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第 5 章

第 5 章. 財務數學. 5.1 複利 單利. Tan/ 管理數學 第 5 章 第 240 頁. 單利. 單利公式 利息： I = Prt (1a) 本利和： A = P ( 1 + rt ) (1b). Tan/ 管理數學 第 5 章 第 240 頁. 例題 1. 一銀行的存款以單利計算，年利率 8% 。某顧客存入 1,000 元，且 3 年期間未曾提領，試問 3 年結束時的本利和若干？又這段期間共賺了多少利息？ 解：

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第 5 章

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Presentation Transcript

  1. 第 5 章 財務數學

  2. 5.1 複利單利 Tan/管理數學 第5章 第240頁

  3. 單利 單利公式 利息： I = Prt (1a) 本利和：A = P(1 + rt) (1b) Tan/管理數學 第5章 第240頁

  4. 例題 1 • 一銀行的存款以單利計算，年利率8%。某顧客存入1,000元，且3年期間未曾提領，試問3年結束時的本利和若干？又這段期間共賺了多少利息？ 解： 將P = 1,000, r = 0.08, t = 3代入公式(1b)得本利和 即1,240元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

  5. 例題 1（續） 解（續）： 而3 年的利息所得可利用公式(1a)求得 即240 元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

  6. 例題 2 信託基金 • 投資2,000元於10年期的信託基金，已知該基金以單利計算，且年利率6%。試問10 年結束時的本利和若干？ 解： 因 故本利和為3,200 元。 Tan/管理數學 第5章 第241頁

  7. 複利 複利公式(複利的本利和) A = P(1 + i)n(3) 這裡的 ，且 A =本利和 P =本金 r =年利率 m =一年複利的次數 t =年 n=總期數 Tan/管理數學 第5章 第244頁

  8. 例題 4 • 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且 (a)一年複利一次(compounded annually)； (b)半年複利一次(compounded semiannually)； (c)一季複利一次(compounded quarterly)； (d)一個月複利一次(compounded monthly)；及 (e)一天複利一次(compounded daily)。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

  9. 例題 4（續） 解： a.P = 1,000, r = 0.08, m = 1，故i = r = 0.08, n = 3，代 入公式(3)得 即1,259.71 元。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

  10. 例題 4（續） 解（續）： b.P = 1,000, r = 0.08, m = 2，故 , n = (3)(2) = 6，代入公式(3)得 即1,265.32 元。 Tan/管理數學 第5章 第244頁

  11. 例題 4（續） 解（續）： c.P = 1,000, r = 0.08, m = 4，故 , n = (3)(4) = 12，代入公式(3)得 即1,268.24 元。 Tan/管理數學 第5章 第244-245頁

  12. 例題 4（續） 解（續）： d.P = 1,000, r = 0.08, m = 12，故 , n = (3)(12) = 36，代入公式(3)得 即1,270.24 元。 Tan/管理數學 第5章 第245頁

  13. 例題 4（續） 解（續）： e.P = 1,000, r = 0.08, m = 365，故 , n = (3)(365) = 1,095，代入公式(3)得 即1,271.22 元。我們將結果彙總於表1。 Tan/管理數學 第5章 第245頁

  14. 例題 4（續） 解（續）： Tan/管理數學 第5章 第245頁

  15. 連續型複利 連續型複利公式 A = Pert (5) 其中 P = 本金 r = 年利率 t = 年 A = 本利和 Tan/管理數學 第5章 第246頁

  16. 例題 5 • 依下面的情況，試問1,000元的本金存放3年後的本利和若干？已知年利率8%，且(a)一天複利一次(假設一年是365 天) 與(b)連續複利。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

  17. 例題 5（續） 解： a.P = 1,000, r = 0.08, m = 365, t = 3，故　　 　, n = (365)(3) = 1,095，代入公式(3)得 即1,271.22 元。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

  18. 例題 5（續） 解（續）： b.將P = 1,000, r = 0.08, t = 3代入公式(5)得 即1,271.25 元。 Tan/管理數學 第5章 第247頁

