1 / 45

Combinatorics

Combinatorics. 1. Combinatorics. เป็นการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการเรียงของ หรือเลือกของหลายสิ่ง ตัวอย่าง เช่น ในการประกวดเรียงความมีผู้เข้าร่วม 100 คน, ผู้ชนะ 10 อันดับแรก จะมีได้กี่แบบ? ถ้ากำหนดรหัสผ่านความยาว 6-8 ตัวประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษและ/หรือ ตัวเลข

ginata
Download Presentation

Combinatorics

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Combinatorics Computer Science Department,BUU 1

  2. Combinatorics • เป็นการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการเรียงของ หรือเลือกของหลายสิ่ง • ตัวอย่าง เช่น ในการประกวดเรียงความมีผู้เข้าร่วม 100 คน, • ผู้ชนะ 10 อันดับแรก จะมีได้กี่แบบ? • ถ้ากำหนดรหัสผ่านความยาว 6-8 ตัวประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษและ/หรือ ตัวเลข • จะมีรหัสผ่านที่แตกต่างกันได้กี่แบบ? Computer Science Department,BUU 2

  3. Sum and Product Rules • กฎการบวก(Sum Rule): งานอย่างที่ 1 มีวิธีทำได้ n1 วิธี งานอย่างที่ 2 มีวิธีทำได้ n2 วิธี … งานอย่างที่ k มีวิธีทำได้ nkวิธี ถ้าต้องการเลือกทำงานอย่างใดอย่างหนึ่งเพียง 1 งานเท่านั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานชิ้นนั้นเท่ากับ n1 + n2 + … + nkวิธี • กฎการคูณ(Product Rule):ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n1 วิธี ใน 1 วิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 2 ได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่ 3 ได้ n3 วิธี … จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่างเท่ากับ n1 n2 n3 …  nkวิธี Computer Science Department,BUU 3

  4. Example Sum Ruleตัวอย่าง เช่น: • ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์จะแจกคอมพิวเตอร์ 1 เครื่องฟรีแก่นิสิตหรืออาจารย์ • ภาควิชามีวิธีแจกทั้งหมดได้กี่แบบ, ถ้ามีนิสิต 530 คน และ อาจารย์ 15 คน? วิธีทำ: จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 530 + 15 = 545 วิธี Product Ruleตัวอย่าง เช่น: • เลขทะเบียนรถที่มีแต่ตัวอักษรภาษาอังกฤษสามตัว มีทั้งหมดกี่เลขทะเบียน? วิธีทำ: ตัวอักษรตำแหน่งแรกเป็นได้ 26 แบบ ตัวอักษรตำแหน่งที่สองเป็นได้ 26 แบบ และตัวอักษรตำแหน่งที่สามเป็นได้ 26 แบบ • ดังนั้น มีเลขทะเบียนที่แตกต่างกันได้ทั้งหมด 262626 = 17,576 เลขทะเบียน Computer Science Department,BUU 4

  5. Product Rule Example • กำหนดตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ต้องการสร้างชุดตัวเลขจากตัวเลขที่กำหนด 3 ตัว โดยชุดตัวเลขที่สร้างจะต้องไม่ขึ้นต้นด้วยเลข 1 และตัวเลขที่ปรากฏในแต่ละชุดจะต้องไม่ซ้ำกัน จงหาจำนวนเลขชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด • วิธีที่จะเลือกตัวเลขสำหรับตำแหน่งแรก(ซ้ายสุด)คือ 5 ตัว (เลข 0,2,3,4,5) • วิธีที่จะเลือกตัวเลขสำหรับตำแหน่งที่สองคือ 5 ตัว เนื่องจากเราใช้ตัวเลขไปแล้ว 1 ตัว • วิธีที่จะเลือกตัวเลขสำหรับตำแหน่งที่สามคือ 4 ตัว • ดังนั้นจำนวนเลขชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ 554 = 100 Computer Science Department,BUU

  6. Set Theoretic Version ถ้าAเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 1, และBเป็นเซตของวิธีที่จะทำงาน 2 และถ้าAและBไม่มีสมาชิกร่วม(disjoint) ดังนั้น: วิธีที่จะทำงาน 1 หรืองาน 2 คือAB, และ|AB|=|A|+|B| (จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกใดๆจากเซตใดเซตหนึ่ง) วิธีที่จะทำงาน 1 และ 2 แทนด้วยAB, และ|AB|=|A|·|B| (จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกหนึ่งๆจากทั้งสองเซต) Computer Science Department,BUU 6

