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几何非线性基础

第五章. 几何非线性基础. 5. 几何非线性基础. 什么是几何非线性行为? 一个结构的总体刚度依赖于它的单个零部件(单元)的取向和刚度. 当单元的节点移动时, 单元对总体刚度的贡献可以分为几种情况. 由于几何变形而引起的刚度改变归类为 几何非线性 . ANSYS 按特征将几何非线性分为三种: 大应变. 大挠度 (大转动). 应力刚化. … 几何非线性基础. 本章将通过以下主题介绍几何非线性基础: A. 综述 B. 三类几何非线性 C. 一致切向矩阵 D. 建模 E. 求解 F. 后处理

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几何非线性基础

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  1. 第五章 几何非线性基础

  2. 5. 几何非线性基础 什么是几何非线性行为? • 一个结构的总体刚度依赖于它的单个零部件(单元)的取向和刚度. • 当单元的节点移动时, 单元对总体刚度的贡献可以分为几种情况. • 由于几何变形而引起的刚度改变归类为几何非线性 . • ANSYS 按特征将几何非线性分为三种: • 大应变. • 大挠度 (大转动). • 应力刚化. October 15, 2001 Inventory #001565 5-2

  3. … 几何非线性基础 • 本章将通过以下主题介绍几何非线性基础: A. 综述 B. 三类几何非线性 C. 一致切向矩阵 D. 建模 E. 求解 F. 后处理 • 目的是理解如何解释分析中的几何非线性效应. October 15, 2001 Inventory #001565 5-3

  4. Y X 几何非线性基础 A. 综述 考虑与几何非线性有关的三种现象: • 如果单元的形状改变 (面积, 厚度等), 其单独的单元刚度将改变. • 如果单元的 取向 改变 (转动), 其局部刚度转化为全局分量时将发生变化. October 15, 2001 Inventory #001565 5-4

  5. 几何非线性基础 … 综述 • 如果单元的应变产生较大的平面内应力状态 (膜应力), 平面法向刚度将受到显著的影响. F F Y X uy 随着垂直挠度的增加 (UY), 较大的膜应力 (SX) 导致刚化效应. October 15, 2001 Inventory #001565 5-5

  6. 大应变 大转动 应力刚化 几何非线性基础 … 综述 • 大应变 行为包含所有这三种现象. • 大挠度 行为仅包含最后两种现象. • 应力刚化 行为仅包含第三种现象. • 因而, 应力刚化理论是大挠度理论的子集, 大挠度理论是大应变理论的子集. October 15, 2001 Inventory #001565 5-6

  7. 几何非线性基础 … 综述 • 分析中将包含几何非线性, 如果: • 指定大位移 分析, 并且 • 模型中的单元类型支持几何非线性效应. • 可以在单元描述的特殊特征 列表中找到这条信息. 例如, 注意 SHELL63 支持应力刚化和大挠度, 但不支持大应变 . October 15, 2001 Inventory #001565 5-7

  8. 几何非线性基础 … 综述 • 相比而言, SHELL181 支持所有的三类几何非线性: 应力刚化, 大挠度和大应变. • 确保选择的单元类型支持必要的非线性几何行为! October 15, 2001 Inventory #001565 5-8

  9. 几何非线性基础 … 综述 • 改进的应变数学定义有利于大应变分析. • 根据物理意义, 应变总是定义为对变形体的规范化度量. • 然而, 应变有许多种可能的数学定义. • 尽管应变的数学定义有点任意性, 但它必须符合一定的要求: • 没有变形时, 应变应该为零 (如纯粹刚体运动, 包括转动). • 有变形时, 应变应该不为零. • 应变应该通过材料的应力-应变关系与应力相联系. October 15, 2001 Inventory #001565 5-9

  10. 几何非线性基础 … 综述 • 在非线性大应变分析中, 采用的应力的度量必须与应变的度量共轭 . • 共轭 意味着应变能 (一个标量, 是应力与应变乘积的函数) 与所选的应力和应变的度量无关. 应力 对任何应力和应变的共轭度量, 应变能值必须相同 应变 October 15, 2001 Inventory #001565 5-10