  19. 有效年利率 有效年利率公式 (6) 其中 reff =有效年利率 r =年利率 m =一年複利的次數 Tan/管理數學 第5章 第248頁

  20. 例題 6 • 依下面的情況，求出有效年利率。已知年利率8%，且(a)一年複利一次； (b)半年複利一次；(c) 一季複利一次； (d)一個月複利一次；及(e)一天複利一次。 解： a.將r = 0.08, m = 1代入公式(6)： reff = (1 + 0.08) 1 = 0.08 即有效年利率8%，其結果與年利率是一樣的。 Tan/管理數學 第5章 第248頁

  21. 例題 6（續） 解（續）： b. 將r = 0.08, m = 2代入公式(6)： 即有效年利率8.16%。 Tan/管理數學 第5章 第248頁

  22. 例題 6（續） 解（續）： c.將r = 0.08, m = 4代入公式(6)： 即有效年利率8.243%。 Tan/管理數學 第5章 第248-249頁

  23. 例題 6（續） 解（續）： d.將r = 0.08, m = 12代入公式(6)： 即有效年利率8.3%。 Tan/管理數學 第5章 第249頁

  24. 例題 6（續） 解（續）： e.將r = 0.08, m = 365代入公式(6)： 即有效年利率8.328%。 Tan/管理數學 第5章 第249頁

  25. 現值 複利計算的現值公式 P = A(1 + i)n (7) Tan/管理數學 第5章 第250頁

  26. 例題 7 • 一銀行的年利率6%，每月複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在3 年後獲得2萬元的本利和？ 解： A = 20,000, r = 0.06, m = 12，故 , n = (3)(12) = 36，代入公式(7)得 即16,713元。 Tan/管理數學 第5章 第250頁

  27. 例題 8 • 一銀行的年利率10%，每季複利一次，試問現在應存入多少錢，才能在5 年後獲得49,158.6 元的本利和？ 解： A = 49,158.6, r = 0.1, m = 4，故 , n = (4)(5) = 20，代入公式(7)得 大約為30,000元。 Tan/管理數學 第5章 第250-251頁

  28. 現值 • 對於連續型的複利，我們由公式(5)，A = Pert，求解其現值P，故 P = Aert (8) Tan/管理數學 第5章 第251頁

  29. 例題 9 投資選擇 • 婉珍將投資的範圍縮小到以下二個選項： • 購買一個12年期的定存，年利率10%，每天複利(假設一年為365 天)。 • 購買一個12年期的定存，到期日之本利和為原投資金額的三倍。 試問婉珍應如何選擇對投資最有利？ Tan/管理數學 第5章 第251頁

  30. 例題 9 投資選擇（續） 解： 我們先瞭解選項1的結果。因 r = 0.10m = 365t = 12 故　　　 , n = (365)(12) = 4,380，代入公式(3)得 大約是3.32P元，即本金的3倍多。由於選項2的結果只得到3倍的本金，因此婉珍應投資選項1比較有利。 Tan/管理數學 第5章 第251頁

  31. 例題 10 個人退休帳戶(IRA) • 月娥在一家公司開了個人退休帳戶(IRA) 且帳戶的錢投資於貨幣市場共同基金，每天計息。有兩年期間，月娥完全沒有動她的帳戶，且知其存款從4,500 元增加到5,268.24元。假設一年是365 天，試問這兩年來月娥的IRA有效年利率若干？ Tan/管理數學 第5章 第251頁

  32. 例題 10 個人退休帳戶(IRA)（續） 解： 令reff 為所求的有效年利率，則 故reff 0.081998，即有效年利率約8.20%。 Tan/管理數學 第5章 第252頁

  33. 5.2 年金年金的終值 Tan/管理數學 第5章 第257頁

  34. 年金的終值 年金的終值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則年金到期總額S為 Tan/管理數學 第5章 第258頁

  35. 例題 1 • 一12 月期的普通年金，每期於月底付款100 元，年利率12%，每月複利一次，試問年金的終值？ 解： 每一期的利率i為 ，又R = 100, n = 12，代入公式(9) 得 Tan/管理數學 第5章 第258-259頁

  36. 例題 1（續） 解（續）： 若有複利因子表可以查詢(例如以下的表4)，亦可求得如下結果： 即1,268.25 元。 Tan/管理數學 第5章 第259頁

  37. 例題 1（續） Tan/管理數學 第5章 第259頁

  38. 年金的現值 年金的現值 一n期的年金，每期在週期最後一天付款R元，每期利率 為i，則現值P為 (11) Tan/管理數學 第5章 第260頁

  39. 例題 2 • 一普通年金共24期，每月付款100 元，年利率9%，每月複利一次，試問其現值？ 解： 以R = 100, , n = 24 代入公式(11)求得 故其現值約為2,188.91元。 Tan/管理數學 第5章 第260頁

