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報酬與波動率

報酬與波動率. 在務實與研究上，資產的報酬 (return) ，波動率 (volatility) 與共變性 (covariation) 都是財務金融領域裡最重要的測度，它們是風險管理或資產訂價模型的基本輸入 / 輸出參數 波動率可以說是財務領域的焦點與核心，它是金融商品風險的測度. 報酬與波動率. 波動率通常以報酬的標準差而不是以價格的標準差來測量，這主要的原因是因為價格具有無窮變異數 (infinite variance) 的特性，這表示價格的變異數隨著時間的增長也變大，是非恆定的序列 共變性則是兩個以資產以上，資產間相關性的測度，是投資組合理論的基本測度. 報酬與波動率.

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報酬與波動率

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  1. 報酬與波動率 在務實與研究上，資產的報酬(return)，波動率(volatility)與共變性(covariation)都是財務金融領域裡最重要的測度，它們是風險管理或資產訂價模型的基本輸入/輸出參數 波動率可以說是財務領域的焦點與核心，它是金融商品風險的測度

  2. 報酬與波動率 波動率通常以報酬的標準差而不是以價格的標準差來測量，這主要的原因是因為價格具有無窮變異數(infinite variance)的特性，這表示價格的變異數隨著時間的增長也變大，是非恆定的序列 共變性則是兩個以資產以上，資產間相關性的測度，是投資組合理論的基本測度

  3. 報酬與波動率 資產報酬的測度可以由許多不同的方式來衡量，我們只介紹算數報酬(arithmetic retuen)與幾何報酬(geometric return) 這兩種報酬，在某些條件之下，是可以通用的 假設報酬非常小，則算數報酬與對數報酬的差異也很小 財務金融的文獻上，大多使用幾何報酬

  4. 報酬與波動率 算數報酬 一期或一天的算數報酬 Rt的定義如下： Ｎ期的算數報酬 Rt,N，可以表示如下：

  5. 報酬與波動率 幾何報酬 幾何報酬又稱為對數報酬(logrithmetic return)或是連續複率報酬(continuously compounded return)，令 rt 表示再t時的幾何日報酬，它的定義如下：

  6. 報酬與波動率 Ｎ期的對數報酬 rt,N，可以表示如下：

  7. 報酬與波動率 算數報酬與對數報酬的差異 假設報酬非常小，則算數報酬與對數報酬的差異也很小 我們將寫成的函數，即 rt = f(Rt) = ln(1+Rt) 並將 f(Rt) 在 Rt = 0 以泰勒展開式表示： 在以上的式子裏，如果很小，則泰勒展開式高於二次方的項式可以忽略不記

  8. 報酬與波動率 假設連續３天的股價為：$10、$20、$10 ~算數報酬為：100%與-50% ~對數報酬為：69.3%與-69.3% 假設連續３天的股價為：$10、$10.5、$10 ~算數報酬為：5.0%與-4.8% ~對數報酬為：4.9%與-4.9%

  9. 報酬與波動率 報酬平均之一致性 報酬的平均在統計上並非一個一致的(consistent)估算式 這表示即使將樣本增加，也無法增加估算值的準確性 問：為什麼？

  10. 報酬與波動率 股利發放之情況 假設在t-1與t時之間發放的股利為Ｄ，則算報酬與幾何報酬的調整如下： 而其他的日子報酬不調整

  11. 報酬與波動率 實証分析 • 報酬的分配具有負偏態，正峰態，厚尾瘦腰的特徵 • 觀察報酬的時間序列，可以發現波動叢聚(volatility clustering)現象 • 從統計來說，報酬是獨立的，換句話說，自我相關(autocorrelation)幾乎為零，這表示以今天的報酬來預測明天的報酬是不可靠的 • 報酬的平方卻有很高的正相關，這意味著可以應用模型來處理

  12. 報酬與波動率 • 我們以台灣加權指數為例，繪製週報酬、月報酬的時間序列 • 均數復歸(mean reverting)：報酬序列的平均值非常的穩定，並且在固定的區域間上下變動；當報酬高的時候，序列會有下跌的趨勢，當報酬低的時候，序列會有上漲的趨勢

  13. 報酬與波動率 • 波動叢聚現象：這是指高報酬的時期是叢聚的，低報酬的時候也是叢聚的，並且兩種叢聚截然不同 ~這表示波動率是可以預測的，且在預測估算波動率的時候，距離今天越近的資料越重要 ~我們也可以推測，變異數是具有異質變異的特性(heteroscedasticity)，惟有如此才能反映出高報酬與低報酬的不同叢聚現象