  11. F 几何非线性基础 … 综述 • ANSYS 程序采用三种应变和应力的度量: • 工程应变和工程应力. • 对数应变和真实应力. • Green-Lagrange 应变和第二 Piola-Kirchoff 应力. • 程序根据分析类型和采用的单元自动选择用哪一种度量. • 将通过一个简单的一维例子研究这些不同的应力和应变定义. October 15, 2001 Inventory #001565 5-11

  12. 几何非线性基础 … 综述 • 工程应变 是小应变度量，用初始几何构形计算: • 由于工程应变依赖于已知的初始几何构形 (如长度), 因此工程应变度量是个线性度量. • 材料限制为小转动, 因为中等程度的刚体转动将导致非零应变. • ANSYS 将其用于小位移分析. October 15, 2001 Inventory #001565 5-12

  13. 几何非线性基础 … 综述 • 工程应力 (s), 是工程应变 (e) 的共轭应力度量. 在它的计算中, 用当前力 F 和初始面积 A0 . October 15, 2001 Inventory #001565 5-13

  14. 几何非线性基础 … 综述 • 在支持大挠度但不支持大应变的单元的大位移分析中, 程序用一种 共转方法, 该方法从总位移中分离出刚体转动. • 这样就排除了由于大转动而引起的非零应变, 只剩下小应变变形分量. • 因此, 大挠度、小应变分析也采用工程应变 (e) 和工程应力 (s) . October 15, 2001 Inventory #001565 5-14

  15. 几何非线性基础 … 综述 • 对数应变 是一种大应变度量, 按下式计算: • 该度量是一种非线性应变度量, 因为它是未知的最终长度l 的非线性函数. 也被称为 log应变. Log 应变的三维等效是Hencky 应变. • ANSYS 将其用于大位移分析中支持大应变的大多数单元. October 15, 2001 Inventory #001565 5-15

  16. 几何非线性基础 … 综述 • 真实应力 (t) 是对数应变 (el ) 的共轭一维应力度量, 用力 F 除以当前 (或变形的) 面积 A 来计算: • 该度量一般也被称为 Cauchy 应力. October 15, 2001 Inventory #001565 5-16

  17. 几何非线性基础 … 综述 • Green-Lagrange应变 是另外一种大应变度量, 在一维中按下式计算: • 因为该度量依赖于未知的更新的长度 l的平方, 所以是非线性的. • 相对于 Log 或 Hencky 应变, 该应变度量的计算优势是, 在大应变问题中, 它自动容纳任何大转动. • ANSYS 将它用于大位移分析中支持大应变的一些单元. October 15, 2001 Inventory #001565 5-17

  18. 几何非线性基础 … 综述 • Green-Lagrange 应变 (eG ) 的共轭应力度量是第二 Piola-Kirchoff(S). 在一维中可按下式计算: • 应该注意该应力几乎没有物理意义. 为了输出, ANSYS 总是将其转化为 Hencky 或真实应力 (t) 输出. October 15, 2001 Inventory #001565 5-18

  19. 几何非线性基础 … 综述 ANSYS 使用哪一种应变和应力度量? • 为了能够正确地输入数据和解释结果, 必须知道 ANSYS 程序用哪一种度量输入和输出. • 对给定的单元类型和分析选项 (大或小位移), 程序选择应变度量的种类. • 除了可以选择单元类型和分析选项, 不能控制程序采用哪一种应变度量. October 15, 2001 Inventory #001565 5-19

  20. 几何非线性基础 … 综述 • 一般地: • ANSYS 将工程应力和工程应变用于小位移分析或仅支持大挠度单元的大位移分析. • ANSYS 将对数应变和真实应力用于支持大应变的大多数单元的大挠度. • Mooney-Rivlin 超弹性例外, 见下表所示. October 15, 2001 Inventory #001565 5-20

  21. 几何非线性基础 … 综述 • 可能必须将数据从一种度量转换为另一种. • 输入数据要用正确的度量. • 用一致的度量将 ANSYS 结果与已知的响应数据比较. • 对于单轴应力-应变数据, 工程应力-工程应变可以通过以下公式转换为真实应力-对数应变: el= ln (1 + e) t = s (1 + e) • 注意这种应力转换假设材料经历的大应变是不可压缩或几乎不可压缩的. 该假设对大塑性应变或超弹材料有效. October 15, 2001 Inventory #001565 5-21

