第七章 FIR DF 有限长数字滤波器的设计

第七章FIR DF 有限长数字滤波器的设计

§ 7-1 引言 一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性 H（Z）的频响：其中，是幅度函数，是相位函数。通常，与不是呈线性的，这是IIR filter （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道具有线性相位特性。 3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。

二、FIR DF的特点 1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定是稳定的。 2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总可以由因果系统实现。 3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。 4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。 5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用，非线性的FIR一般不作研究。

7-2 线性相位FIR DF的特点 一、线性相位的条件如果FIR DF的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称 h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在处，可证明filter就具有准确的线性相位。 N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIR DF，如下所述。

0 1 n 9 2 3 4 5 6 7 8 10 1、N为奇数的偶对称例如 N=11，对称中心为

2、N为偶数时的偶对称 例如 N=10，对称中心为 0 1 n 9 2 3 4 5 6 7 8

0 4 1 2 3 3、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为 7 9 n 5 6 8 10

4、N为偶数时的奇对称 例如，N=10，对称中心为4.5， 0 4 8 6 1 2 n 3 5 7 9

二、线性相位的特点 为幅度函数，，是一个纯实数，是相位函数，下面分为奇、偶对称两种情况讨论

1、h（n）为偶对称情况 也就是

上式两边同时加H（Z），再用2去除得：

所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示: 幅度函数为相位函数为显然与呈正比，是严格的线性相位。

2、h（n）为奇对称的情况 当h（n）= -h（N-1-n）时，可以通过类似的推导，得到所以，其幅度函数和相位函数分别为

可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个 900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。 0

三、幅度函数的特点 1、N为奇数，h（n）为偶对称的情况

可见，对 呈现偶对称。

2、N为偶数，h（n）为偶对称的情况 可见，对呈奇对称。

3、N为奇数，h（n）为奇对称的情况 可见，时，对呈奇对称。

4、N为偶数，h（n）为奇对称的情况 可见，时，对呈奇对称，而对呈偶对称。这四种线性相位FIR filter的特性归纳在表7-1中（P341）。

四、系统函数H（Z）的零点分布情况 1、零点的分布原则所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是 H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。

1 0 2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，

1 0 (2) 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如

（3） 在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如， 0 1

（4）既在实轴上也在单位圆上。此时， 只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。 N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称 H（0）=0，有Z=1零点； N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z= -1。

§7-3 窗函数设计法 一、设计方法 1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个 FIR的filter的频响为，使逼近 2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。

例如，低通filter 是矩形的，则一定是无限长的且是非因果的。 0

二、窗函数对频响的影响 1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为 0 1 为群延时 0

因为其相位，所以 是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列

n 1 . . . . . . n 0

2、加矩形窗 加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。其他n值因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作 h（n）= n为其他值

3、h（n）的频响 h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理 (1)对于矩形窗的频响

其中， 为幅度函数，为相位函数。（2）对于理想LF的频响其中，为幅度函数，为相位函数。

（3）h（n）的频响 其中，为幅度函数，为相位函数。 4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:

（1）时， 也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。 0

（2）时， 正好与的一半相重叠。这时有。

(3) 时， 的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。

（5）当时，随 增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着的旁瓣在通带内的面积变化而变化，故将围绕着零值而波动。

(6)当时， 的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。 1 0.5 0

5、几点结论 （1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管 N怎样改变，最大肩峰总是 8.95% ，这种现象称作吉布斯效应。

三、各种窗函数 1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求 a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。 b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。 2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：

3、三角形（Bartlett）窗 时域表达式： 1 0 1 2 3 4

频谱： 第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。

4、汉宁窗（升余弦窗） 其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里

所以有 当时，，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为

汉宁窗是时， 特例

第七章 FIR DF 有限长数字滤波器 的设计