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数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议. —— 解读数学高考考试大纲. 四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 西昌学院副教授 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 中学高级教师 欢迎访问 业锋教育在线 http://www.lsyf.cn 谌业锋主页 http://jksyf.scxxt.com.cn 电话： 0834 小灵通 3687163 E-mail ： jksyf@163.com. 数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议. 四川省凉山州教育科学研究所 谌业锋
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数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议 ——解读数学高考考试大纲 四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 • ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙西昌学院副教授 • ⊙ 凉山州学术和技术带头人 • ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 中学高级教师 欢迎访问 业锋教育在线 http://www.lsyf.cn 谌业锋主页http://jksyf.scxxt.com.cn 电话：0834小灵通 3687163 E-mail：jksyf@163.com
数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议数学高考的能力要求、命题趋势、试题设计和复习建议 四川省凉山州教育科学研究所 谌业锋 • 一、数学高考的能力要求 • 二、数学高考的命题趋势 • 三、数学高考命题的试题设计 • 四、数学高考复习建议
一、能力要求 • 普通高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、学科基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和学科能力。 • 从学科角度和命题实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面。
1. 思维能力 • 会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。 • 2. 运算能力 • 会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
3. 空间想象能力 • 能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
4. 实践能力 • 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。
5. 创新意识 • 能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考，探索、研究和解决问题。
数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。
对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。 • 对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。
对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。 • 运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主。 • 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合。
实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。 • 命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际。 • 让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识。
（一）思维能力的考查 • 思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。思维能力在数学科中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，是完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域。 • 因此，高考应把思维能力的考查放在重要的位置。高考对思维能力的考查以演绎推理为重点，注意归纳和类比推理；考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力；注意数学语言、普通语言的理解和运用；注意思维品质的考查。
1. 演绎推理 • 数学是一个各部分紧密联系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法。由概念组成命题，由命题组成判断，由判断组成证明。 • 在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此数学是体现逻辑最为彻底的学科。中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考试中着重考查了演绎推理的能力。
演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理。演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理。 • 大学对合格新生的要求一方面是掌握一定的数学知识，但更重要的是具有一定的能力。在大学数学基础课程中，学生普遍感到困难的是线性代数，如向量空间。究其原因，是学生利用原理、定义进行抽象推理的能力没有达到要求。
高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查。试卷中考查演绎推理的试题比例较大，命题时既要考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又要考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考查。
2. 归纳推理 • 归纳推理和演绎推理是两种不同的思考和推理方法。 • 归纳推理是一种由旧事物发现新事物的推理方法，是创造力的一种成分。
虽然数学知识是一个演绎的知识体系，并且演绎推理是数学研究和学习的重要方法，但归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、理解的。 • 归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳两种。包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳。数学归纳法也是一种完全归纳法。高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的。
3. 直觉思维 • 数学思维主要是形式逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，并严格遵循形式逻辑推理的规则。 • 直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作出判断，得出结论。而且这种结论还需要严格的逻辑证明。 • 事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断，而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的。