  22. 几何非线性基础 … 综述 • 用相反关系从真实转换为工程: • 从工程应变转换为 Green-Lagrange: • 相反关系是: October 15, 2001 Inventory #001565 5-22

  23. 几何非线性基础 A. 综述 …练习 请参考附加练习 : • W9. 几何非线性基础 - 应变度量学习 October 15, 2001 Inventory #001565 5-23

  24. 大应变 大转动 应力刚化 几何非线性基础 B. 三类几何非线性 大应变 : • 当材料中的应变变“大”时(比如多于百分之几), 由于变形引起的几何形状改变不能再忽略了. • “大” 是与问题相关的. • 大应变分析不再假设应变是无穷小, 而是有限的或大的. • 大应变理论考虑了形状改变 (如厚度, 面积等) 和任意大转动. 也固有地考虑了应力刚化效应. 大应变行为包括所有与几何非线性有关的三种现象. October 15, 2001 Inventory #001565 5-24

  25. 几何非线性基础 ... 三类几何非线性 大挠度: • 当一个单元的转动变“大”时 (比如大于1 到2 度), 单元的局部刚度转换为全局分量时将发生显著的改变. • “大” 是与问题相关的. • 在ANSYS中, 术语大挠度 和大转动可以相互交换使用. • 大挠度理论考虑了大转动, 但是它假设应变是小应变. 还固有地考虑了应力刚化效应. 大挠度理论是大应变理论的子集. 大应变 大转动 应力刚化 October 15, 2001 Inventory #001565 5-25

  26. 应力刚化理论是大挠度理论的子集. 大应变 大转动 应力刚化 几何非线性基础 ... 三类几何非线性 应力刚化: • 一个零件中的应力状态会影响到该零件的刚度. • 随着张力的增大, 电缆的横向刚度增加. • 随着压缩量的增大, 柱体横向刚度下降 (最终导致完全丧失刚度 – 如, 屈曲). • 当应力刚化被激活时, 程序计算应力刚度矩阵, 并将它添加到原始刚度矩阵去包含此效应. • 应力刚度矩阵仅仅是应力和几何的函数. • 应力刚度矩阵使切向刚度矩阵更加一致 (一般会改善收敛). October 15, 2001 Inventory #001565 5-26

  27. 几何非线性基础 … 三类几何非线性 • 因此, 在大位移分析中, 一个单元可用的特殊特征决定其行为: • 大应变单元考虑形状改变和大转动, 并固有地包含应力刚化效应. • 在这样的单元中, 不能将大应变效应和大转动效应分开. • 大挠度单元考虑大转动, 并固有地包含应力刚化效应. • 许多过去的杆、梁和壳单元有大挠度能力, 但是没有大应变( BEAM4, SHELL63 等). • 将 应力刚化 作为特殊特征列出的单元, 缺省时在刚度矩阵中包括应力刚化项. • 这一般有助于改善收敛速度. October 15, 2001 Inventory #001565 5-27

  28. F u F u F u 几何非线性基础 c.一致切向刚度矩阵 • 程序几乎可以用任何形式的刚度矩阵, 收敛时仍然会获得精确解. • 初始刚度 • 割线刚度 • 切向刚度 精度由收敛容差决定, 而不是 [K] 的形式. October 15, 2001 Inventory #001565 5-28

  29. 几何非线性基础 …一致切向刚度矩阵 • 尽管精度不受刚度矩阵形式的影响, 但却严重影响收敛速度. • 完全一致切向刚度矩阵 通常收敛速度最快. • 完全一致切向刚度矩阵 [Kenl] 由四个分量组成: [Kenl] = [Keinc] + [Kes] + [Keu] + [Kea] • [Keinc] 为主切向矩阵. • [Kes] 为应力- 刚化矩阵. • [Keu] 为初始位移- 转动矩阵, 它包括在刚度关系中改变几何形状的效应. • [Kea] 为压力载荷刚度矩阵, 它包括在刚度关系中改变压力载荷取向的效应. October 15, 2001 Inventory #001565 5-29