  7. ตัวอย่าง ถ้าเราสามารถเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B ได้ทั้งทางบกและทางอากาศ โดยทางบกมี 2 เส้นทาง ทางอากาศมีเส้นทางเดียว จงหาจำนวนเส้นทางทั้งหมดในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง B จำนวนเส้นทางในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง B เท่ากับ 2+1=3 จากตัวอย่างข้างบน หากต้องการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ซึ่งจะต้องผ่านเมือง B ถ้าทราบว่ามี 4 เส้นทางจากเมือง B ไปเมือง C จงหาจำนวนเส้นทางทั้งหมดในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C จำนวนเส้นทางในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C เท่ากับ 3∙4=12 Computer Science Department,BUU 7

  8. IP Address Example Internet Protocol, version 4: แบ่งที่อยู่ IP ออกเป็น 3 classes: class Aมี 7-bit“netid” ≠ 17,และ 24-bit “hostid” class Bมี 14-bit netid และ 16-bit hostid class Cมี 21-bit netid และ 8-bit hostid ทั้ง 3 classesมีส่วนหัว(headers) ที่แตกต่างกัน ได้แก่(0, 10, 110) Hostids ที่เป็น 0 ทุกตำแหน่ง และ 1 ทุกตำแหน่งไม่สามารถนำไปใช้ได้ จะมีหมายเลข IP addresses ที่สามารถใช้ได้กี่หมายเลข? เช่น 128.227.74.58 Computer Science Department,BUU 8

  9. IP address solution (# addrs) = (# class A) + (# class B) + (# class C) (จากกฎการบวก) # class A = (# valid netids)·(# valid hostids) (จากกฎการคูณ) (# valid class A netids) = 27 − 1 = 127 (# valid class A hostids) = 224 − 2 = 16,777,214 ดังนั้นจำนวนหมายเลขไอพีของ class A ทั้งหมดเท่ากับ: 127∙ 16,777,214 = 2,130,706,178 Computer Science Department,BUU 9

  10. IP address solution (# valid class B netids) = 214 = 16,384 (# valid class B hostids) = 216 − 2 = 65,534 ดังนั้นจำนวนหมายเลขไอพีของ class B ทั้งหมดเท่ากับ: 16,384 ∙ 65,534 = 1,073,709,056 (# valid class C netids) = 221 = 2,097,152 (# valid class C hostids) = 28 − 2 = 254 ดังนั้นจำนวนหมายเลขไอพีของ class C ทั้งหมดเท่ากับ: 2,097,152 ∙ 254 = 532,676,608 ดังนั้นจำนวนหมายเลขไอพีทั้งหมดเท่ากับ #class A+ #class B+ #class C :2,130,706,178 + 1,073,709,056 + 532,676,608 = 3,737,091,842(ประมาณ 3.7 พันล้านหมายเลข) Computer Science Department,BUU 10

  11. Inclusion-Exclusion Principle • สมมติว่ามีจำนวนวิธีที่จะทำงานที่ 1 พร้อมๆกับการทำงานที่ 2 อยู่kmวิธี • ดังนั้นจำนวนวิธีที่จะทำงานที่ 1 หรืองานที่ 2 เท่ากับ mnk • จากทฤษฎีเซต: ถ้าเซตAและเซตBมีสมาชิกร่วมกัน ดังนั้น |AB|=|A||B||AB| • ถ้าเซตAและเซตBไม่มีสมาชิกร่วมกัน, |AB|=|A|+|B| Computer Science Department,BUU 11

  12. Inclusion-Exclusion Example • จงหาจำนวนบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่ง ที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 หรือลงท้ายด้วยเลข 00 ว่ามีกี่ตัว? • Task 1:สร้างบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่งและเริ่มต้นด้วยเลข 1 มีหนึ่งวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก คือหยิบได้เฉพาะเลข 1 (1), มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สอง (0 หรือ 1), มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สาม (0 หรือ 1), . . . มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่แปด (0 หรือ 1) • Product rule:Task 1 สามารถสร้างบิตสตริงได้ 127 = 128 วิธี Computer Science Department,BUU 12

