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第 8 章 图的应用

第 8 章 图的应用. 1. 图的生成树和最小生成树. 2. 3. 最短路径. 拓扑排序. 4. 关键路径*. 主要内容. 8.1 图的生成树和最小生成树. 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 8.1.2 普里姆算法 8.1.2 克鲁斯卡尔算法. 8.1.1 生成树和最小生成树的概念. 生成树 定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图叫生成树 深度优先生成树与广度优先生成树 一个图可以有许多棵不同的生成树 所有生成树具有以下共同特点： 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 生成树是图的极小连通子图

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第 8 章 图的应用

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  1. 第8章 图的应用

  2. 1 图的生成树和最小生成树 2 3 最短路径 拓扑排序 4 关键路径* DS 主要内容

  3. DS 8.1 图的生成树和最小生成树 • 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 • 8.1.2 普里姆算法 • 8.1.2 克鲁斯卡尔算法

  4. DS 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 • 生成树 • 定义：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图叫生成树 • 深度优先生成树与广度优先生成树 • 一个图可以有许多棵不同的生成树 • 所有生成树具有以下共同特点： • 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同 • 生成树是图的极小连通子图 • 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边 • 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的 • 在生成树中再加一条边必然形成回路 • 含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树

  5. 0 0 1 4 5 2 1 4 5 2 3 7 6 3 7 6 0 0 1 4 5 2 1 4 5 2 3 7 6 3 7 6 DS 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 深度优先生成树 连通图 任意一颗生成树 广度优先生成树

  6. 0 5 8 3 1 3 15 12 2 6 10 7 2 6 9 4 5 DS 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 • 最小生成树 • 问题提出 要在n个城市间建立通信联络网 顶点--表示城市 权--城市间建立通信线路所需花费的代价 希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和（即建立该通信网所需花费的总代价）最小--最小代价生成树

  7. DS 8.1.1 生成树和最小生成树的概念 • 问题分析 n个城市间，最多可设置n(n-1)/2条线路 n个城市间建立通信网，只需n-1条线路 问题转化为：如何在可能的线路中选择n-1条，能把所有城市（顶点）均连起来，且总耗费各边权值之和）最小 • 构造最小生成树方法 • 方法一：普里姆(Prim)算法 • 方法二：库鲁斯卡尔(Kruskal)算法

  8. DS 8.1.2 普里姆算法 • 算法思想：设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合 • 初始令U={u0},(u0V), TE= • 在所有uU,vV-U的边(u,v)E中，找一条代价最小的边(u0,v0) • 将(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U • 重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,{TE})为N的最小生成树

  9. 0 0 5 5 8 3 1 3 3 15 12 2 6 10 7 2 0 0 5 6 5 9 3 4 5 3 1 3 0 0 1 3 5 5 15 3 3 1 1 3 3 2 6 2 7 7 2 2 6 7 6 2 4 5 7 4 5 5 2 5 DS 8.1.2 普里姆算法 0 0 5 3 1 3

  10. DS 8.1.2 普里姆算法 • 算法实现：图用邻接矩阵表示 • 算法描述 • 算法评价： • 时间复杂度O(n²) • 空间复杂度O(1) • 利用算法得到的边集数组为：

  11. DS 8.1.3 克鲁斯卡算法 • 算法思想：设连通网N=(V,{E})，令最小生成树 • 初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量 • 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边 • 依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止

  12. 18 0 1 5 23 12 4 2 8 5 25 15 10 4 3 20 DS 8.1.3 克鲁斯卡算法

  13. DS 8.1.3 克鲁斯卡算法 • 算法实现：图用边集数组表示 • 算法描述 • 算法评价： • 时间复杂度O(n²) • 空间复杂度O(n²)

  14. DS 8.2 最短路径 • 8.2.1 最短路径的概念 • 8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径 • 8.2.3 每对顶点之间的最短路径*

  15. 北京 太原 兰州 920 1120 郑州 210 徐州 720 西安 640 济南 540 340 190 DS 8.2.1 最短路径的概念 • 旅客希望停靠站越少越好，则应选择： 济南——北京——太原——兰州 • 旅客考虑的是旅程越短越好，则应选择： 济南——徐州——郑州——西安——兰州

  16. DS 8.2.1 最短路径的概念 • 最短路径：从一顶点到另一顶点间路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。 • 带权路径长度：在带权图中，把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度。路径长度最短（即其值最小）的那条路径称做最短路径，其权值称做最短路径长度或最短距离。

  17. 0 5 3 30 4 1 10 12 8 25 2 3 4 DS 8.2.1 最短路径的概念 • V0~V4的路径有： • {0，4}：长度为30 • {0，1，3，4} ：长度为23 • {0，1，2，4}：长度为38

  18. DS 8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径(Dijkstra) • 思想：贪心算法(局部最优)，按路径长度递增的次序产生最短路径。 • 贪心算法: 利用局部最优来计算全局最优。 • Dijkstra：利用已得到的顶点的最短路径来计算其它顶点的最短路径。

  19. 0 5 3 30 4 1 10 12 8 25 2 3 4 DS 8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径(Dijkstra)

