2.5 光的相干性

1. 2.5 光的相干性 2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响 ——光的空间相干性 2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响 ——光的时间相干性 2.5.3 干涉的定域性 2.5.4 相干性的定量描述 2.5.5 激光的相干性

2. 2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响——光的空间相干性 干涉条纹可见度 V—— 表征干涉程度 在杨氏干涉实验中，如果采用点光源，则通过干涉系统将产生清晰的干涉条纹，V = 1；如果采用扩展光源，其干涉条纹可见度将下降。

3. 多组条纹的叠加

4. S1 S O d S   P0 P S S2 R E 以杨氏双缝干涉为例： 若考察干涉场中的某一点P，则位于光源中点 S 的元光源(宽度为dx)在P点产生的光强度为 ：

5. 若考察干涉场中的某一点P，则位于光源中点 S 的元光源(宽度为dx)在P点产生的光强度为 ： 式中，I0 dx是元光源通过 S1 或 S2 在干涉场上所产生的光强度； 是元光源发出的光波经 S1 和 S2 到达P点的光程差。

6. S C dx S1 P x  P0 S S2 E S 距离 S 为 x 的 C 点处的元光源，在 P 点产生的光强度： 式中，是由 C处元光源发出的、经 S1 和 S2 到达 P 点的两支相干光的光程差。

7. 由图中几何关系可得到如下近似结果： 于是可得： 式中， = d/R 是 S1 和 S2 对S的张角。因此

8. 对上式进行积分，即可得到宽度为 b 的扩展光源在P点所产生的光强度为： 式中，第一项与P点的位置无关，表示干涉场的平均强度，第二项表示干涉场光强度周期性地随 变化。 由于第一项平均强度随着光源宽度的增大而增强，而第二项不会超过2I0/，所以随着光源宽度的增大，条纹可见度将下降。

9. V 1 0 b 2/ / 条纹可见度随光源宽度的变化 根据干涉条纹可见度的定义式可求得 ：

10. 上述讨论实际上是考察了光源的大小对扩展光源SS 照射与之相距R的平面，并通过其上二点S1和S2的光在空间再度会合时产生干涉的影响，它反映了光源在这两点产生光场的空间相干特性。 当光源是点光源时，所考察的任意两点S1和S2的光场都是空间相干的；当光源是扩展光源时，光场平面上具有空间相干性的各点的范围与光源大小成反比。

11. V 1 ——光源的临界宽度 0 / 对于一定的光波长和干涉装置，当光源宽度 b 较大，且满足：b  R /d或 b   /时，通过 S1和 S2两点的光将不发生干涉，因而这两点的光场没有空间相干性。 式中， = d / R 是干涉装置中的两小孔S1和S2对S的张角。 当光源宽度不超过临界宽度的1/4 时，计算可得此时的可见度 V ≥ 0.9。此光源宽度称为许可宽度，表示为： b 通常可用 bp 确定干涉仪应用中的光源宽度容许值。

12. 此外，也可从另一个角度对光的空间相干性的范围进行考察。对一定的光源宽度b，通常称光通过S1和S2恰好不发生干涉时所对应的这两点的距离为横向相干宽度。用dt表示，则有：此外，也可从另一个角度对光的空间相干性的范围进行考察。对一定的光源宽度b，通常称光通过S1和S2恰好不发生干涉时所对应的这两点的距离为横向相干宽度。用dt表示，则有： S1 P S O d S   P0 S S2 R 用扩展光源对O点(S1S2连线的中点)的张角 来表示，则：

13. 如果扩展光源是方形的，则其相干面积为： 可以证明，对于圆形光源而言，其照明平面上横向相干宽度为： 相干面积：

14. 例如，直径为1 mm的圆形光源，若 = 0.6 m，在距光源1m的地方，其横向相干宽度约为0.7mm。因此，干涉装置中小孔S1和S2的距离，必须小于0.7mm才能产生干涉条纹。而与此相应的相干面积AC ≈ 0.38mm2。 又如，从地面上看太阳是一个角直径=032=0.018rad的非相干光源，若认为太阳是一个亮度均匀的圆盘面，且只考虑=0.55 m的可见光，则太阳光直射地面时，它在地面上的相干面积是直径约为0.08mm的圆面积。