  13. Inclusion-Exclusion • Task 2:สร้างบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่งและลงท้ายด้วย 00 มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก(0 หรือ 1), มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สอง(0 หรือ 1), . . . มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่หก(0 หรือ 1), มีหนึ่งวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่เจ็ด(0), และ มีหนึ่งวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่แปด(0) • Product rule:Task 2 สามารถสร้างบิตสตริงได้ 26 = 64 วิธี • เนื่องจากมี 128 วิธีในการทำงาน 1 และ 64 วิธีในการทำงาน 2 แสดงว่ามี 192 bit strings ที่เริ่มต้นด้วย 1 หรือจบด้วย 00 ใช่หรือไม่ ? • ไม่ใช่, เพราะในตัวอย่างนี้งาน 1 และงาน 2 สามารถทำได้พร้อมกัน (มีบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วย 1 บางตัว อาจลงท้ายด้วย 00) Computer Science Department,BUU 13

  14. Inclusion-Exclusion • ดังนั้นในตัวอย่างนี้จะใช้กฎการบวกเพียงอย่างเดียวไม่ได้ แต่จะต้องลบออกด้วยจำนวนวิธีที่งาน 1 และงาน 2 สามารถทำพร้อมกันได้ • โดยจำนวนบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 และลงท้ายด้วย 00 หาได้จาก • มีหนึ่งวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งแรก (1), • มีสองวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่สอง, …, ตำแหน่งที่หก (0 หรือ 1), • มีหนึ่งวิธีที่จะกำหนดให้ตำแหน่งที่เจ็ด, แปด(0) • Product rule:มี 25 = 32 วิธีที่จะสร้างบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วย 1 และลงท้ายด้วย 00 • ดังนั้น มี 128 วิธีที่จะสร้างบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 และมี 64 วิธีที่จะสร้างบิตสตริงที่ลงท้ายด้วยเลข 00, และมี 32 วิธีที่จะสร้างบิตสตริงที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 และลงท้ายด้วยเลข 00 จึงสรุปได้ว่าจำนวนบิตสตริงที่ยาว 8 ตำแหน่ง ที่เริ่มต้นด้วยเลข 1 หรือ ลงท้ายด้วยเลข 00 เท่ากับ 128 + 64 – 32 = 160 บิตสตริง Computer Science Department,BUU 14

  15. Another Inclusion/Exclusion Example • จงหาจำนวนรหัสผ่าน โดยมีข้อกำหนดดังนี้: • รหัสผ่านต้องยาว 2 ตำแหน่ง • แต่ละตำแหน่งต้องเป็นตัวอักษร a-z, ตัวเลข 0-9, หรือเป็นสัญลักษณ์ใดๆ ใน 10 ตัวต่อไปนี้ !@#$%^&*() • แต่ละรหัสผ่านต้องมีตัวเลขหรือตัวสัญลักษณ์ อย่างน้อย 1 ตัว Computer Science Department,BUU 15

  16. Setup of Problem • รหัสผ่านที่ถูกต้องจะต้องมี ตัวเลขหรือตัวสัญลักษณ์ ตัวหนึ่งในตำแหน่งที่ 1 หรือตำแหน่งที่ 2 • (# รหัสผ่านที่มีตัวเลขหรือสัญลักษณ์ในตำแหน่งที่ 1) = (10+10)·(10+10+26) = 20·46 • (# รหัสผ่านที่มีตัวเลขหรือสัญลักษณ์ในตำแหน่งที่ 2): = (10+10)·(10+10+26) = 20·46 • (# รหัสผ่านที่มีตัวเลขหรือสัญลักษณ์ในตำแหน่งที่ 1 และ 2): = 20·20= 400 • ตอบ: จำนวนรหัสผ่านทั้งหมดเท่ากับ920+920−400 = 1,440 Computer Science Department,BUU 16

  17. 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 Tree Diagrams • มีบิตสตริงกี่บิตสตริงที่ยาว 4 และไม่มีเลข 1 อยู่ติดกัน? Task 1 Task 2 Task 3 Task 4 (1st bit) (2nd bit) (3rd bit) (4th bit) มี 8 สตริง Computer Science Department,BUU 17