直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式。 • 在直觉思维过程中，人们以已有的知识为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设，其中含有一个飞跃的过程，往往表现为突然的认识和领悟，直觉思维的特性主要表现在思维对象的整体性、思维产生的突发性、思维过程的非逻辑性、思维结果的创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等。
逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式。 • 逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思想中最活跃、最积极、最具有创造性的成分，逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系，它们的辩证运动构成了完整的数学思维过程。 • 直觉思维为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。
既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维，那么在高考命题中，很自然地要考虑如何对直觉思维进行考查。考生在考试过程中直觉思维活动的结果是可以在卷面上反映出来的，但思维过程则很难反映出来。既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维，那么在高考命题中，很自然地要考虑如何对直觉思维进行考查。考生在考试过程中直觉思维活动的结果是可以在卷面上反映出来的，但思维过程则很难反映出来。 • 因此，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用。我们在设计试题时，往往从多种方法、多个角度来考虑，使试题解答尽量应用多种思考方法，给考生提供较为广阔的思维空间。 • 由于考生在解答时思考的思维方式不同，那么他们解题所花费的时间也必定不同。我们便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平，解答正确而所用时间较少的考生，其思维水平较高。在他们的思维过程中，必定含有直觉思维的因素。
解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢?“猜”算不算数学?这些问题在一部分教师中还存在着不同的认识。他们总认为数学就是严格的推理、严密的证明，“猜”怎么能算数学呢?怎么能进入课堂?解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢?“猜”算不算数学?这些问题在一部分教师中还存在着不同的认识。他们总认为数学就是严格的推理、严密的证明，“猜”怎么能算数学呢?怎么能进入课堂? • 孰不知，“猜”是直觉思维的特性，是发明创造的基础，是人的素质的标志。科学、合理的猜测是数学能力的体现!我们不鼓励胡猜、乱猜、瞎猜，而提倡合乎情理的猜想。正如一些伟大的数学家所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面创造过程中的数学，看起来更像一门试验性的归纳科学。
（二）运算能力的考查 • 运算能力是思维能力和运算技能的结合。它不仅包括数的运算，还包括对式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查。
运算能力主要是数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。 • 运算能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何等学科中都有所体现。在高考中半数以上的题目需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力。 • 高考对运算能力的考查注重算理和符号运算考查，控制运算量，精确计算与合理估算结合。
1. 运算的准确 • 运算的准确是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算。影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误。 • 在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有误，最多只能得一半的分数。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。
2. 运算的熟练 • 运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制每题的运算量，增加题目数量来实现的。 • 增加有效题量，可以增加考核知识点，更重要的是可以增加考核深度，给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的条理和书写上，过难过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法和其他实践能力的考查。
数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题。实际上，计算量的大小主要是由高考的性质决定的。数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题。实际上，计算量的大小主要是由高考的性质决定的。 • 应以50%的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准。这里所谓完成，不含复核时间，而且计算量的估计也应以一般通用解法为准。 • 事实上，数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象。同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次。计算量的大小往往也能反映出不同的能力层次。
3. 运算的合理 • 运算的合理性是运算能力的核心。一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的。如何确定运算目标，怎样将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性的主要标志，是运算能力的体现。 • 随着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机能够完成一切计算，而且高效、快捷、准确。 • 因此，运算能力的考查重点应放在考查算理，运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算，因为这些是要靠人的思维去解决的。
运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。运算过程包含着思维过程，运算离不开思维。 • 运算的合理性表现在运算目标的确定。运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时是完成推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标一般考生还能把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过几步运算才能达到最后结果的，考生一般都感到困难，突出表现是三角函数的恒等变形。
在1991年以前，对三角函数的考查一般以证明恒等式的形式出现，一般考生不能从等式两边的特点分析出化简的方向，证明中表现的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的。在1991年以前，对三角函数的考查一般以证明恒等式的形式出现，一般考生不能从等式两边的特点分析出化简的方向，证明中表现的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的。 • 近年来为加强对运算目的性的考查，将证明恒等式改为求值。一般是给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值，或反之。在求曲线的轨迹方程时，如何消去方程组中的参数，也有确定运算目标的问题。
