Google のページランク

S学部 C学科 W大学 G研究室 WEBページのリンクの関係 Googleのページランク • 基本的な仕組は数学的グラフの行列による表現隣接行列（推移行列、遷移行列）固有値と固有ベクトル行列の上と左のW, S, C, Gは注釈であり行列に含まれない

S学部 C学科 W大学 G研究室 WEBページのリンクの関係隣接行列を転置する • 隣接行列　　　　　　　を転置するリンクを「出す」側から「受ける」側へ

１１１ 1/3 1/3 S学部 C学科 1/3 W大学 G研究室 WEBページのリンクの関係隣接行列から推移確率行列へ • 列(column)の総和が１または０になるように調整ページの評価値をリンク先に渡す

推移確率行列の固有値と固有ベクトル • 固有値λと固有ベクトルｒ • 行列 M を掛ける（乗算）ということは、グラフの辺に沿って（確率的に）推移するということである • 固有ベクトルの各要素は M を掛けても定数倍しか変化しない。（安定している）固有ベクトルの各要素がランクになる（ただし要素の和が１となるように正規化する）

１ 2/9 S学部 C学科 1/3 １１ 1/3 1/3 W大学 G研究室 1/3 1/3 固有ベクトルの具体例 • GNUOctaveを使って計算する。固有値λ＝１が最大の固有値であり、固有ベクトルは下の左のようになる。 • これを正規化したページランクは上の右である。ページランクを記入した図 1/9

S学部 C学科 W大学 G研究室 Googleにおける工夫 • サイズの大きな疎(sparse)行列の固有ベクトルの計算 • ユーザがランダムにページを渡り歩くと仮定

S学部 C学科 W大学 G研究室 Googleにおけるページランク • 次の行列の固有ベクトルを求めて、要素の和が１になるように正規化する。

より深く調べるために • 本資料の例題は簡単にするために４つのサイトに閉じていた。現実のPageRankは早稲田大学（8/10）、理工学部（6/10）、CS学科（5/10）、後藤研（4/10）。 • 次の資料が参考になるhttp://www.kusastro.kyoto-u.ac.jp/~baba/wais/pagerank.html本資料は上記を参考にした。ただしOctaveのスクリプトは若干改良した。 • Googleの創始者による論文も入手できる。Lawrence Page, Sergey Brin, Rajeev Motwani, Terry Winograd, 'The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web', 1998,http://www-db.stanford.edu/~backrub/pageranksub.ps Taher H. Haveliwala, 'Efficient Computation of PageRank', Stanford Technical Report, 1999,http://dbpubs.stanford.edu:8090/pub/1999-31

特集：情報数学の演習問題 • 200６年度の定期試験問題の解答を解説します。200７年度の諸君の勉強の参考にして下さい。 • 次の事実に注意してください。2004年度の金曜日（前半）の担当は上田和紀教授、2005年度から担当を交代して後藤滋樹です。 • 本日の授業では３題を解説します。残り２題は来週以降の授業の範囲です。順次解説する予定。

問１．集合 X＝{ 1, 2, 3, 4, 5 }, 集合 Y={ 3, 5, 7 }とするとき、次の(1-1)～(1-6)の集合を外延的に表現せよ。 • ヒント：　記号の意味を覚えておく必要がある

問１．解答 • ヒント：　各集合の要素の数を考えてみる

問２．自然数の集合 N は無限集合である。(2—1) N 2=N×Nに属する要素（元）を３つ以上具体的に記述せよ。(2—2) N 2が可算無限集合 (enumerable set, countable set) であることを示すには、次の関数 f (x,y)を使えば良い。f (x,y)={(x+y)2+3x+y}÷2具体的に、この関数をどのように使うのか説明せよ。 • ヒント：　N 2という表記法を誤解しないように