  18. หลักรังนกพิราบ(Pigeonhole Principle) • หรือรู้จักกันดีในชื่อ “Dirichlet drawer principle” • ถ้า มีวัตถุ≥k+1 ชิ้น นำไปเก็บในกล่องkกล่อง ดังนั้น จะต้องมีกล่องอย่างน้อยหนึ่งกล่องที่มีวัตถุเก็บอยู่≥2 ชิ้น • หากเขียนในรูปของฟังก์ชั่น: • ถ้า f:A→Bและ |A|≥|B|+1, ดังนั้นสมาชิกบางตัวของBมี pre-images ≥2 ภายใต้ฟังก์ชั่นf หรือกล่าวได้ว่า ฟังก์ชั่นfไม่เป็นฟังก์ชั่น 1-1 • Example :ถ้ามีผู้เล่นซ็อคเกอร์ 11 คนในทีมที่ชนะทีมคู่ต่อสู้ด้วยแต้ม 12-0, ดังนั้น จะต้องมีผู้เล่นอย่างน้อยหนึ่งคนที่ทำแต้มได้อย่างน้อยสองแต้ม • Example :ถ้านิสิตมีวิชาเรียน 6 วิชา ตั้งแต่วันจันทร์ถึงวันศุกร์ ดังนั้น จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งวันที่นิสิตมีเรียนอย่างน้อยสองวิชา Computer Science Department,BUU 18

  19. Example of Pigeonhole Principle • วิชาแคลคูลัสมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังนั้นมี ค่าคะแนนที่เป็นไปได้ทั้งหมด 101 ค่า(0-100) • หากมีนิสิตที่ลงเรียนวิชาแคลคูลัส >101 คน • ดังนั้น จะต้องมี อย่างน้อย ค่าคะแนนหนึ่ง ที่จะมีนิสิตอย่างน้อย 2 คนที่ได้ค่าคะแนนเท่ากัน เช่น อาจมีนิสิตอย่างน้อย 2 คนที่ได้คะแนน 80 เท่ากัน Computer Science Department,BUU 19

  20. หลักรังนกพิราบทั่วไป(Generalized Pigeonhole Principle) • ถ้ามีวัตถุNชิ้นถูกกำหนดให้นำไปเก็บในที่เก็บkตำแหน่ง ดังนั้นจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตำแหน่งที่มีวัตถุเก็บอยู่อย่างน้อยN/kชิ้น • ตัวอย่าง เช่น N=280 แทนจำนวนนิสิตในห้องเรียนหนึ่งปีมีจำนวนสัปดาห์ k=52 สัปดาห์ • ดังนั้น ต้องมีนิสิตในห้องอย่างน้อย 280/52= 5.38=6 คน ที่เกิดในสัปดาห์เดียวกัน Computer Science Department,BUU 20

  21. G.P.P. Example • กำหนดให้: มีนิสิต 280 คนในห้องเรียน • โดยที่เราไม่ทราบวันเกิดของนิสิตแต่ละคน อยากทราบว่าจะมี นิสิตอย่างน้อยกี่คนที่เกิดเดือนเดียวกัน? • ตอบ: • ตัวอย่าง เช่น:ห้องเรียนที่มีนักเรียน 60 คนเรียนวิชาภาษาไทยเมื่อประกาศผลการเรียน สมมติว่ามี 5 เกรด คือ A, B, C, D, หรือ F จะมีนักเรียนอย่างน้อย 12 คนที่ได้เกรดเดียวกัน 280/12 = 23.3 = 24 Computer Science Department,BUU 21

  22. G.P.P. Example ตัวอย่าง:สมมติว่ามีลิ้นชักซึ่งเก็บถุงเท้าสีน้ำตาล 12 คู่ และถุงเท้าสีดำ 12 คู่คละกันอยู่ อยากทราบว่าถ้าเราหลับตาหยิบถุงเท้าจากลิ้นชัก จะต้องหยิบกี่ครั้ง(ครั้งละ 1 ข้าง)จึงจะได้ถุงเท้าสองข้างที่เป็นสีเดียวกัน(สีดำ หรือน้ำตาลเหมือนกัน)? มีถุงเท้า 2 สี ดังนั้นถ้าหยิบถุงเท้าอย่างน้อย 3 ครั้ง จะต้องมีอย่างน้อยสองข้างที่เป็นสีน้ำตาลเหมือนกัน หรือสีดำเหมือนกัน จาก หลักรังนกพิราบทั่วไป : 3/2 = 2 Computer Science Department,BUU 22