  30. 几何非线性基础 … 一致切向刚度矩阵 • 对于大多数单元的大位移分析, 缺省时自动包括前三个分量. • 用求解控制去控制怎样包括第四个分量 (压力载荷刚度) : • 缺省 (“程序选择”) 包括单元SURF153, SURF154, SHELL181, PLANE182, PLANE183, SOLID185, SOLID186, SOLID187, BEAM188和BEAM189的压力载荷刚度. • 仅仅当遇到收敛困难问题时采用非缺省设置. • 对不直接支持压力载荷刚度的单元, 可以通过在施加压力的表面上用 SURF154 包括该运算. October 15, 2001 Inventory #001565 5-30

  31. 几何非线性基础 D. 建模 • 本章的剩余部分将描述在建立、运行和后处理大位移模型时经常有用的各种过程技巧. • 首先研究建模的一些技巧. • 单元选择. • 网格划分. • 耦合和约束方程. October 15, 2001 Inventory #001565 5-31

  32. 几何非线性基础… 建模 用适当的单元类型. • 并非所有的单元都支持几何非线性! • 一些单元没有几何非线性能力. • 例如 CONTAC52 和 PRETS179. • 其他一些单元只有有限的几何非线性能力. • 例如 VISCO88 不支持大应变或大转动, SHELL63 不支持大应变. • 必须对计划采用的每一种单元类型检查单元描述中的特殊特征列表. October 15, 2001 Inventory #001565 5-32

  33. 几何非线性基础… 建模 … 用适当的单元类型: • 另外, 对于经历塑性、蠕变或超弹性的模型, 大应变处的材料变为几乎不可压缩. • 由于剪切锁定或体积锁定, 不可压缩性会导致收敛困难. • 可以通过仔细地选择单元类型和单元选项克服这些困难. • 《高级结构非线性》培训教程中包括此问题的细节. October 15, 2001 Inventory #001565 5-33

  34. 几何非线性基础… 建模 预见网格扭曲. • ANSYS 形状检查在第一次 迭代之前, 检查网格的质量. • 在大应变分析中, 在第一次迭代之后, 网格会变得严重扭曲. • 在每一次 迭代中, 不希望有不良的单元形状. • 通过修改原始网格, 防止出现不良形状. October 15, 2001 Inventory #001565 5-34

  35. 几何非线性基础… 建模 … 预见网格扭曲: • 例如, 可以预见拉伸试件的颈缩区以后会扭曲, 将初始网格在颈缩区细化. • 变形后的网格要保持合理的高宽比. October 15, 2001 Inventory #001565 5-35

  36. 未变形的网格 变形后的网格 出现大内角. 作为三角形, 角单元保持较好的形状. 几何非线性基础… 建模 … 预见网格扭曲: • 用两个三角形单元代替四边形单元以防止出现 180°顶角. October 15, 2001 Inventory #001565 5-36

  37. 几何非线性基础… 建模 用足够的网格密度. • 当然, 要防止网格离散化错误, 必须有足够的网格密度. (单元等值线图不连续就是明显的证据.) • 另外, 要捕捉弯曲响应, 壳和梁单元网格必须足够多. 不应有超过 30°弯曲的单元. 30° 最大. October 15, 2001 Inventory #001565 5-37

  38. 几何非线性基础… 建模 在大位移分析中一般要避免耦合和约束方程 • 节点坐标系不 因为考虑大转动而修正. 耦合和约束方程总是作用在原始方向. • 例如, 在线性分析中, 销接头经常用耦合建模. 然而在大变形分析中, 转动方向的轴需要修正. 非线性分析中用非线性 COMBIN7 单元代替耦合模拟三维销接头. October 15, 2001 Inventory #001565 5-38

  39. 几何非线性基础… 建模 … 一般要避免耦合和约束方程: • 连接转动和位移自由度的约束方程基于线性、小挠度 理论. • 在节点2 的 ROTZ、节点1的 UY 和节点3的 UY 之间, 传递运动的约束方程如下: 0 = UY3 - UY1 - 10*ROTZ2 • 显然, 此等式仅对小转动有效. October 15, 2001 Inventory #001565 5-39

  40. 几何非线性基础… 建模 … 一般要避免耦合和约束方程: • 然而, 要认识到, 在有些情况下, 耦合或约束方程在非线性分析中有效. 例如: • 可以在刚体边界将约束的自由度耦合起来. • 可以用耦合模拟二维销接头. • 约束方程对大应变、小转动响应有效. 但是 …在用耦合或约束方程之前请仔细地想一想! October 15, 2001 Inventory #001565 5-40