(2—1) 解答 （次は解答の一例である。正解は、これに限らない。）<0,0>, <0,1>, <1,0>. (2—2) 解答関数 f(x,y)はNからN2への全単射である。よってNとN2とは対等で同じ濃度を持つ。集合Nが可算無限集合であるから、集合N2も可算無限集合である。

問３．次の(3—1)～(3—4)で定義する各々の二項関係は、（a）反対称律、（r）反射律、（s）対称律、（t）推移律のどれを満たすか？ (3—1)～(3—4)の各々について、満たす性質すべてを記号（a, r, s, t）で答えよ。(3—1) Aは2次元平面上のすべての直線の集合で、関係 Rは「直線 xと直線 yが平行である」と定義される。

(3—2) Aは自然数の集合で、関係Rは「自然数 xは自然数 yよりも小さい、または xとyは等しい」と定義される。 (3—3) A は2次元平面上のすべての点の集合で、関係 R は「点 x は点 y よりも原点より遠くない」と定義される。 (3—4) 有限集合 A={0, 1, 2, 3, 4} の上でRは R={<0,0>,<1,1,>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}というグラフで定義される。

問3．解答 (3—1) r, s, t (3—2) a, r, t (3—3) r, t (3—4) a, r, s, t

補足 (3—4) 有限集合 A={0, 1, 2, 3, 4} の上でRは R={<0,0>,<1,1,>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}というグラフで定義される。 Rが推移律を満たすかどうかを検討するxRy ∧ yRzが成立つ <x,z>は必ずx=zとなる。つまり xRzを満たす。注意１）xRy は x=y と書ける。注意２）xRy ∧ yRzが成立たない<x,y>,<y,z>については、xとzの間に何の関係がなくても良い

レポートの提出方法(200７年度後藤担当） • レポート用紙を下記のURLからプリントする http://www.goto.info.waseda.ac.jp/~goto/infomath.html１班 (奇数班), と２班 (偶数班) で用紙が異なる • 提出場所は、60号館2階のCS学科事務所の中のレポートBOX • 締切厳守のこと提出期間は、200７年６月１１日(月)～１５日(金)の間

ＣＳ連絡事務室開室時間 • 月曜日から金曜日の 9：00～17：15 • 12：30～13：30は昼休みのため閉室 • 土曜は休日

問１　集合と非順序対 • 集合 A={u, v, w},集合 B={1, 2, 3}とするとき、次のように内包的に定義される集合 C を考える。すなわち、Cの要素は集合{{a},{a,b}}である。 • この集合Cの要素をすべて示せ。ただし集合として同じものを重複して掲げないこと。また集合Cの要素の数を答えよ。

問２　関数とグラフ (2—1)有限集合 B={t, f} を考える。B3という集合を直積と考えて、B3の要素を列挙せよ。 (2—2) 3を自然数の集合 {0, 1, 2}と考えると、B3は集合3から集合 Bへの関数の全体となる。このように考えた場合には、B3の各要素は個々の関数となる。B3の各要素を関数のグラフとして表現せよ。ヒント：　要素を列挙するため、解答が相当の分量になるのではないか、と懸念するかもしれない。実際には要素の数は多くない。

問３　集合の濃度（可算集合） • 自然数の集合 N={0,1,2,…}の直積 N2=N×Nから N への関数 f(x,y)={(x+y)2+3x+y}÷2 を考える。(3-1) f(0,0), f(0,1), f(1,0) ,f(0,2), f(1,1), f(2,0)の値を具体的に計算せよ。(3-2) f(x,y) が全単射であることを、全単射の定義に照らして丁寧に説明せよ。

問４　二項関係 集合Aは、２次元平面上の点の集合である。 (4—1)Aの上の関係Rが次のように定義されているとき、この関係Rが反射率を満たすか否かを解答せよ。 (4—2) 関係Rが推移律を満たすか否かを解答せよ。 (4—3) Aの上の関係Dが次のように定義されているとき、この関係Dが同値関係であるか否かを解答せよ。

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