  23. การจัดลำดับ (Permutation) คือ การจัดลำดับหรือเรียงลำดับของบางสิ่งหรือทุกสิ่งจากจำนวนสิ่งของทั้งหมด โดยคำนึงถึงลำดับที่ ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดลำดับของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นำมาจัดทีละ n สิ่ง คือ n! โดย n! = n  (n - 1)  (n - 2) … 3  2  1 ตัวอย่าง มีตัวอักษร 3 ตัว a, b, c จัดคราวละ 3 ตัว จงหาว่าจะมีวิธีจัดลำดับอักษรเหล่านี้ได้กี่วิธี 3! = 3  2  1=6 วิธี Computer Science Department,BUU

  24. Permutation ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดลำดับของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง เมื่อ r < n แทนด้วยสัญลักษณ์ nPr หรือ P(n , r) P(n, r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)! (nทางเลือกสำหรับสมาชิกตัวแรก, (n – 1)สำหรับสมาชิกตัวที่สอง, (n – 2)สำหรับสมาชิกตัวที่สาม…) ตัวอย่าง เช่น: • P(8, 3) = 876 = 336 = (87654321)/(54321) จากสูตร ถ้าจัดลำดับของ n สิ่ง โดยนำมาจัดทั้งหมด n สิ่ง จะได้ P(n , n) = n!/(n-n)! = n! *** 0! = 1 Computer Science Department,BUU

  25. Permutation Example ผู้ก่อการร้ายคนหนึ่งวางระเบิดนิวเคลียร์ไว้กลางเมือง และนิสิตได้รับมอบหมายได้ตัดสายไฟเพื่อตัดวงจรการทำงานของระเบิดนี้ โดยมีสายไฟทั้งหมด 10 เส้น นิสิตจะต้องตัดสายไฟ 3 เส้น ถ้านิสิตตัดสายไฟได้ถูกต้องตามลำดับทั้ง 3 เส้น ระเบิดจะหยุดทำงาน หากตัดผิดเส้นหรือผิดลำดับ ระเบิดจะทำงานทันที ถ้าสายไฟทุกเส้นมีสีเดียวกันหมด นิสิตมีโอกาสที่จะรอดตายเท่าไร? P(10,3) = 10·9·8 = 720, ดังนั้นมีโอกาส 1 ใน 720 ที่จะรอดชีวิต! Computer Science Department,BUU 25

  26. Exercises ตัวอย่าง ถ้ามีคำว่า BYTES จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคำนี้ โดยกำหนดว่าต้องขึ้นต้นด้วย B ตัวอย่าง มีข้อสอบอยู่ 10 ข้อ ต้องการแจกให้นิสิต 8 คน เพื่อทำคนละ1 ข้อ จะมีวิธีแจกอย่างไร เพื่อให้ • นิสิตแต่ละคนได้ข้อสอบไม่ซ้ำกัน • นิสิตแต่ละคนทำข้อสอบข้อเดียวกันได้ Computer Science Department,BUU

  27. Permutation ทฤษฎีบท จำนวนวิธีในการจัดลำดับของ r สิ่ง จากทั้งหมด n สิ่งโดยอนุญาตให้ของซ้ำกันได้ คือ n r ทฤษฎีบท จำนวนวิธีจัดของn สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเป็นวงกลม คือ (n - 1)! ตัวอย่าง ก) จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และชาย 4 คน ให้นั่งรอบโต๊ะกลม ข) จากข้อ ก) มีกี่วิธีที่ชายและหญิงจะนั่งสลับที่กัน Computer Science Department,BUU