15. 用相干孔径角 C表征相干范围更直观。给定 b 和  ，凡是在该孔径角以外的两点(如S1和S2)都是不相干的，在孔径角以内的两点(如S1和S2)都具有一定程度的相干性。 S1 S1  S1  C b  S2  S2 S2 R 空间相干性的反比公式：

16. 2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响 ——光的时间相干性 光源的非单色性(复色性)直接影响着条纹的可见度。 在干涉实验中， 范围内的每一种波长的光都生成各自的一组干涉条纹，并且各组条纹除零干涉级外，相互间均有位移。 其相对位移量随干涉光束之间光程差 的增大而增大，所以干涉场总强度分布的条纹可见度随光程差的增大而下降，最后降为零。

17. I 0  V 0 2/  光源非单色性对条纹的影响 (a) 强度曲线；(b) 条纹可见度曲线

18. I I0 k0 k k0k/2 k0+k/2 为讨论光源非单色性对条纹可见度的影响，假设光源 范围内各波长的强度相等，或k宽度内不同波数的光谱分量强度相等。 Δk范围内光谱分量的强度

19. I0表示光强度的光谱分布(谱密度) ，为常数；I0dk是在dk元宽度的光强度。在k宽度内各光谱分量产生的总光强度为 则元波数宽度dk的光谱分量在干涉场产生的强度为： dI = 2I0 dk(1+cosk) 第一项常数表示干涉场平均光强度；第二项随光程差 的大小变化，但变化的幅度越来越小。

20. 条纹可见度 ： V 0 2/  V 随  的变化曲线

21. 对一定的，V 随着 k 变化，k 增大，可见度 V 下降： 当 k = 0、光源为单色光源时，V = 1； 当 0 < k< 2/ 时，0 < V < 1； 当 k = 2 /  时，V = 0 。

22. 说明：上面的讨论假设了在  (或k)内的光谱强度是等强度分布的。实际上，光源并非等强度分布，但根据实际光谱分布求得的可见度曲线与图示的曲线相差不大。故与V = 0相应的最大光程差的数量级，仍可由下式决定。

23. 时， V = 0，完全不相干。 当 能够发生干涉的最大光程差叫相干长度，用C表示。显然，光源的光谱宽度愈宽， 愈大，C愈小。 在实际应用中，除了利用相干长度考察复色性的影响外，还经常采用相干时间  C来度量，定义为

24. 利用关系: 得: 即： C 反映了同一光源在不同时刻发出光的干涉特性，凡是在相干时间 C内不同时刻发出的光，均可以产生干涉，而在大于 C期间发出的光不能干涉。所以，这种光的相干性叫光的时间相干性。

25. 任意一个实际光源所发出的光波都是一段段有限波列的组合，若这些波列的持续时间为 ，则相应的空间长度为 L= c，它们的初相位无关，因而不相干。 由同一波列分出的两个子波列，只要经过不同路径到达某点能够相遇，就会产生干涉。 所以，实际上相干时间 C 就是波列的持续时间τ，相干长度 C 就是波列的空间长度 L。 因此可以说，光源复色性对干涉的影响，实际上反映了时域中不同二时刻光场的相关联程度，因而是光的时间相干性问题。

26. 2.5.3 干涉的定域性 1、点光源产生干涉的非定域性 2、扩展光源产生干涉的定域性

27. 2.5.4 相干性的定量描述 1. 复相干函数和复相干度 如图，考虑扩展的非单色光源照明的杨氏干涉实验，如图。 E1(t) P r1 S1 S r2 S2 A E2(t) E

28. t 时刻P点的总光场为： 相应的光强： 即： 设光场是平稳的，即统计性质与时间无关，取 t = t1，=t1t2 。则

29. 是S1、S2在P点的光强。 是 的实部。称为互相干函数。 故： 干涉项的存在，使P点的总强可以大于、小于或等于I1+I2。

30. 讨论： 当S1、S2重合时，互相干函数变为自相干函数： 当=0时： 归一化的互相干函数称为复相干度：

31. 复相干度一般是的周期函数，描述光场的相干性更方便：复相干度一般是的周期函数，描述光场的相干性更方便： 当 12()=1时，表示光场完全相干； 当 0<12()<1时，表示光场部分相干； 当12()=0时，表示光场完全不相干。 P点的光强可用复相干度表示为： 干涉条纹的可见度可表示为：

32. 作 业 35，36，39