  14. 報酬與波動率 時間序列的基本分析工具 • 自我共變異數函數( Autocovariance Function) • 自我相關函數(ACF, Autocorrelation Function) • 偏自我相關函數(PACF, Partial Autocorrelation Function)

  15. 報酬與波動率 自我共變異數函數 假設樣本包括Ｎ個觀測值， ，落後期(lag)為ｋ的自我共變異數函數之定義跟樣本的估計為：

  16. 報酬與波動率 自我相關函數 落後期為ｋ的自我相關函數ＡＣＦ之定義與樣本的估計分別為：

  17. 報酬與波動率 偏自我相關函數 偏自我相關函數ＰＡＣＦ是衡量目前觀測值x與落後期ｋ序列x的相關性，但是同時將兩者間落後期序列存在的影響去除

  18. 報酬與波動率 • 第一個ＰＡＣＦ就是第一ＡＣＦ • 落後期為５的ＰＡＣＦ是測量在 存在的情況下，加進 的預測能力 • 偏自我相關函數的樣本估計式比較複雜，可以由所謂的Yule-Walker方程式求得：

  19. 報酬與波動率 其中， k=3,4,…；j =1,2,…k-1

  20. 報酬與波動率 波動率模型在財經領域應用上的重要性 • 波動率是風險的基本測度 • 波動率是選擇權衍生性商品模型最重要的輸入參數。事實上，許多衍生性商品通常以波動率來報價 • 波動率也影響到選擇權或期貨等的避險績效 • 由於金融的創新，波動率也成為某些商品的標的，投資人可以買波動率，也可以賣波動率

  21. 報酬與波動率 模型 • 歷史波動率(historical volatility) • 移動平均(moving average) • EWMA模型 • 隨機波動度(Stochastic Volatility) GARCH相關模型

  22. 報酬與波動率 歷史波動率 假設我們取最近Ｎ個資料點來計算波動率，則統計上變異數的不偏估算值(unbiased estimate)為：

  23. 報酬與波動率 • 如果假設= 0，並且將N-1以N取代，可以得到變異數的最大概似法估算值 • 通常也表示在t-1時所估算，t時波動率的預估值，此時，我們通常加上時間下標，

  24. 報酬與波動率 時間平方根法則 • 如果我們以日資料來計算波動率，所得到的是每日波動率的估算值，至於延伸為N天期的波動率，則一般都利用時間平方根法則來求取 • 估算週波動率，N = 5；估算月波動率，N = 21；估算年波動率，N = 252

  25. 報酬與波動率 移動平均 在以上的歷史波動率估計中，我們可以加上視窗的設計，在每一個時間點，我們選取過去Ｎ個資料為樣本，計算其標準差當時間往前，則視窗也往前移一個資料點，並且刪除最後一個資料

  26. 報酬與波動率 幽靈特徵 • 隨著時間的移動，通常可以觀察到寬度為Ｎ的平原形狀，稱為幽靈特徵(ghosting feature) • 這主要是因為樣本裡某些異常值，無論距離遠近，在視窗裡的權重都是一樣的，一旦掉到視窗以外，波動率會突然改變，如同鬼魅一般，此種特性又稱為幽靈特徵

  27. 報酬與波動率 指數加權移動平均(EWMA) EWMA模型由於JP Morgan於其發展的風險控管系統RiskMetrics中使用 ~雖然市場上最近的訊息比遠久以前的訊息來的重要，但是移動平均法給所有的資料點權重是一樣的，因此無法反應此一現象 ~JP Morgan採用EWMA的設計，就是為了捕捉這種現象

  28. 報酬與波動率 EWMA的作法是，越近的資料，權重給的越大，因此捕捉了波動群聚的現象，另一方面異常值的影響也隨著視窗的移動而漸漸減少，這緩和了幽靈特徵的現象 因此與移動平均相比，EWMA對於市場衝擊反應較快，幽靈特徵也較不明顯

  29. 報酬與波動率 EWMA公式

  30. 報酬與波動率 EWMA的權重是越久遠的時間，資料點的權重越輕，而越近的觀測點權重給的越大 過去的第i天，權重是 EWMA模型是由JP Morgan於其發展的風險控管系統RiskMetrics中使用。 計算的結果，日資料的最佳的值為0.94，月資料最佳的值為0.97

  31. 報酬與波動率 GAHCH之ㄧ般式 GARCH的一般式，由條件均數方程式與條件變異數方程式組成

  32. 報酬與波動率

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