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第八章

第八章. 应力状态和强度理论. 本章要点. （ 1 ）平面应力状态的解析法和图解法 （ 2 ）强度理论（包括莫尔强度理论）. 重要概念. 单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、 广义虎克定律、第一强度理论、第二强度理论、第三强度理 论、第四强度理论。. 目录. §8-1 应力状态的概念和实例. §8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力. §8-3 平面应力状态下的最大应力，主应力. §8-4 三向应力状态下的最大应力. §8-5 广义虎克定律. §8-6 强度理论. §8-1 应力状态的概念和实例.

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  1. 第八章 应力状态和强度理论

  2. 本章要点 （1）平面应力状态的解析法和图解法 （2）强度理论（包括莫尔强度理论） 重要概念 单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、 广义虎克定律、第一强度理论、第二强度理论、第三强度理 论、第四强度理论。

  3. 目录 §8-1 应力状态的概念和实例 §8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力 §8-3 平面应力状态下的最大应力，主应力 §8-4 三向应力状态下的最大应力 §8-5 广义虎克定律 §8-6 强度理论

  4. §8-1 应力状态的概念和实例 • .应力状态的概念： 1.一点的应力状态 由第二章分析轴向拉压直杆截面上的应力时可知：随着所取截面的方向不同，截面上的应力也不同。由第四章分析圆轴扭转横截面上的应力时可知：在同一横截面上的各点，应力也是不相同的。同此，我们可知：应力仅随着截面方向的不同而不同，而且在同一截面上的各点，应力也不一定完全相同。对于上述我们所提到的截面上点的应力情况，我们就称为一点的应力状态。

  5. 2.材料单元体： 为了研究点的应力状态，围绕该点截取一微小立方体，这个微小立方体就称为材料单元体。由于单元体很微小，故可以把它的各个面上的应力看做是均匀分布的。立方体两个相对面上的应力，可看成是一对大小相等，方向相反的应力。这个单元体的应力情况可以代表该点的应力状态。 3.主平面，主应力 在受力构件中的某一点，我们总可以找出一个单元体，在这个单元体的各个面上只有正应力而无剪应力。对这种剪应力为零的平面，我们就称为主平面。而主平面上的正应力，我们就称其为主应力。

  6. sz Z Z tzy sx tzx txy dz dz txz tyz tyx sy sy s2 txz tyx tyz O O Y Y txy tzx dx dx sx tzy s1 X X sz dy dy s3 4.应力状态的分类： (1).单向应力状态：三个主应力中，只有一个不为零——简单 应力状态。 (2).双向应力状态：三个主应力中，只有一个为零。 (3).三向应力状态：三个主应力都不为零 ——复杂应力状 态。

  7. P A B P Me P Me A B C s s=P/A t=Me/Wn A B tB B P A C Me Me C s s tC C sA sA t sC sC c) 同b)，但从上表面截取 d) 从A、B、C三点截取 b) 横截面，周向面，直径面各一对 a) 一对横截面，两对纵截面 完 目录

  8. §8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力 平面应力状态的研究方法——数解法〈解析法〉图解法。 • .数解法（解析法）

  9. 由 〈剪应力互等定理〉 （10-1） 求任意斜截面ef上的正应力和剪应力： (1).用平行于Z轴，沿斜截面ef将单元体分成两部分，并取下面一部分为研究对象。 (2).对留下部分进行受力分析如图：

  10. 由： （10-2） 的正负号的规定： ——拉为正，压为负。 （1） （2） ——单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负。 ——任意斜截面上正应力计算公式 ——任意斜截面上剪应力计算公式

  11. 二．图解法，应力圆 1．应力圆的导出： 由（10-1）（10-2）得： 两式平方相加： 分析上面方程的结构可发现，此方程实为圆曲线方程。

  12. 圆心坐标： 半径： 任一点坐标： 1.设 轴，选取应力比例尺。 2.以 为坐标，得D点， 得E点。 上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆 二.应力圆的画法：

  13. 3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。 ，得一射线，与 5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度 圆交于G点 斜面上的正应力和剪 6.按比例尺量出 值，即为单元体 应力 三.验证 的正确性 4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。 由应力圆可得：

  14. t y sa (sa,ta)G G1t' sy tyx D(sx, txy) n ta 2 2a txy s C O sx sx B s3 H F x A s1 a txy tyx E (sy, tyx) sy G2 t"

  15. 则：

  16. = + OL LC CL ( ) = + a + j OC CG cos 2 2 = + j a - j a OC CD cos 2 cos 2 CD sin 2 sin 2 s + s s - s x y x y = + a - t a cos 2 sin 2 x 2 2 = s a 由上式可以看出：由应力圆得到的 与数解法 的计算公式相对照，完全相符，由此证明，应力圆上与点 斜截面上的正 成 角的点的坐标值为相应的 应力 ，剪应力 值。 完 目录

