1 / 31

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit. Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin  t :n pituisiin osaväleihin hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta

grace
Download Presentation

Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi • tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin t:n pituisiin osaväleihin • hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta • olkoon i:nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i) • olkoon Tjilaitteen j toiminta-aika osavälillä i:

  2. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi missä m(i) = välin i alussa toimivien laitteiden lukumäärä

  3. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Empiirinen kylpyammekäyrä

  4. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tulkinta vs. elinajantiheysfunktion tulkinta

  5. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) • MTTF = vikaantumisajan odotusarvo • koska f(t) = -R’(t)

  6. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure) • MTTF voidaan johtaa myös Laplace-muunnoksen avulla • lähestymistapa hyödyllinen esim Markov-malleista johdettujen vikaantumisaikajakaumien tapauksessa

  7. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Keskimääräinen vikojen välinen aika, MTBF (mean time between failures) • laitteen toimintahostoria koostuu peräkkäisistä toiminta-ajoista (T) ja korjausajoista (Tr) • MTBF = vikojen välisen ajan odotusarvo = vikaantumisajan odotusarvo + korjausajan odotusarvo, edellyttäen, että peräkkäiset vikaantumisajat (ja korjausajat) ovat riippumattomia, samalla tavatalla jakautuneita satunnaismuuttujia • MTTR = mean time to repair

  8. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Laitteen keskimääräinen vikaantumiskäyttäytyminen

  9. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • POISSON-prosessi • Poisson-prosessilla on yhteys vikaantumismalleihin • Poisson-prosessiin (tai minkä tahansa piste- tai laskuriprosessin) intensiteeteillä on tulkinta luotettavuusteoriassa ja -tekniikassa • tietyin edellytyksin Poisson-prosessi on vikaantumisten lukumäärän malli • nyt tarkastellaan homogeenista Poisson-prosessia • monesti myös ns. epähomogeenisilla Poisson-prosesseilla on käyttöä luotettavuusmallina

  10. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • OLETUKSET • Vikaantumistapahtuma A voi esiintyä millä hetkellä tahansa, ja todennäköisyys, että A esiintyy aikavälillä (t, t+dt) ei riipu t:stä on missä0 ja funktiolle o( ) pätee:

  11. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • OLETUKSET • Todennäköisyys, että aikavälillä (t, t + dt] esiintyy enemmän kuin yksi tapahtuma on o(dt). • jos mitkä tahansa aikavälit (t11, t12], (t21, t22], … ovat erillisiä, niin tapahtumat ”A esiintyy aikavälillä (tj1, tj2]”, j = 1, 2,…. ovat riippumattomia

  12. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • merkitään N(t):llä aikavälillä (0,t) esiintyneiden tapahtumien lukumäärää ja olkoon • nyt pätee: eli

  13. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Homogeeninen Poisson-prosessi on luonnollista asettaa:

  14. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • ensimmäisen tapahtuman esiintymishetken, T1, jakauma • T1 on siis eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja

  15. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • p(n,t)?

  16. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • rekursio Eli Poissonin jakauma

  17. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, jakauma • tiheysfunktio saadaan derivoimalla:

  18. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Homogeeninen Poisson-prosessi • k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, tiheysfunktio saadaan derivoimalla • kysymys on gammajakaumasta

  19. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma

  20. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Eksponentiaalijakauma Eksponentiaalijakauma on muistiton:

  21. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Weibulljakauma

  22. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Joitakin vikaantumisajan jakaumia • Gammajakauma • malli: laitteeseen kohdistuu shokkeja joiden välinen aika on ekponentiaalisesti jakautunut parametrilla  • laite vikaantuu, kun siihen kohdistuu k:s shokki

  23. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Joitakin vikaantumisajan jakaumia Gammajakauma

  24. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Joitakin vikaantumisajan jakaumia • Gammajakauma • yleistys

  25. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Joitakin vikaantumisajan jakaumia • muita jakaumia • lognormaalijakauma (ln(T) ~ N(2)) • Pareto-jakauma • inverse-gaussian • äärimmäisten arvojen jakaumat • Gumbel-jakaumat • erilaiset stokastisten prosessien perusteella johdetut jakaumat (rajajakaumana yleensä joku normaalijakauman versio) • jne.

  26. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFR (increasing failure rate) ja DFR (decreasing failure rate) • MÄÄRITELMÄ: • Jakauma on IFR (DFR) jos -ln(1-F(t)) on konveksi (konkaavi) välillä • 0<t<F-1(t) • Huom! jos jakauma on jatkuva niin IFR (DFR) vastaa hazardifunktion kasvavuutta (vähenevyyttä)

  27. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFRA (increasing failure rate average) ja DFRA (decreasing failure rate average) • MÄÄRITELMÄ: • Jakauma F on IFRA (DFRA) jos • on kasvava (vähenevä) kun t • IFRA (DFRA) on heikompi ominbaisuus kuin IFR (DFR)

  28. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • NBU (new better that used) ja NWU (new worse that used) • tarkastellaan jäljella olevan elinajan jakaumaa: MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBU (NWU) jos

  29. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • NBUE (new better that used in expectation) ja NWUE (new worse that used in expectation) MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NBUE jos 1. F:llä on äärellinen odotusarvo  2. on voimassa, että:

  30. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit Vikaantumisajan jakaumien luokittelu MÄÄRITELMÄ Jakauma F on NWUE jos 1. F:llä on äärellinen odotusarvo  2. on voimassa, että:

  31. Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit • Vikaantumisajan jakaumien luokittelu • IFR => IFRA => NBU => NBUE • DFR => DFRA => NWU => NWUE • tietynlaiset järjestelmärakenteet säilyttävät jotkut em. ominaisuuksista

More Related