  20. DS 8.2.2 从一顶点到其余各顶点的最短路径(Dijkstra) • 算法

  21. DS 8.3 拓扑排序 • 8.3.1 拓扑排序的概念 • 8.3.2 拓扑排序算法

  22. DS 8.3.1 拓扑排序的概念 • 问题提出：学生选修课程问题 顶点--表示课程 有向弧--表示先决条件，若课程i是课程j的先决条件，则图中有弧<i,j> 学生应按怎样的顺序学习这些课程，才能无矛盾、顺利地完成学业--拓扑排序

  23. DS 8.3.1 拓扑排序的概念 • AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间先后关系的有向图称为顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网 • 若<vi,vj>是图中有向边，则vi是vj的直接前驱；vj是vi的直接后继 • AOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以自己为先决条件

  24. DS 8.3.1 拓扑排序的概念 • 拓扑序列：在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，此序列叫做拓扑序列。 • 拓扑排序：有AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序。该序列不是唯一的。 • 实现方法： • 选择一个入度为0的顶点并输出之 • 从网中删除此顶点及所有出边 • 重复上述两步，直至不存在入度为0的顶点为止

  25. C8 C9 C7 C1 C3 C4 C2 C5 C6 DS 8.3.1 拓扑排序的概念 • 拓扑序列： • C1, C8, C9, C2, C3, C5, C4, C7, C6 • C2, C1, C3,C5,C4,C6,C8,C9,C7

  26. ^ ^ 2 5 5 4 2 3 3 2 ^ ^ ^ ^ DS 8.3.2 拓扑排序算法 • AOV网采用邻接表作为存储结构 • 数组 d[ ] 存放顶点的入度 • 将所有入度为0的顶点链接成一个栈

  27. 0 2 1 4 3 2 2 5 3 3 5 4 5 5 -10 2 2 1 3 0 0 2 2 1 3 -10 2 2 1 3 -1 0 2 2 1 3 -1 0 1 1 0 3 -1 0 1 1 0 2 -1 0 1 1 0 3 入度表top=-1 输出 1 4

  28. 0 2 1 4 3 2 2 5 3 3 5 4 5 5 -1 0 1 1 0 2 -10-1 1 0 2 -10-1-10 1 -10-1-10 -1 -10-1-10 -1 输出 1 4 0 2 3 5

  29. 0 2 1 4 3 2 2 5 3 3 5 4 5 5 2 0 5 3 1 4 DS 8.3.2 拓扑排序算法 2 0 5 3 1 4 1 4 0 2 3 5

  30. DS 8.3.2 拓扑排序算法 • 算法实现 • 算法分析：时间复杂度为O(n+e)

  31. DS 8.4 关键路径 • 8.4.1 顶点事件的发生时间 • 8.4.2 计算关键路径的方法和算法

  32. 7 2 a4=1 a1=6 a7=9 a10=2 9 1 5 a2=4 a5=1 a8=7 a11=4 8 3 a3=5 a9=4 a6=2 4 6 DS 8.4.1 顶点事件的发生时间 • 把工程计划表示为有向图，用顶点表示事件，弧表示活动；每个事件表示在它之前的活动已完成，在它之后的活动可以开始。 • 例设一个工程有11项活动，9个事件 事件 V1--表示整个工程开始 事件V9--表示整个工程结束 问题：（1）完成整项工程至少需要多少时间？ （2）哪些活动是影响工程进度的关键？

  33. DS 8.4.1 顶点事件的发生时间 • AOE网(Activity On Edge)——也叫边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续时间 • 路径长度——路径上各活动持续时间之和 • 关键路径——路径长度最长的路径 • Ve(j)——表示事件Vj的最早发生时间 • Vl(j)——表示事件Vj的最迟发生时间 • e(i)——表示活动ai的最早开始时间 • l(i)——表示活动ai的最迟开始时间

  34. ai j k DS 8.4.1 顶点事件的发生时间 • l(i)-e(i)——表示完成活动ai的时间余量 • 关键活动——关键路径上的活动叫关键活动，即l(i)=e(i)的活动 • 如何找e(i)=l(i)的关键活动？ 设活动ai用弧<j,k>表示，其持续时间记为：dut(<j,k>) 则有：（1）e(i)=Ve(j) （2）l(i)=Vl(k)-dut(<j,k>)

  35. (1)从Ve(1)=0开始向前递推 (2)从Vl(n)=Ve(n)开始向后递推 DS 8.4.1 顶点事件的发生时间 • 如何求Ve(j)和Vl(j)？

  36. 顶点 Ve Vl 7 2 a4=1 a7=9 a1=6 a10=2 9 1 5 a2=4 a5=1 a8=7 a11=4 8 3 a3=5 a9=4 a6=2 4 6 DS 8.4.2 计算关键路径的方法和算法 • 关键路径步骤 • 求Ve(i)，Vl(j)，e(i)，l(i)，计算l(i)-e(i) V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 0 6 4 5 7 7 16 14 18 0 6 6 8 7 10 16 14 18

  37. a1=6 a7=9 7 2 a10=2 a4=1 9 a2=4 1 5 a5=1 a8=7 a11=4 8 3 a3=5 a9=4 a6=2 4 6 活动 e l l-e 14 0 5 7 0 0 7 7 16 4 6 6 14 8 7 6 7 2 0 16 10 3 3 0 0 3 3 2 0 2 0 0 0 顶点 Ve Vl DS 8.4.2 计算关键路径的方法和算法       a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 0 6 4 5 7 7 16 14 18 0 6 6 8 7 10 16 14 18

  38. DS 8.4.2 计算关键路径的方法和算法 • 计算关键路径的算法 • 用邻接表实现 • 时间复杂度：O(n+e) • 调试图的拓扑排序算法和关键路径算法的程序

  39. DS 作业 • P302 • T习题8-1：1，2，6，7

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