第一节 幂级数
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第一节 幂级数. 一、 幂级数及其收敛性. 1. 定义 1. 2. 收敛性 :. 证明. 由 (1) 结论. 几何意义. 收敛区域. 发散区域. 发散区域. 推论. 定义 2 正数 R 称为幂级数的 收敛半径. 开区间 (-R,R) 称为幂级数的 收敛区间. 从而决定了收敛域为以下四个区间之一 :. 规定. 问题. 如何求幂级数的收敛半径 ?. 证明. 由比值审敛法 ,. 定理证毕. 例 2 求下列幂级数的收敛区间 :. 解. 该级数收敛. 该级数发散. 发散. 收敛. 故收敛区间为 (0,1]. 由达朗贝尔判别法. 解.

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Presentation Transcript

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一、 幂级数及其收敛性

1.定义1

2.收敛性:



4236316

(1)结论

几何意义

收敛区域

发散区域

发散区域



4236316

定义2正数R称为幂级数的收敛半径.

开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间.

从而决定了收敛域为以下四个区间之一:

规定

问题

如何求幂级数的收敛半径?





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2 求下列幂级数的收敛区间:

该级数收敛

该级数发散


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发散

收敛

故收敛区间为(0,1].


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由达朗贝尔判别法

原级数绝对收敛.


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原级数发散.

收敛;

发散;


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缺少偶次幂的项

级数收敛,


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级数发散,

级数发散,

级数发散,

原级数的收敛区间为


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幂级数的运算

1.代数运算性质

(1) 加(减)法

(其中


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(2) 乘法

(其中

(3) 除法

注: 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多


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2.幂级数和函数的性质和求法:


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收敛半径不变)


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(收敛半径不变)


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两边积分得


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收敛区间(-1,1),



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四 小结 思考判断题

1.函数项级数的概念 收敛点(域),发散点(域),和函数,余项,幂级数,收敛半径

2.幂级数的收敛性 求幂级数的收敛半径,收敛域

3.幂级数的运算 和函数的性质及其求法


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思考判断题

1.幂级数逐项求导后,收敛半径不变,那么它的收敛域是否也不变?

2.幂级数收敛区间和收敛域的区别


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