  40. 例題 3 大學學費儲蓄計畫 • 定國的父母為了幫他存日後的大學學費，每月月底於銀行固定存入100 元，年利率6%，每月複利一次。若此儲蓄計畫從定國6 歲的時候開始，試問當他滿18 歲時，帳戶內會有多少存款？ Tan/管理數學 第5章 第260頁

  41. 例題 3 大學學費儲蓄計畫（續） 解： 當定國滿18歲時，他的父母已存入144筆，因此，n = 144。此外，R = 100, r = 0.06, m = 12，故 。利用公式(9)，我們求得 即21,015元。 Tan/管理數學 第5章 第260-261頁

  42. 例題 4 購車付款 • 莫林付了6,000元的頭期款買車，爾後每月付600元以償還未付的車款，共付36期，所付利息以6%／年計算，每月複利一次。試問莫林當初購買的車款為若干？莫林總共付了多少利息？ Tan/管理數學 第5章 第261頁

  43. 例題 4 購車付款（續） 解： 我們先求36 期付款所相當的現值 共19,723元，此即買車的尾款。將19,723元加上頭期款6,000元，便是當初購買的車款25,723 元。又莫林為了償還尾款，共付了(36)(600) = 21,600 元，因此，他總共支付了21,600  19,723 = 1,877元的利息。 Tan/管理數學 第5章 第261頁

  44. 例題 5 IRAs • 卡洛琳固定於每年1月31日將2000元存入傳統IRA，其有效年利率為5%。 a.卡洛琳於65歲退休後次年的1月31日剛好繳完25期，試問屆時其IRA共有多少錢？ b.假設卡洛琳65 歲退休後繳完25期款的同時，將傳統IRA 全數提領出來。如果那 時她的稅率級次是28%，試問繳完稅後，卡洛琳實際領到的金額為若干？ Tan/管理數學 第5章 第262頁

  45. 例題 5 IRAs（續） 解： a. R = 2,000, r = 0.05, m = 1, t = 25，故　 　　　　， n = 25 代入公式(9) 得 即95,454.20元。 Tan/管理數學 第5章 第262頁

  46. 例題 5 IRAs（續） 解（續）： b.扣除繳稅的部分，卡洛琳實際領到的金額為 (1  0.28)(95,454.20)  68,727.02 故卡洛琳納完稅後，大約領到68,727.02 元。 Tan/管理數學 第5章 第262頁

  47. 例題 6 投資分析 • 投資分析寇克與馬龍都是45歲，薪水階級，兩人均開始為20年後的退休生活規劃存錢，且假設這20 年期間他們二人的稅率級次均保持在28%。每年12 月31 日，寇克固定將1,000元存入一個儲蓄帳戶，有效年利率為8%，而馬龍則存1,000元到保險公司的一個遞延納稅年金，有效年利率亦為8%。試問 a. 20 年後寇克與馬龍兩人的投資帳戶總額各為多少？ b.他們的帳戶各賺取多少利息？ c.說明即使馬龍在20年後的稅率級次仍為28%，其淨所得依舊 優於寇克。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

  48. 例題 6 投資分析（續） 解： a.對寇克而言，扣除掉28%的稅金後，每年淨收益 相當於(0.72)(8%) = 5.76%的利率。將R = 1,000, r = 0.0576, m = 1, i = 0.0576, t = 20 代入公式(9) 得 約為35,850.49元。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

  49. 例題 6 投資分析（續） 解 a（續）： 對馬龍而言，由於是遞延納稅年金，暫不考慮課稅的問題，因此，將R = 1,000, r = 0.08, m = 1, i = 0.08, t = 20 代入公式(9) 得 約為45,761.96元。 Tan/管理數學 第5章 第263頁

  50. 例題 6 投資分析（續） 解 （續）： b. 寇克與馬龍二人都存了20(1000) = 20,000 元入帳 戶，因此，寇克利息所得(已扣稅) 為 35,850.49  20,000 = 15,850.49 元 而馬龍的利息所得(未扣稅前) 為 45,761.96  20,000 = 25,761.96 元 Tan/管理數學 第5章 第263頁

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