Zufallsfelder

1. Zufallsfelder Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständenx(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = Πv X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits-maß ΠaufX heißt dann Zufallsfeld.

2. Zufallsfelder 2 • Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,Π). • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. Über die bedingte Verteilung definiert

3. Beispiel: Gibbs-Feld Sei X(v) = {-1,1} für alle v ∈ V. Dann hat das Gibbs-Feld der Ising-Energie die Form Dabei bedeutet s~v, dass s und v “Nachbarn” sind

4. Nachbarn Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten ∂ = {∂{v}: v ∈V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt: Alle s ∈ ∂{v} heißen Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heißt Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind.

5. Beispiele für Nachbarschaftssysteme

6. Markovfelder Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld Π ist ein Markovfeld bezüglich des Nachbarschaftssystems ∂, falls für alle x ∈ X gilt Für endliche Räume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften.

7. Bedingte Unabhängigkeit Def. Bedingte Unabhängigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhängig bezüglich Y, falls für alle x, y, z gilt: Satz 3.1: Π ist genau dann ein Markovfeld, wenn Xv und XV\{∂{v}Uv} bedingt unabhängig gegeben X∂{v} sind.

8. Brooks Lemma

9. Clique

10. Hammersley-Clifford Meist nur Cliquen aus 2 Elementen 

11. Auto-logistisches Modell

12. Gauss-Markov-Zufallsfelder Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus: Dann gilt für alle t = 2,...,T

13. GMRF 2 Falls x1 ~ N(0,1/(1-ϕ2)), gilt mit

14. GMRF 3 Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen: Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld Πheißt Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls für jedes v aus einer Menge von Orten v gilt Es läßt sich zeigen:

15. Intrinsische GMRF

16. Zusammenfassung • Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur • Nachbarschaftsstrukturen • Markovfelder • Bedingte Unabhängigkeit • Gauss-Markovzufallsfelder