  41. 几何非线性基础 E. 求解 • 下面学习求解的一些技巧. • 什么时候用大位移. • 载荷与边界条件. • 求解步长与收敛. October 15, 2001 Inventory #001565 5-41

  42. 几何非线性基础 … 求解 何时应选择大位移? • 大位移效应可以改善求解精度, 但需要花费时间去运行一个迭代的非线性求解. • 如果可以 100% 地确定大位移效应不重要, 那么选择小位移分析以使求解效率最快. • 然而, 由第一个练习已经知道, 大位移效应非常重要! • 如果对此有任何疑问, 则始终用大位移. • 如果模型中有其他非线性, 无论如何, 它们都将需要迭代求解. 在这种情况下, 大位移所额外增加的费用是最小的. 有疑问时, 始终用大位移 ! October 15, 2001 Inventory #001565 5-42

  43. 几何非线性基础 … 求解 加载和边界条件. • 考虑当结构经历大挠度时, 载荷会发生什么变化: • 在许多情况下, 载荷的方向将保持不变. • 在其他情况下, 当单元经历大转动时载荷方向“跟随”单元而改变. • ANSYS 可以根据所施加载荷的类型模拟这两种情况. • 另外, 在大应变分析中, 压力施加于更新的面. 因此, 由压力产生的总载荷将随压力面的伸长或缩短而变化. October 15, 2001 Inventory #001565 5-43

  44. 几何非线性基础 … 求解 … 载荷和边界条件: 偏转前的方向 偏转后的方向 载荷 加速度 (方向不变) 节点力 (方向不变) 单元压力 (随动力; 总是垂直于表面) October 15, 2001 Inventory #001565 5-44

  45. F F F F 几何非线性基础 … 求解 … 载荷和边界条件: • 确保指定正确的边界条件. • 避免在边界过约束变形体: • 在大应变分析中, 一般要避免单点约束和单点力: October 15, 2001 Inventory #001565 5-45

  46. 几何非线性基础 … 求解 … 载荷和边界条件: • 当试图对一个实体模型指定为非零转动时, 一些分析人员会困惑. • 一些分析人员认为, 将节点坐标系转动到柱坐标系, 就可以通过指定 Y () -方向位移来定义旋转. • 然而, 节点坐标系始终是笛卡尔坐标系. • 转动到柱坐标系的节点坐标系仍然 是笛卡尔坐标系. 它只不过是被重新取向, 这样节点 X 向是径向, 节点Y 向是切向 (不是周向 ). • 在大位移分析中, 节点坐标系不更新. October 15, 2001 Inventory #001565 5-46

  47. 几何非线性基础 … 求解 … 载荷和边界条件: • 一个建模诀窍, 如蜘蛛网状的梁, 通常需要精确地施加非零转动. • 不分离接触, 用面-面接触单元也会有用. 用人为的蜘蛛网状的梁单元施加指定的非零转动. October 15, 2001 Inventory #001565 5-47

  48. 几何非线性基础 … 求解 步长与收敛. • 时间步长应该足够小, 使在任何一个子步内, 没有超过10°转动角的单元. • 通过动画显示变形后的形状可以很容易地检查出来. PlotCtrls > Animate > Over Results • 采用的时间步长太大有时会导致单元内部翻出. 如果发生这种现象, 减小时间步大小. • ANSYS 执行自动的雅可比检查导致多数这样的情况的求解二分和重启动. October 15, 2001 Inventory #001565 5-48

  49. 零斜率暗示很可能不 稳定 几何非线性基础 … 求解 … 步长与收敛: • 如果, 在反复二分之后, 模型还不能在全载荷处收敛, 原因可能是实际物理上的不稳定 (屈曲或全塑性截面). 画出载荷-挠度曲线, 看看切向刚度是否趋于零. October 15, 2001 Inventory #001565 5-49

  50. 几何非线性基础 F. 后处理 • 进行后处理时, 要意识: • 所计算的节点位移在原始方向给出, 因为对于大挠度, 节点坐标系取向不更新. • 因为多数单元坐标系跟随单元, 所以应力和应变分量随多数单元转动. • 例外 – 超弹性 (超弹性56, 58, 74, 84, 86, 158) 保持原始单元坐标系取向. SX UX UX SX October 15, 2001 Inventory #001565 5-50

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