运算的合理性还表现在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也会越大。运算的合理性还表现在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也会越大。 • 因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。 • 因此，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。
4. 运算的简捷 • 运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。 • 高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度。
其中数形结合的思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用。 • 运算的简捷是对考生思维深刻性、灵活性的考查。
（三）空间想象能力的考查 • 所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力。 • 其主要包括四个方面的要求： • 一是对基本几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系。
二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。 • 三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。 • 四是有熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。
事实上，立体图形画在平面上，必然与实际图形产生差异，容易造成错觉。事实上，立体图形画在平面上，必然与实际图形产生差异，容易造成错觉。 • 然而，空间想象能力就能克服这种错觉，正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构，能准确领会“点线—线线—线面—面面”之间的联系，并能就解题的根据、需要，对这些关系加以转化，多数情况是把给出的条件转化到某个平面上来，利用平面几何的知识来解题，这就是降维思想，即数学转换思想。 • 同时，空间想象能力还有助于对题中给出的图形进行分解—分割，组合—拼补，变形—转换，位移或从不同视角观察图形，从而寻找出解题的最佳方法。
（四）实践能力的考查 • 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题； • 能阅读、理解对问题进行陈述的材料； • 能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型； • 应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。
高考数学重视数学应用问题，有着深刻的现实背景，随着世界性的科学技术的迅猛发展，数字化技术已经深入到现实生活的各个领域，未来信息化社会对人的素质的要求中，数学能力将是极其重要的组成部分，近年来国内外数学教育改革强调数学的“人人有份”和“问题解决”，正是基于社会对数学的需求。高考数学重视数学应用问题，有着深刻的现实背景，随着世界性的科学技术的迅猛发展，数字化技术已经深入到现实生活的各个领域，未来信息化社会对人的素质的要求中，数学能力将是极其重要的组成部分，近年来国内外数学教育改革强调数学的“人人有份”和“问题解决”，正是基于社会对数学的需求。 • 高考作为培养未来社会人才的选拔性考试，理所当然地要面对社会现实。 • 正是这个更深层的原因，现在强调高考中重视数学应用，不能单纯满足于课本应用题的变形和发展，应该让数学应用问题更加贴近现实的生活实际，引导考生置身于现实的社会大环境，关心自己身边的数学问题。
（五）创新意识的考查 • 能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考，探索、研究和解决问题。 • 通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十几年头。这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向,也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革。这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定。
二、命题趋势 • 改革中的数学高考的命题，继承和发扬历次高考改革的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，加大了改革创新的力度，形成了“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的新特色，有利于大学创新人才的选拔和中学素质教育的实施。
（一）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题（一）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题 • 考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一。 • 对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻意追求知识点的百分比，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要的深度。
即重点知识重点考查，如函数关系及性质，空间线、面关系，坐标方法的运用等内容的考查都保持较高的比例，并达到必要的深度。即重点知识重点考查，如函数关系及性质，空间线、面关系，坐标方法的运用等内容的考查都保持较高的比例，并达到必要的深度。 • 如函数内容在选择题、解答题中都做了重点考查，而且都有一定的深度，显示出重点知识在试卷中的突出位置。
对能力考核的强化离不开对基础知识和技能的考查，高中阶段仍属于基础教育。高中教学的目的之一，就是引导学生建构符合他们年龄特征和身心状况的知识结构和知识体系。数学科高考反对死记硬背，但并不排除对所学知识的识记。强调能力考核，并不意味着要削弱对基础知识和基本理论的要求。不能借口能力考核或理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论。对能力考核的强化离不开对基础知识和技能的考查，高中阶段仍属于基础教育。高中教学的目的之一，就是引导学生建构符合他们年龄特征和身心状况的知识结构和知识体系。数学科高考反对死记硬背，但并不排除对所学知识的识记。强调能力考核，并不意味着要削弱对基础知识和基本理论的要求。不能借口能力考核或理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论。
知识的整体性，是切实掌握数学知识的重要标志。高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题，以检验考生能否形成一个有序的网络化的知识体系，并从中提取相关的信息，有效地、灵活地解决问题。 • 《数学科考试大纲》中明确提出，在考查知识的同时，逐步加强能力的考查。要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上。 • 命题中很重视知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点上设计试题。目的是倡导对所学内容能够融会贯通，理论联系实际，防止单纯机械记忆。
强调知识之间的交叉、渗透和综合。 • 目前，在教学中一般比较关注教科书中那些有形的有着具体文字描述的东西，即具体的知识内容（“陈述性知识”），这些具体的知识内容一般都能讲清、讲透、讲活。 • 然而，还应当重视对教科书中那些无形的没有文字描述的东西，即知识之间的内在联系和思维过程，即所谓“程序性知识”的教授。
我们知道，现实生活中的诸多问题，并非是由单一因素构成的，其变化发展的过程以及所产生的影响，往往涉及很多方面。我们知道，现实生活中的诸多问题，并非是由单一因素构成的，其变化发展的过程以及所产生的影响，往往涉及很多方面。 • 显然，分析问题和解决问题的角度、条件、办法，等等，就需要做多种考虑。强调知识之间的交叉、渗透和综合，正是这一现象在数学命题中的客观要求。事实上，阐述那些无形的东西比阐述那些有形的东西更重要，也更能体现教师对学生的作用和价值。