  28. การจัดลำดับสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมด ในการจัดลำดับตัวอักษร 3 ตัว x , y , z โดยจัดทีละ 3 ตัวจะได้จำนวนวิธี = 3! = 6 วิธี ผลที่ได้ คือ x y z y x z z x y x z y y z x z y x ถ้าในกลุ่มสิ่งของเหล่านี้ มีบางสิ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมด เช่น ให้ y และ z เหมือนกัน และแทนด้วย w จะพบว่าการจัด 6 แบบที่แตกต่างข้างต้น จะเหลือเพียง 3 แบบ คือ เหตุที่เหลือ 3 แบบ เป็นเพราะว่า การสลับที่ของสิ่งของซึ่งซ้ำกัน ไม่มีผลทำให้ เกิดวิธีใหม่ ดังนั้น ในการหาวิธีจัดลำดับของโดยของไม่ต่างกันทั้งหมดสามารถทำได้ โดยคิดจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดกรณีของไม่ซ้ำแล้วหารด้วยจำนวนวิธีในการสลับสิ่งของ ซ้ำ ซึ่งมันไม่เป็นผลทำให้เกิดวิธีใหม่ขึ้นมา ดังนั้น 3 วิธีที่ได้ คิดจาก 3!/2! = 3 w x w w x w x w w x w w w w x w w x Computer Science Department,BUU

  29. การจัดลำดับสิ่งของ n สิ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทั้งหมด • ทฤษฎีบท การจัดลำดับของ n สิ่ง ซึ่งมี n1 สิ่งที่เหมือนกัน, n2สิ่งที่เหมือนกัน, …. ,nkสิ่งที่เหมือนกัน จะได้จำนวนวิธีจัดเท่ากับn!/n1!n2!n3!...nk! ตัวอย่าง จากคำว่า INTELLIGENCE • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้เริ่มต้นด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G • สามารถจัดคำๆนี้ได้เป็นคำต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้มี INT อยู่ติดกันตามลำดับ และ IG อยู่ติดกันตามลำดับ Computer Science Department,BUU

  30. การจัดหมู่(Combinations) การจัดหมู่ของ ทีละ r สิ่ง(r-combination)ของสมาชิกของเซต คือการเลือกสมาชิก r ตัวแบบไม่คำนึงถึงลำดับจากเซตนั้น ดังนั้น การจัดหมู่ของ r สิ่ง เป็นเซตย่อยที่มีสมาชิก r ตัวของเซตนั้น ตัวอย่าง เช่น:กำหนดให้ S = {1, 2, 3, 4} ดังนั้น {1, 3, 4} เป็นการจัดหมู่ของ 3 สิ่งจากเซต S จำนวนวิธีการจัดหมู่ของ r สิ่งของเซตที่มีสมาชิกต่างกัน n ตัว แทนด้วยสัญลักษณ์ C(n, r) เช่น : C(4, 2) = 6 เพราะ การจัดหมู่ของ 2 สิ่งของเซต {1, 2, 3, 4} คือ {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} Computer Science Department,BUU 30

  31. Combinations การหาสูตรสำหรับคำนวณหา C(n, r)? พิจารณาจากการเรียงสับเปลี่ยนของทีละ r สิ่ง(r-permutation) ของเซตใดๆ ทำได้ดังนี้: ขั้นแรก,สร้างการจัดหมู่ทีละ rสิ่ง(r-combinations)ของเซตนั้นๆ(ซึ่งการจัดหมู่ของ rสิ่งจากทั้ง n สิ่ง ทำได้เท่ากับC(n, r)) ขั้นที่สอง,เรียงสับเปลี่ยนของ r สิ่งที่ได้จากขั้นแรก(ซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนของ rสิ่งจากทั้งหมดr สิ่ง เท่ากับP(r, r)) ดังนั้น จะได้ว่า: P(n, r) = C(n, r) P(r, r)= C(n, r) r! Computer Science Department,BUU 31

  32. Combinations การจัดหมู่r-combination ของสมาชิกเซตSคือเซตย่อยTSที่มีสมาชิกrจะเห็นว่า|T|=r จำนวนการจัดหมู่ของทีละ r สิ่งจากเซตใดๆที่มีจำนวนสมาชิก n=|S|คือ ให้n และrเป็นเลขจำนวนนับซึ่ง r  n ดังนั้น สังเกตว่า “การเลือกคน r คน จากทั้งหมด n คน”นั้นเหมือนกับ“การแบ่งกลุ่มคน n คน ออกเป็นกลุ่มคน r คน กับกลุ่มคน (n – r) คน” Computer Science Department,BUU 32

