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一、第二型曲线积分的定义

一、第二型曲线积分的定义. §2 第二型曲线积分. 变力沿曲线作功. 设一质点受如下变力作用. 沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ， 求力 F ( x, y ) 所. 作的功. 常力沿直线作功：. 力 · 位移. 1. 分割 :. 插入分点. 2. 近似代替. 其中. 分别是曲线段. 在 x 轴与 y 轴上的投影. （此投影不一定是非负的）. 于是. 3. 求和. 4. 取极限. 其中. 是第 i 个小弧段的弧长. 定义 1. 设函数 P ( x , y ) 与 Q ( x,y ) 定义在.

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一、第二型曲线积分的定义

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Presentation Transcript

  1. 一、第二型曲线积分的定义 §2 第二型曲线积分 变力沿曲线作功. 设一质点受如下变力作用 沿曲线L从点A移动到点B，求力F ( x, y )所 作的功 常力沿直线作功： 力 · 位移

  2. 1. 分割: 插入分点 2. 近似代替 其中 分别是曲线段 在x轴与y 轴上的投影 （此投影不一定是非负的） 于是

  3. 3. 求和 4. 取极限 其中 是第i 个小弧段的弧长.

  4. 定义1 设函数P (x,y)与Q(x,y) 定义在 平面有向可求长度曲线L: 对L的任一分割T 它把L分成n个小曲线段： 其中M0 = A， Mn = B . 记各小曲线段 的弧长为 分割T的细度 分点Mi的坐标为( xi , yi), 并记 在每个小曲线段 上任取一点 若极限

  5. 存在，则称此极限为函数P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线L 的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为 或 也记为 或 简记为

  6. 若L为封闭曲线，则记为 若记 则记 沿有向曲线 L 于是，力 对质点所作的功为

  7. 类似地, 沿空间有向可求长度曲线L的第二型曲线积分记为 其中

  8. 第二型曲线积分与曲线L的方向有关，对同一曲线，第二型曲线积分与曲线L的方向有关，对同一曲线， 当方向由A到B改为由B到A时，每一小曲线段的 方向都改变，从而小曲线段的投影 也随之 改变符号，故有 而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线L的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别.

  9. 第二型曲线积分的性质 1. 若第二型曲线积分 存在，则 其中 为常数.

  10. 2. 若L可分成k 条有向光滑曲线弧 则 说明 • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.

  11. 二、第二型曲线积分的计算 在有向光滑曲线 上连续, t =α对应曲线L的起点t =β对应于曲线L的 终点，则

  12. 对空间有向光滑曲线L: 参数t =α对应曲线L的起点t =β对应于曲线L的 终点，则

  13. 例1计算 其中L分别 沿如图所示路线 ⑴ 直线AB 解 直线AB 的参数方程为 所以

  14. 例1 计算 其中L为 ⑵ ACB (抛物线：y = 2( x – 1)2 + 1 ) 解 抛物线ACB 的方程为 y = 2( x – 1)2 + 1 所以

  15. 例1 计算 其中L为 ⑶ ADBA (三角形周界) 解 直线 AD 的参数方程为 所以 直线DB 的参数方程为 所以

  16. 沿直线BA 的线积分： 所以

  17. 例2计算 这里L： ⑴ 沿抛物线y = 2x2 , 从 O 到 B ⑵ 沿直线段OB: y = 2x ; ⑶ 沿封闭曲线OABO 解 ⑴ ⑵ ⑶

  18. 例3计算第二型曲线积分 L是螺旋线：x = a cos t , y = a sin t , z = b t 从t = 0 到t =π上的一段.

  19. 例4 设在力场 作用下, 质点由 沿L移动到 其中L为 试求力场对质点所作的功. 解(1) (2) L的参数方程为

  20. 练习 其中 从z轴正向看为顺时针方向. 解 取 的参数方程

  21. 三、两类曲线积分的联系 设L为从A到B的有向光滑曲线， 以弧长s为参数， 的参数方程为 其中l为曲线L的长度. 设曲线L上每一点的切线方向 指向弧长增加的一方. 则L切向量的方向余弦为

  22. 于是两类曲线积分有如下联系 即 其中 是曲线L 切向量的方向余弦.

  23. 在三维空间上，有 其中 是曲线L 切向量的方向余弦.

  24. 内容小结 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成k条有向光滑曲线弧 (2) L－表示L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!

  25. 3. 计算 • 对有向光滑弧 •对有向光滑弧

  26. • 对空间有向光滑弧: 4. 两类曲线积分的联系

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