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第三章 序列算子与灰色序列生成. 南京航空航天大学经济管理学院 精品课程群建设组. 第三章 序列算子与灰色序列生成. • 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的 , 这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径 , 称之为灰色序列生成 • 一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性 , 显现规律性 . • 算子 是处理数据的一种方法。. 3.1 序列算子 一 冲击扰动系统预测陷阱 定义 3.1.1 设 为系统真实行为序列 , 而观测到的系统行为数据序列为 : 其中 , 为冲击扰动项 , 则称 X 为冲击扰动序列 .
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第三章 序列算子与灰色序列生成 南京航空航天大学经济管理学院 精品课程群建设组
第三章 序列算子与灰色序列生成 • 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成 •一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性. •算子是处理数据的一种方法。
3.1 序列算子 一 冲击扰动系统预测陷阱 定义 3.1.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为: 其中, 为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 本节的讨论围绕一个总目标:由 展开
二、缓冲算子公理 定义3.1.2 设系统行为数据序列为X（x(1),x(2),…,x(n)),若 1、任意k=2,3,…,n,总有x(k)-x(k-1)>0, 则称X为单调增长序列； 2、1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列； 3、存在 有 则称X为随机振荡序列。设M=max m=min 称M-m为序列X的振幅。
定义3.1.3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过算子D的作用后所得序列记为 称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理3.1.1 （不动点公理） 设X为系统行为序列，D为序列算子，则D满足 * 涉及到不动点公理即‘布劳威尔’不动点定理
公理3.1.2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据 都应该充分的参与算子作用的全过程。 公理3.1.3 （解析化、规范化公理）任意的 ， 都可以由一个统一的 的初等解析式表达。 上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子。 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时： 1、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，称缓冲算子D为弱化算子。 2、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，称缓冲算子D为强化算子。
三、缓冲算子的性质 定理3.1.1 设X为单调增长序列，XD为其缓冲序列，则有 1、D为弱化算子 2、D为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。 定理3.1.2 设X为单调衰减序列，XD为其缓冲序列，则有 1、D为弱化算子 2、D为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。
四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4 设原始数据序列X= 令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为弱化算子。（证明从略） 四、实用缓冲算子的构造 定理3.1.4 设原始数据序列X= 令 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为强化算子。（证明从略）
3.2 均 值 生 成 定义 3.2.1 设序列 与 为X的一对紧邻值， 称为前值， 称为后值，若 为新信息，则对任意 为 老信息。 定义3.2.2 设序列X在k处有空穴，记为 ，即 则称 与 为 的界值 为前界， 为后界。当 由 和 生成时，称生成值 为 的内点。
定义3.2.3 设 与 为序列X中的一对紧邻值，若有 1、 为老信息， 为新信息； 2、 则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 >0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当 <0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 =0.5， 称 的生成为非偏生成。 定义3.2.4 设 为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用 非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序 列。
定义 3.2.5 设序列 若 则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列 称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成， 它是以原始序列为基础构造新序列的方法。 注意：设 为n元序列，Z为X的紧邻均值 生成序列，则Z为 元序列： 无法由X生成z(1).
3.4 级比和光滑比 当序列的起点x(1)和终点x(n)为空穴，就无法采用均值生成填补空缺，只有转而采用别的方法，级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。 定义3.4.1 设序列 称 为序列X的级比，称 为序列X的光滑比。
定义3.4.2 设X为端点是空穴的序列： 若用 右邻的级比（或光滑比）生成 ，用 左邻的级比（或光滑比）生成 ，则称 与 为级比（或光滑比）生成，按级比生成（或光滑比生成）填补 空穴所得的序列称为级比生成（或光滑比生成）序列。 命题 3.4.1 设X是端点为空穴的序列，则 1、若采用级比生成，则 2、若采用光滑比生成，则
命题3.4.2 级比与光滑比有下述关系： 定义3.4.3 若序列X满足： 1、 2、 3、 则称X为准光滑序列。 定义 3.4.4 设X为有空穴的序列，若新序列生成满足准光滑条件，则称为准光滑生成。
3.5 累加生成算子和累减生成算子 定义 3.5.1 设 为原始序列 D为序列算子， 其中 则称D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO （Accumulating Generation Operator),称r阶算子 为 的r次 累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记
其中 定义3.5.2设 为原始序列，D为序列算子， 其中， 则称D为 的一次累减生成算子，r 阶算子 称为 的r 次累减生成算子。 定理 3.5.1 累减算子是累加算子的逆算子。
命题 3.5.1 设 为非负序列 其中 ，且 为 的r次累加生成序列，则当r充分大的时候，对于 存在N，使得 有下式成立： 这就是说，对于有界非负序列，经过多次累加生成后，所得序 列可以充分光滑，且光滑比
3.6 累加生成的灰指数律 一般得非负准光滑序列经过累加生成以后，都会减少随机性，呈现出近 似得指数增长规律，原始序列越光滑，生成后得指数规律越明显。 定义 3.6.1 （见教材P37） 定义 3.6.2 定理 3.6.1 设 为正序列， 而 为 的次累加生成，则 必为 r 阶弱随机序列。 定理 3.6.3 设 为非负准光滑序列，则 的一次累加生成序列 具有 准指数规律。即 。 如果 的 r 次累加生成序列已经具有明显的指数规律，再作AGO生成反 而会破坏其规律。因此累加生成应适可而止，对非负准光滑序列，只需进 行一次累加生成即可建立指数模型。