  17. 轴的交点AB两点分别对应于 由应力圆可知：应力圆与 （平行于Z轴的各截面中） 最大，最小的正应力，其值为： （10-3） （10-4） §8-3平面应力状态下的最大应力，主应力 • .平面应力状态下的最大应力 • 单元体内的最大应力及其所在截面方位

  18. 最大，最小正应力所在截面的方位角 （10-5） 讨论： （1）（10-5）中的负号表示由X轴到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 （2）圆A、B两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：

  19. 从应力圆中还可看出：应 力圆上对应于K、M两点， 剪应力最大，由此可得到， 在平行于Z轴的各截面中， 最大、最小剪应力分别为： 完 （10-6） （10-7） *从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直 目录

  20. §8-4 三向应力状态下的最大应力 *三向应力状态是应力状态的一般形式，就其研究的方法而言，同二向应力状态基本相似，下面我们通过一个例子来进行分析。 如图所示：主平面单元体，其上的主应力均为已知，要求单元体内各截面的应力。

  21. （1）分析与 平行的任意斜截面abcd 上的应力。 作用下求得的 1.斜面abcd上的应力 与单元体仅在 结果完全相同，而与 。故而 无关，即仅取决于 平面内，与该类斜截面对应的点 我们可以得出：在 均位 所确定的应力圆上。 于 解： <a> 用平面abcd将单元体一分为二，取左下部分为研究对象。 <b>对图b进行受力分析： 由上式可看出：

  22. 见下图：

  23. 2.同理，可得出：单元体中与 平行的各斜截面上的应力位于同 所确定的应力圆上，与 平行的各斜 截面上的应力位于 由 所确定的应力圆上，见右图。 3.我们还可以证明：对于与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力〈见单元体图中的efg平面〉它们在 平面的对应点， 必位于上述三圆所构成的阴影区内。〈证明从略〉 4.综上所述：在 平面内，代表任一斜截面上的应力的点或 位于应力圆上，或位于由三个应力圆所构成的阴影区域内。

  24. 故 位于与 又由于， 均成 的斜面上。 5.讨论： 由右图可见：在三向应力状态下，最大，最小正应力分别为最大，最小主应力，即： 最大剪应力为： 完 注：上述结论，同样适用于单向和双向应力状态。 目录

  25. = + + §8-5 广义虎克定律 • 所谓的广义虎克定律，实质上就是复杂的应力状态下的应力 和应变的关系，下面我们就来推导这个关系。 一．如图所示，取一单元体，设其上作用着三个主应力

  26. 1．在 单独作用下的线应变： 方向的线应变 即：X方向的线应变 —— —— 方向的线应变 即：Y方向的线应变 —— 方向的线应变 即：Z方向的线应变 并假设此单元体沿三个主应力方向产生的线应变 分别为 二．由于单元体的变形属于小变形，且在弹性范围之内，故可以把这三向应力状态看作是三个单向应力状态的组合。

  27. 2.在 单独作用下的线应变： —— 方向的线应变 即：Y方向的线应变 方向的线应变 即：X方向的线应变 —— —— 方向的线应变 即：Z方向的线应变 3.在 单独作用下的线应变： 方向的线应变 即：Z方向的线应变 —— 方向的线应变 即：X方向的线应变 —— 方向的线应变 即：Y方向的线应变 ——

  28. 4.由叠加原理可求出：一点同时受有 作用时，在X、Y、 Z方向的线应变为： （10-8） （10-9） （10-10） ——主应力表达的广义虎克定律 注：上述中的 同样可用 来代替。 完 它表示在三向应力状态下，主线应变和主应力之间的关系。 适用范围：由推导过程可看出，适用于材料在线弹性范围内。 目录

  29. 例如：铸铁试件拉伸时沿横截面断裂，扭转时沿与轴线成 倾角的螺旋面断裂。低碳钢试件拉伸时，在与轴线成 的方向出现滑移线。 §8-6 强度理论 • .概述 材料破坏的两种形式： • 断裂：由最大拉应力或最大拉应变引起。 • 屈服或显著塑性变形：由剪应力引起。 表明：材料的破坏是有规律的，人们对这些关于材料破坏规律的假说或学说，称为强度理论。

  30. 1．理论认为：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的1．理论认为：决定材料产生断裂破坏的主要因素是单元体的 最大拉应力 ，即，无论材料处于复杂应力状 态或是简单应力状态，只要单元体中的最大拉 应力 达到材料在轴向拉伸下发生断裂破坏时 的极限值 ，就将发生断裂破坏。 材料破坏的两种形式——相应存在两类强度理论： 最大拉应力理论和最大拉应变理论：以断裂为破坏形式。 最大剪应力理论和形状改变比能理论：以屈服或显著塑性变形为破坏形式。 二.强度理论 （一）最大拉应力理论 即 ：发生断裂破坏的条件为：