  33. Combinations ตัวอย่าง เช่น: มีกี่วิธีที่จะเลือกคน 3 คนจากกลุ่มคน 6 คน? ตอบC(6, 3) = 6!/(3!3!) = 720/(66) = 720/36 = 20 วิธี หรือ 20 กลุ่มคนที่แตกต่างกัน ตัวอย่าง เช่น: จงหาจำนวนเลขฐานสองที่มี 5 หลักและประกอบด้วยเลข 0 จำนวน 2 ตัว และเลข 1 จำนวน 3 ตัว ตอบเลือก 2 ตำแหน่งจาก 5 ตำแหน่งสำหรับเลข 0ได้ C(5,2) วิธี และหลังจากนั้นเลือกตำแหน่งสำหรับเลข 1 ได้ C(3,3) วิธี ดังนั้นมีเลขฐานสองที่ต้องการอยู่ C(5,2)  C(3,3) = 101= 10 จำนวน Computer Science Department,BUU 33

  34. Combinations Example: ชมรมซ็อคเกอร์มีสมาชิกผู้หญิง 8 คน และผู้ชาย 7 คนการแข่งขันวันนี้โค้ชต้องการให้สมาชิกผู้หญิง 6 คนและผู้ชาย 5 คนลงเล่นในสนามอยากทราบว่าโค้ชสามารถจัดทีมลงแข่งได้กี่แบบ? C(8, 6)  C(7, 5) = 8!/(6!2!)  7!/(5!2!) = 2821 = 588 Computer Science Department,BUU 34

  35. Combination Example การเลือกไพ่ 7 ใบ จากสำรับไพ่ที่มีทั้งหมด 52 ใบ จะมีผลลัพธ์ได้กี่แบบ(เมื่อไม่สนใจลำดับของไพ่ที่หยิบได้) ตอบ C(52,7) = P(52,7)/P(7,7)= 52·51·50·49·48·47·46 / 7·6·5·4·3·2·1 7 8 10 17 2 52·17·10·7·47·46 = 133,784,560 Computer Science Department,BUU 35

  36. Combination Example จากเซต {a, b} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้เกิดตัวอักษร 3 ตัว โดยให้ตัวอักษร ซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ a a a b b b a a b b b a ซึ่งเป็นได้ 4 แบบ โดยไม่ได้คำนึงถึงลำดับที่ (เหมือนการหยิบของแล้วใส่คืนลงไป ดังนั้นตอนเลือกอันต่อไปนี้ขึ้นมาอีกครั้ง จึงอาจซ้ำได้) Computer Science Department,BUU

  37. Combination Example จากตัวอย่างของเซต {a, b} มีของอยู่ 2 ประเภท (2 กลุ่ม) คือ a และ b ต้องการจัดกลุ่ม ให้ได้ของ 3 สิ่งจากสิ่งของ 2 ประเภทนี้ โดยอนุญาตให้เกิดการซ้ำได้ ให้ | คั่นระหว่างประเภทของสิ่งของ และ X แทนจำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่ จะได้ว่า ผลที่อาจเป็นไปได้ คือ XX | X X | XX | XXX XXX | หาจำนวนวิธีได้ = C(r + n–1 , r) ; n แทนจำนวนประเภทของสิ่งของ = C(3 + 2–1 , 3) ; r แทนจำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่ = C(4,3) = 4!/3!(4-3)!=4 Computer Science Department,BUU

  38. Combination Example จากเซต {1, 2, 3} จงหาจำนวนวิธีจัดหมู่ให้ได้ตัวอักษร 2 ตัว โดยให้ ตัวอักษรซ้ำได้ ถ้าใช้การนับธรรมดา ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คือ 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 3 Computer Science Department,BUU

  39. Combination Example จากตัวอย่างของเซต {1, 2, 3} มีของอยู่ 3 ประเภท (3 กลุ่ม) คือ 1, 2 และ 3 ต้องการจัดหมู่ให้ได้ของ 2 สิ่ง จากสิ่งของ 3 ประเภทนี้ โดยอนุญาตให้เกิดการซ้ำได้ ผลที่อาจเป็นไปได้ คือ x | x | | | x x หาจำนวนวิธีได้ = C(r + n–1 , r) ; n แทนจำนวนประเภทของสิ่งของ = C(2 + 3–1 , 2) ; r แทนจำนวนสิ่งของที่ต้องการจัดหมู่ = C(4,2) = 4!/2!(4-2)! = 6 Computer Science Department,BUU

