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Ulrich Hohenester – KFU Graz , Vorlesung 3 - PowerPoint PPT Presentation


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Einführung in die Physik für LAK. Ulrich Hohenester – KFU Graz , Vorlesung 3. Reibungskräfte, Oszillator (frei & getrieben ), Eigenschwingungen, Schwebung, chaotische Systeme. Normalkraft.

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Einführung in die Physik für LAK

Ulrich Hohenester – KFU Graz, Vorlesung 3

Reibungskräfte, Oszillator (frei & getrieben),

Eigenschwingungen, Schwebung,chaotische Systeme

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Normalkraft

Jede auf eine Fläche einwirkende Kraft kann in die Komponenten Normalkraft und Querkraft zerlegt werden. Die senkrecht zur Fläche (also in Richtung des Normalenvektors) wirkende Normalkraft erzeugt Zugspannungen oder Druckspannungen. Die in der Fläche wirkende Querkraft erzeugt Scherspannungen.

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Haft- und Gleitreibung

Äußere Reibung wird auch als Festkörperreibung bezeichnet, weil sie zwischen den Kontaktflächen von sich berührenden Festkörpern auftritt. Sie wird unterteilt in Haftreibung und Gleitreibung, die beide zu Ehren des Physikers Charles Augustin de Coulomb auch als Coulombsche Reibung bezeichnet werden.

Die Reibungskraft FR nimmt mit der Normalkraft FN zu, oft annähernd linear und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche

Dabei sind die Reibungskoeffizienten µ abhängig von der Beschaffenheit der Oberflächen. Der Koeffizient für Haften ist grundsätzlich größer als der für Gleiten. Ihr Wert wird experimentell bestimmt.

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Luftreibung

Stokesche Reibung (kleine Geschwindigkeit)

Newtonsche Reibung (ab kritischer Geschwindigkeit)

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Hookesches Gesetz

Das hookesche Gesetz (nach Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).

linearer Bereich

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Pendel

Lineare Rückstellkraft für kleine Auslenkungen

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Oszillator

Federkraft

Pendel

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Gedämpfter Oszillator

Newtonsche Bewegungsgleichung

Feder

Reibung

Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung

Keine Schwingung falls Dämpfung zu groß !!!

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Getriebener Oszillator

Newtonsche Bewegungsgleichung

Feder

Reibung

Treibende Kraft

Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung

Amplitude

Phase

Getriebener Oszillator schwingt mit Treibfrequenz

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Getriebener Oszillator

Amplitude

Phase

Die Resonanzkurve der Amplitude hat ein Maximum bei w ~ w0. Dieses Phänomen heißt Resonanz.

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Resonanzkatastrophe

Bei verschwindender Dämpfung wächst die Amplitude im Resonanzfall über alle Grenzen („Resonanzkatastrophe“).

Getriebener parametrischer Oszillator

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Lineare Systeme

Bei einem lineren System sind die Kräfte linear in der Auslenkung und Geschwindigkeit

Linearer Opertator

Ein lineares System kann durch bestimmte „Eigenmoden“ charkterisiert werden, die unabhängig voneinander mit einer bestimmten „Eigenfrequenz“ schwingen.

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Gekoppelte Pendel

Zwei Pendel werden durch eine Feder gekoppelt. Bei den Eigenschwingungen bewegen sich die Pendelentweder gleich- oder gegenphasig.

Eine beliebige Schwingung kann aus diesen beiden Eigenschwingungen aufgebaut werden.

Beispiel. Bei A = B = ½ ist zum Zeitpunkt Null nur das linke Pendel ausgelenkt. Wie sieht die Bewegung aus?

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Schwebung

Bei Überlagerung beider Eigenmoden kommt es zur Schwebung.

Die Anregung wandert zwischen den beiden Pendeln hin und her, wobei die Schwebungsperiode durchdie Kopplung der beiden Pendel (Feder) bestimmt ist

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Atomuhren (GPS)

Bei einer Atomuhr wird die Schwebung von „atomaren Pendeln“ ausgenutzt und ein elektrischen Schwing- kreis wird über einen Feed- backloop synchronisiert.

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Phasenraum

Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Impuls

Trajektorie im Phasenraum

t > 0

t = 0

Ort

Impuls

Ort

x0

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Reguläres System

Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Impuls

Trajektorie im Phasenraum

t > 0

Ungenauigkeit im Endzustand

wächst linear oder polynomial

t = 0

Ungenauigkeit im Anfangszustand

Ort

Impuls

Bei einem regulären System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustand linear oder polynomial im Lauf der Zeit zu.

Ort

x0

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Chaotisches System

Die Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.

Impuls

Impuls

t > 0

t = 0

t = 0

Ort

Ort

Impuls

l … Lyapanov - Exponent

Bei einem chaotischen System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandexponetiell im Lauf der Zeit zu.

Ort

x0

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Chaotisches System - Beispiel

Ein Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebene anharmonische Oszillator

Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch

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Chaotisches System - Doppelpendel

Ein Doppelpendel ist ebenfalls ein chaotisches System.

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Chaotisches System - Wetter

1963 formulierte der Meteorologe Lorenz ein Modell, das eine Idealisierung eines hydrodynamischen Systems darstellt, und das eine Modellierung der Zustände in der Erdatmosphäre für eine Langzeitvorhersage erlauben sollte.

Auch dieses System zeigt chaotisches Verhalten. Bisweilen wird das System von relativ stabilen„Attraktoren“ angezogen.