)

D(C2(1)) D(C2(2)) 这表示是对应于基（x2, y2, 2xy）的，而相应的一组矩阵就是该基所对应的表示。 D(C2(3))

3.5.1 基的性质 定理1：属于两个不同的不可约表示的任意两个基函数，或属于同一不可约表示的不同列的两上基函数相互正变。证：属于D(j)(G)的基为{f(j)}， =1, 2, …,mj 属于D(j)(G)的基为{f (j)}，=1, 2, …,mj 在么正算符作用下：（∵ ）（）么正这是对任意都成立

把上式对群元素求和： 因为它与群元无关（非显函数） ∴

定理2：若D(1)(G), D(2)(G), …, D(C)(G)为群G（或者说由所构成的群G）的全部不可约表示,{f(j)}( j = 1, 2, …,Cj， =1, 2, …,mj )为相应的各组基函数。则可作用的任意函数F均可属开为： , C(j)为常数 ——完备性

3.5.2 投影算符 两边左乘则：即：定义投影算符： ——（*）

投影算符： ——（*） ∴原式为：它说明: 一个表示里的基函数不能投影到另外表示中去，而只能在自己表示中的基之间相互投影，即：当时若再令，则 ∴只要知道f(j)和表示矩阵，便可求出所有的f(j), (=1,2,…,mj)。另外，对上面（*）式中令，并对求和： ——投影算符

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