  40. Combination • ทฤษฎีบท การจัดหมู่ของสิ่งของ r สิ่ง โดยเลือกจากสิ่งของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็น n กลุ่ม (หรือ n ประเภท) โดยให้ของซ้ำได้ ทำได้ C(r + n – 1, r)วิธี • ตัวอย่าง ในห้องสมุดแห่งหนึ่ง มีหนังสือที่นาย ก สนใจอยู่ 3 ประเภท คือ คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และ ประวัติศาสตร์ สมมติว่าห้องสมุดมีหนังสืออยู่อย่างน้อย 6 เล่ม สำหรับหนังสือแต่ละประเภท นาย ก จะสามารถเลือกหนังสือออกมา 6 เล่มได้อย่างไร Computer Science Department,BUU

  41. Pascal’s Triangle ให้ n และ r เป็นจำนวนเต็มบวกที่ n  r ดังนั้น C(n + 1, r) = C(n, r – 1) + C(n, r) เลขแต่ละตัวเกิดจากการบวกเลข 2 ตัวที่อยู่เหนือขึ้นไปหนึ่งระดับและเยื้องไปด้านซ้ายและด้านขวาของเลขนั้นๆ ดังรูป: 1 แถวที่0 1 1 แถวที่1 1 2 1 แถวที่2 1 3 3 1 แถวที่3 แถวที่4 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 แถวที่5 … … … … … … … Computer Science Department,BUU 41

  42. Pascal’s Triangle เนื่องจาก C(n + 1, r) = C(n, r – 1) + C(n, r) และC(0, 0) = 1, จึงสามารถใช้สามเหลี่ยมของปาสคาล ช่วยในการคำนวณหา C(n, r) เช่น r C(0, 0) = 1 C(1, 0) = 1 C(1, 1) = 1 n C(2, 0) = 1 C(2, 1) = 2 C(2, 2) = 1 C(3, 0) = 1 C(3, 1) = 3 C(3, 2) = 3 C(3, 3) = 1 C(4, 0) = 1 C(4, 1) = 4 C(4, 2) = 6 C(4, 3) = 4 C(4, 4) = 1 Computer Science Department,BUU 42

  43. สัมประสิทธิ์ทวินาม(Binomial Coefficients) นิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ C(n, r) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม(binomial coefficients) นิพจน์ทวินาม(binomial expression) คือผลรวมของเทอมสองเทอม เช่น (a + b) ตัวอย่าง เช่น (a + b)2 = (a + b)(a + b) เมื่อกระจายนิพจน์ดังกล่าว , เราจะต้องทำการคูณแต่ละเทอมในตัวประกอบแรกเข้ากับแต่ละเทอมในตัวประกอบที่สอง ดังนี้: (a + b)2 = a·a + a·b + b·a + b·b เมื่อรวมเทอมที่เหมือนกัน จะได้ว่า: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Computer Science Department,BUU 43

  44. Binomial Coefficients สำหรับ (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) จะได้ว่า (a + b)3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 มี a3 เพียงเทอมเดียว เพราะมีความเป็นไปได้เพียงทางเดียวที่จะสร้างมันขึ้นมา : เลือก a (ไม่เลือกb)จากตัวประกอบสามตัวประกอบ: C(3, 0) = 1 มี a2b สามชุด เพราะมีความเป็นไปได้สามทางที่จะเลือกbหนึ่งตัวจากทั้งหมดสามตัวประกอบ: C(3, 1) = 3 ในทำนองเดียวกัน, มีเทอม ab2สามชุด(C(3, 2) = 3) และมี b3ชุดเดียว (C(3, 3) = 1) Computer Science Department,BUU 44

  45. Binomial Coefficients สามารถสรุปเป็นสูตรได้ดังนี้: (Binomial Theorem) • ด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล สูตรนี้ช่วยให้สามารถกระจายยกกำลังของนิพจน์ทวินามได้ง่ายขึ้น • ตัวอย่าง เช่น, แถวที่4ในสามเหลี่ยมของปาสคาลคือ(1 – 4 – 6 – 4 – 1) ช่วยให้เราคำนวณ (a + b)4ได้ ดังนี้: • (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Computer Science Department,BUU 45

More Related