slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria PowerPoint Presentation
Download Presentation
5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 14

5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria - PowerPoint PPT Presentation


  • 104 Views
  • Uploaded on

5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria. vastaan kohtisuorassa. olevan tason yhtälö on a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) + c(z – z 0 ) = 0. E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria' - giulio


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

5.1. Tason yhtälö

Pisteen (x0, y0. z0) kautta kulkevan ja vektoria

vastaan kohtisuorassa

olevan tason yhtälö on

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori

E.2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria

vastaan. Määritä tason yhtälö.

TAPA 2

Tason yhtälö muotoa

4x – 3y + 2z + d = 0

Tason piste (5, -1, -4):

4  5 – 3  (-1) + 2  (-4) + d = 0

d = -15

4x – 3y + 2z + d = 0

4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0

4x – 20 – 3y – 3 + 2z + 8 = 0

4x – 3y + 2x – 15 = 0

slide2

5.2 Suoran asema tasoon nähden

Katso kuva s. 127

E.1.

Osoita, että suora

on tasossa 3x – 2y + z – 8 = 0

Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2t, 1 + t) tason yhtälöön:

3(3 + t) – 2(1 + 2t) + (1 + t) – 8 = 0

9 + 3t – 2 – 4t + 1 + t – 8 = 0

0 = 0

tosi kaikilla parametrin t arvoilla.

Täten suora on tasossa.

slide3

E.2.

Osoita, että suora

on yhdensuuntainen tason 2x – y + z + 1 = 0

kanssa, mutta ei ole tämän tason suora.

Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan.

Suoran suuntavektori:

Tason normaalivektori:

 suora on tason suuntainen

Suoran pisteessä (0, 2, 2) :

2  0 – 2 + 2 + 1 = 1 ≠ 0,

joten suora ei ole tasossa.

slide4

E.3.

Määritä suoran

ja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste.

Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön:

x + y – z – 4 = 0

1 – t + 2 – t + 3 + t – 4 = 0

-t + 2 = 0

t = 2

x = 1 – 2 = -1

y = 2 – 2 = 0

z = 3 + 2 = 5

Leikkauspiste: (-1, 0, 5)

slide5

5.3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131)

E.1.Määritä tasojenyhteiset pisteet.

a) 2x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2z + 2 = 0

Normaalivektorit:

ovat erisuuntaisia, koska

Tasot leikkaavat pitkin suoraa

Merkitään z = t

Tasojen leikkaussuoran yhtälö

3x = 3z - 3

Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin

suuntainen

x = z - 1

y = -2x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1

= -z + 1

slide6

b) x – 2y – z + 2 = 0 ja – 2x + 4y + 2z + 5 = 0

T1: x – 2y – z + 2 = 0

T2: – 2x + 4y + 2z + 3 = 0

Koska

niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset

Piste (0, 1, 0) tasossa T1, mutta ei tasossa T2, sillä

-2x + 4y + 2z + 3 = -2  0 + 4  1 + 2  0 + 5 = 9 ≠ 0.

Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä

pistettä.

slide7

c) –x + 3y + z – 2 = 0 ja 3x – 9y – 3z + 6 = 0

Jaetaan tason 3x – 9y – 3z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan

-x + 3y +z - 2 = 0

Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

slide8

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat

a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot

a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset

Siis on olemassa luku t siten, että

Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön:

2 = -½  (-4)

2 = 2

tosi, siis toteuttaa

Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

slide9

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat

b) toistensa normaalitasot

Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

slide10

Tasojen välinen kulma

= tasojen normaalien välinen kulma

E.4. Laske tasojen 2x – y – 2z + 6 = 0 ja x + 2y – 2z – 8 = 0

välinen kulma

slide12

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

a) 2x – 3y – z – 4 = 0, 3x + 4y + z – 5 = 0 ja 4x + 5y – 2z + 3 = 0

 1

 1

V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste

(2, -1, 3)

 2

 1

5x + y - 9 = 0

10x +13y -7 = 0

x sijoittamalla:

10x + 13  (-1) – 7 = 0

10x = 20

x = 2

z sijoittamalla:

3  2 + 4  (-1) + z – 5 = 0

z = 3

 (-2)

11y + 11 = 0

y = -1

slide13

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

b) x + y + z – 1=0 , -2x + y -2z + 2 = 0 ja 4x + y +4z = 0

 2

 1

 2

 1

3y - 1 = 0

3y + 4 = 0

V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä

slide14

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

c) 2x + y + z – 1 = 0, -2x + y - 2z + 2 = 0 ja 2x - 3y + 3z - 3 = 0

2y - z + 1 = 0

-2y + z – 1 = 0

Tasojen yhteiset pisteet muodostavat suoran

kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta ja on vektorin

Sijoittamalla z = 2y + 1 yhtälöön:

2x + y + (2y + 1) – 1 = 0

2x + 3y = 0

suuntainen