  31. 1.理论认为：决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大1.理论认为：决定材料发生断裂破坏的主要因素是单元体的最大 拉应变 ，即无论它是简单应力状态，还是复杂应 力状态，只要单元体中的最大拉应变 达到轴向拉 伸情况下，材料发生断裂破坏时的拉应变值 材料 就将发生断裂破坏。 2．强度条件： n——安全系数。 令 则： 3．适用范围： （1）铸铁，石料，混凝土等脆性材料受拉伸和扭转或受拉的 复杂应力状态下。 （2）对于单向压缩，三向压缩等没有拉应力的应力状态不适 用。 (二)最大拉应变理论（第二强度理论）

  32. 即：发生断裂破坏的条件为： 由： 令： 则： （10-12） 2.强度条件： 3.适用范围：脆性材料的断裂破坏。

  33. 1.理论认为：决定材料断裂破坏的主要因素是单元体的最大剪应1.理论认为：决定材料断裂破坏的主要因素是单元体的最大剪应 力 ，即无论它是复杂应力状态或是简单应力状 态，只要单元体中的最大剪应力 ，达到材料在 轴向拉伸下发生塑性屈服破坏时的极限应力值 即：破坏条件为： 由： ——单向拉伸屈服时，与轴线成 斜面上的极限剪应力。 (三)最大剪应力理论（第三强度理论） 2.强度条件：

  34. ——复杂应力状态下的最大剪应力。 得： （10-13） 令： 则： 3.适用范围：塑性材料的屈服变形。 (四)形状改变比能理论（第四强度理论） • 形状改变比能： 弹性体在外力作用下将积蓄变形能，和在处力作用下的单元体，其形状和体积一般均发生改变，故变形能又可分解为形状改变和体积改变能。而单位体积内的形状改变能称为形状改变比能。

  35. 2．理论认为：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的2．理论认为：决定材料塑性屈服破坏的主要因素是单元体的 形状改变比能 达到材料单向拉伸屈服时的形 状。即无论材料处于何种应力状态，只要其形 状改变比能 达到改变比能值 ，材料即发生 塑性屈服破坏。即： （a） 破坏条件为： 复杂应力状态下的形状改变比能为：（推导从略） （10-14） 3. 强度条件：

  36. 材料在简单拉伸屈服时的形状改变比能为： 又因为： 代入（a）式得： 令： 得：强度条件为： 4．适用范围：塑性材料。

  37. (五）摩尔强度理论——（修正的最大切应力理论）(五）摩尔强度理论——（修正的最大切应力理论） 准则：剪应力是使材料达到危险状态的主要因素，但滑移 面 上所产生的阻碍滑移的内摩擦力却取决于剪切面上的正 应力s的大小。 1.摩尔理论适用于脆性剪断： 脆性剪断：在某些应力状态下，拉压强度不等的一些材料 也可能发生剪断，如铸铁压缩。 2.同最大剪应力理论相比，莫尔理论考虑了抗拉和抗压强度不相等的情况。 3.在一定应力状态下，滑移面上为压应力时，滑移阻力增大；为拉应力时，滑移阻力减小。

  38. 4. 由实验确定剪断时的tjx、sn关系： 5. 不考虑s2的影响，每一种材料可通过一系列的试验，作出极限应力圆，它们的包络线就是曲线，当最大应力圆恰好与包络线相接触时，则材料刚刚达到极限状态；若最大应力圆位于包络线以内时，则它代表的应力状态是安全的。 极限应力圆：材料达到屈服时，在不同s1和s3比值下所作出的 一系列最大应力圆(摩尔圆)。 莫尔强度准则： [sl]—拉伸许可应力； [sy]—压缩许可应力。如材料拉压许用应力相同，则莫尔准则 与最大剪应力准则相同。

  39. t s 极限应力圆

  40. 纯剪切 t s 压缩 t D2 D1 s 拉伸 O O1 拉伸 用单向拉伸、压缩和纯剪切极限应力圆作包络线tjx=F(sn) 压缩 O2 用单向拉伸和压缩极限应力圆作包络线tjx=F(sn)

  41. 式中： 单位：MPa ——相当应力，对不同的强度理论，其值不同， 三.强度条件的统一表达式： 综合四个强度条件可得出：它们都可用下式表示： 例8-1：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。

  42. 解：(一)使用解析法求解

  43. 例8-2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。例8-2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。 解： 低碳钢 铸铁

  44. Me 解： 围绕圆轴外表面一点取 1 ) A D 单元体 ： ABCD B C = t M / W e n s1 s3 45o x t -45o s3 s1 ABCD ¢ ¢ ¢ s = s = t s = s = s = - t 3 ) ， 0 ， 1 2 3 主单元体如左图 Me

  45. 4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上, 它们数值相等，均等于横截面上的剪应力； 5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断； 6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。

  46. 例8-3：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。例8-3：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 解：

  47. 例8-4：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。例8-4：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 解：

  48. s1 130 2 + - æ ö 120 40 120 40 2 = ± + = ç ÷ 30 MPa è ø 2 2 s2 30 例8-5：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为 MPa）。 解：

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