Inéquations du second degré à deux variables

1. Remarque : Tu devrais visionner : - Inéquations du premier degré à deux variables.ppt; - La fonction quadratique : zéros de fonction.ppt; - La fonction quadratique : sommet, axe de symétrie, extrémum, ordonnée à l’origine.ppt; avant de regarder cette présentation. Inéquations du second degré à deux variables

2. Inéquations du second degré à deux variables

3. 2 y ( x – 4 ) Inéquation du second degré à deux variables Une solution d’une inéquation du second degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. L’ensemble des couples qui vérifient une inéquation du second degré à deux variables est appelé l’ensemble-solution. Exemple : Voici un carré et un rectangle dont certaines dimensions sont données par des expressions algébriques. On aimerait connaître pour quelles valeurs de x et de y, l’aire du carré est inférieure à celle du rectangle.

4. 2 y ( x – 4 ) x2 – 8x + 16 < 2y Il existe plusieurs solutions possibles. En déterminant les expressions algébriques représentant les aires de chaque figure : C2 = ( x – 4 )2 = ( x – 4 ) ( x – 4 ) = x2 – 8x + 16 Aire du carré : Aire du rectangle : L X l = y X 2 = 2y et en posant l’inéquation : Aire du carré < aire du rectangle déterminons quelques couples.

5. x2 – 8x + 16 x2 – 8x + 16 < 2y < 2y Pour ( 5 , 1 ) : 52 – 8 X 5 + 16 < 2 X 1 25 – 40 + 16 < 2 41 – 40 < 2 1 < 2 Vrai Pour ( 6 , 3 ) : 62 – 8 X 6 + 16 < 2 X 3 36 – 48 + 16 < 6 52 – 48 < 6 4 < 6 Vrai

6. x2 – 8x + 16 x2 – 8x + 16 < 2y < 2y Pour ( 7 , 5 ) : 72 – 8 X 7 + 16 < 2 X 5 49 – 56 + 16 < 10 65 – 56 < 10 9 < 10 Vrai Il existe encore beaucoup de solutions possibles. Pour ( 9 , 1 ) : 92 – 8 X 9 + 16 < 2 X 1 81 – 72 + 16 < 2 97 – 72 < 2 15 < 2 Faux; à rejeter. Certains couples ne sont donc pas solutions de l’inéquation.

7. x2 – 8x + 16 = 2y 2 1 x2 – 8x + 16 = 2y 2 2 0,5x2 – 4x + 8 = y 0,5x2 – 4x + 8 y = Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 1) Tracer une esquisse de l’équation; 1.1 Ramener l’équation égale à y;

8. 2 1 4ac – b2 - b , 2a 4a 0,5x2 – 4x + 8 y = + b2 – 4ac - b - 4 2a Comme il existe une infinité de solutions possibles, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à deux variables dans un plan cartésien. Démarche : 1) Tracer une esquisse de l’équation; 1.2 Déterminer les coordonnées : - du sommet : ( 4 , 0 ) - des abscisses à l’origine : Pour plus de précision, on pourrait aussi déterminer l’ordonnée à l’origine : 8

9. 2 1 0,5x2 – 4x + 8 0,5x2 – 4x + 8 0,5x2 – 4x + 8 y > y > y > Sommet ( 4 , 0 ) Abscisse à l’origine : 4 Ordonnée à l’origine : 8 1.3 Tracer la courbe frontière. La courbe doit être en pointillée car 2) Déterminer un couple qui vérifie l’inéquation : Pour ( 6 , 4 ) : 4 > 0,5 X 62 – 4 X 6 + 8 4 > 0,5 X 36 – 4 X 6 + 8 4 > 18 – 4 X 6 + 8 4 > 26 - 24 4 > 2 Vrai, donc

10. 2 1 0,5x2 – 4x + 8 0,5x2 – 4x + 8 y > y > Rappel : Lorsque la courbe ne passe pas par l’origine du plan cartésien, on peut utiliser les coordonnées de l’origine pour vérifier l’inéquation. Pour ( 0 , 0 ) : 0 > 0 X 02 – 4 X 0 + 8 0 > 8 Faux, donc Les calculs sont alors plus simples.

11. 2 1 2 y ( x – 4 ) Attention Le problème n’est pas terminé. Il faut respecter le contexte. Il faut enlever les valeurs négatives de x et y car les expressions algébriques ne peuvent être négatives (contexte géométrique). Il faut également enlever les couples dans lesquels les valeurs de x sont comprises entre 0 inclus et 4 inclus car les valeurs du binôme ne peuvent être négatives ou nulle (contexte géométrique). Exemples : ( 0 , 10 ) , ( 1 , 8 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , etc. Donc, x doit être plus grand que 4 ( x > 4 ). L’ensemble-solution doit tenir compte du contexte. Il faut donc bien saisir la donnée du problème.