第一章统计案例

第一章统计案例 回归分析的基本思想江门市杜阮华侨中学杨清孟

1、问题：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？1、问题：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2、复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 3、用最小二乘估计求线性回归方程的步骤：收集数据作散点图利用方程进行估计求回归直线方程

4、求回归方程y=bx+a，确定a,b的过程。 打a,b代入y=bx+a即得回归方程

某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示. 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 分析：第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算预测

制表 i xi yi xi2 xi yi 1 2 3 4

某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示. 故所求回归方程为：求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 认为她的平均体重的估计值是60.316kg.

如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 相关系数相关系数的性质: (1)|r|≤1． (2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？

完全正相关 完全负相关无线性相关 -1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0 负相关程度增加正相关程度增加相关关系的测度（相关系数取值及其意义） r

练习： 求根据股骨估计肱骨的回归方程，并预测股骨的长度为50cm。则它的肱骨长为多少？分析：第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算预测

探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。从散点图看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。

思考问题： 产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。

线性回归模型y=bx+a+e与我们了的一次函数模型不同之处在于多了一个随机误差e，y的值有它们一起决定线性回归模型y=bx+a+e与我们了的一次函数模型不同之处在于多了一个随机误差e，y的值有它们一起决定解释变量x 预报变量y 随机误差e 如何估计a，b，e？

在上面的例子中我们假设体重与身高没有关系即：体重都为：在上面的例子中我们假设体重与身高没有关系即：体重都为：则，她们身高－体重的散点图应该在一条水平直线上：

事实上，并非如此，它们和54.5之间存在差别，这时我们就引入随机误差，利用随机误差和解释变量共同来预报变量y事实上，并非如此，它们和54.5之间存在差别，这时我们就引入随机误差，利用随机误差和解释变量共同来预报变量y 把所有的这种效应利用总体偏差平方和合并成一个数解释变量？总体偏差平方和？随机误差

根据我们在《数学3》总的知识，我们知道：每个点与回归方程的差异我们可以用 来表示，记作： (残差(residual))它刚好可以表示随机误差的效应。我们现在要弄清楚这个总的效应中，有多少来自解释变量，有多少来自随机误差，即：哪一个效应起决定性作用？怎样去刻画每个效应呢？为什么说可以用残差来表示随机误差的效应？

为了回归的准确和计算的方便我们引入残差平方和(residual sum of squares)它代表随机误差的效应求出了随机误差的效应后，我们就比较容易得到解释变量的效应了。同学们知道怎样求吗？解释变量的效应＝总体偏差平方和－残差平方和回归平方和 (regression sun of squares)

有了这些评估效应的方法，我们就可以利用它们来刻画总体效应，事实上，为了将我们的计算简化，我们又引入相关指数R2来刻画回归的效果：有了这些评估效应的方法，我们就可以利用它们来刻画总体效应，事实上，为了将我们的计算简化，我们又引入相关指数R2来刻画回归的效果：残差平方和总体偏差平方和显然，当R2的值越大，说明残差所占的比例越小，回归效果约好；反之,回归效果越差。一般的，当R2越接近于1,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不同的回归方法分析,我们可以通过选择R2大的来作为回归模型

解：取身高为解释变量x，体重为预报变量y，作散点图：解：取身高为解释变量x，体重为预报变量y，作散点图：样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系. 返回

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