第四章动能定理

§4.3 粒子的散射 第四章动能定理 §4.1 质点系动能定理 §4.2 中心力场行星的运动 §4.4 二体问题

§4.1 质点系动能定理 一、质点系的动能定理 1.质点的动能定理力对时间的积分将积累为冲量,对空间距离的积分将积累为功.动量定理表明,质点(组）动量的增量等于外力对质点(组)的冲量. 对一个单质点,由牛顿方程得：

用矢量标乘上式,则得： 因为，所以(4.1-1)式变为：这个关系式称为质点的动能定理.其含意是:质点动能的元增量等于外力对质点作的元功.

将(4.1-2)式积分,很容易得到动能定理的积分形式：将(4.1-2)式积分,很容易得到动能定理的积分形式： (4.1—3) 2.质点组动能定理对于每一个质点,按(4.1-2).其动能定理应写为：

将上式对指标 求和,我们便得到质点组的动能定理：

二、柯尼西定理 1.柯尼西定理的推导如图所示, 系是平动的质心系, 是固定坐标系.任一质点对O点的位矢是 ,对C点的位矢是 .因此：上式对t求导便得：

于是质点组对固定坐标系的动能为: (4.1—6) 因为是相对质心C的位矢,故所以上式变为:

d P  C vC 2.柯尼西定理的应用—刚体的动能 (1). 平动刚体的动能 (2). 平动刚体的动能 (3). 平面运动刚体的动能

三、平动质心系中的动能定理 在加速的平动质心系中，质点的动力学方程是：用标乘上式,并对求和.我们可得： (4.1—8)

上式右部的第三项显然是惯性力对质点组所做的总功。这一项的值应是：上式右部的第三项显然是惯性力对质点组所做的总功。这一项的值应是：

于是(4.1- 8)式便简化为： (4.1—9)

四、机械能 1.力的功设质点在受到作用力时完成元位移 .则对质点的元功是 .若质点在的作用下从运动到点,则的功为：

2.保守场 例如在空间的某个区域中，力仅为坐标x、y、z的单值、有限和可微的函数，则在这区域的每一点上，都有确定的力。我们把这个空间区域称为力场。若力不是时间t的显函数，则力场称为稳定场；反之，称为不稳定场。如果一个力场的功只依赖于质点的始末位置，而与质点的轨道无关，则这个力场称为保守场。否则称为涡旋场。物理学中的万有引力、弹性力和库仑力都是保守力。摩擦力是非保守的。由于它的功总是消耗物体的能量，所以也常称为耗散力。

3.保守场判据 由向量分析可知，一个矢量场成为保守场的充要条件可以有以下几种等价的表述： (1) 质点在力场中沿任何闭合路径运动一周，场力的功均等于零，即：

(2) 场力的旋度，即分量满足等式 (3) 场力是某个标量函数的梯度，即：

4.势能 称为的势函数。常量所对应的曲面称为的等势面。矢量显然是处处沿着等势面的法线,并指增大的方向。在物理学中人们常使用势能这个名词。并以表示。势能的定义是:

由此我们可以按（4.1-10）算出保守场所做的功： （4.1—15）此式说明：保守力对质点所作的功等于其势函数的增量，或等于势能的减量。

如果是 保守力，利用（4.1—15）可将质点的动能定理（4.1—3）写为：或：（4.1—16）

5.机械能守恒定律 上式的含意是：质点在保守力场中运动时，其机械能是个不变量。（4.1-16）式又可简化为：这就是说，当保守力作功时，只能使质点的动能与势能互相转化、消长，而不能转化为其他形式的能量。这便是机械能守恒定律。如果在物体的运动过程中非保守力作了功，机械能就不会守恒了。

例4-1质量为M，半径为R的光滑半球，其底部放在光滑的水平面上，有一个质量为m的质点沿着半球滑下，如图4-2所示。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线所成之角为，并设此系统开始时是静止的。求此质点滑到角时之值。解:以质点m和半球所组成的系统为研究对象。系统所受外力有：重力、mg，水平面对半球的支承力，系统所受内力：和。系统受力的做功分析：，不做功，做功；关于这对内力和做功的总和为0，需要做如下说明。

设半球的速度为，质点的相对速度为 ，由速度合成定理，受力为的滑块的绝对速度，内力在时间内所做的功为；内力所做的功为。因此，内力和做的总功为：在上面的计算中利用了和。由以上分析可知，系统机械能守恒。在水平方向无外力的作用，因此动量守恒。坐标系如图4-2所示，由水平方向动量守恒得：

因为，将其代入上式，得： 由机械能守恒得：于是有：

解之得： 即因为速度与坐标系的选择有关，所以在应用动量定理、动能定理和两个相应的守恒定理的时候，一定要指明是对哪一个参照系而言的。对于惯性系，以上定理都成立，但在一个公式中出现的速度（质点系中每个质点的速度）都必须是对同一惯性系而言的。

例4-2质量为和 的两个自由质点以万有引力相互作用。如图4-3所示，开始时两质点相距为，皆为静止状态。试求两质点的距离为时各自的速度。解：设两质点相距时具有速度和。因为是引力，故与反向。今取的方向为正。因系统不受外力，由动量守恒得：又因为引力是保守力，故系统的势能为。由机械能守恒定律得

联立两式可解出和 ，如果应用动能定理，则有：积分上式便得：这与用机械能守恒定律所得的方程相同。

例4-4把一重锤用一轻杆固联，然后用光滑的平面铰链悬挂于 点，如图4-4所示。如果重锤从幅角的地方自由摆下，求摆锤通过最低点时的速度。解：以轻杆和摆锤组成的系统为研究对象。由于轻杆质量可以忽略不计，摆锤只受到重力和杆的张力。张力不做功，重力是保守力，所以可以用机械能守恒定律来求解。设杆长为，摆锤的质量为，以悬挂点为势能零点，则摆在初始位置时，动能为零，势能为：摆到最低位置时，动能和势能为：

由机械能守恒定律，得： 解之得：于是质点运动到最低点的速度为：其方向水平向左。对于本题还可以用角动量定理求解，读者可以自行练习。

例4-5半径为的球，以初速度及初角速度 抛掷于倾角为的斜面上，使其沿斜面向上运动，如图4-5所示。如果，且摩擦系数。试求球体从开始运动到停止所经过的时间。解: 以球为研究对象，它在斜面上的运动是一个刚体的平面平行运动。在初始时，故接触点的速度。所以在开始阶段，球既滚又滑，所受的摩擦力为滑动摩擦力，。系统的受力如图4-5所示，选取直角坐标系。由质心运动定理和相对于质心的角动量定理建立刚体的运动微分方程为:

考虑，，以及时，，对微分方程积分得:

由上面两式可知，质心的平动是减速运动，而绕质心的转动是加速转动，因此总有一个时刻能达到 。设从开始到该时刻的时间为，则有：解之得：此时球心的速度为：

当以后，刚体做纯滚动，其运动微分方程变为：这时摩擦力变成静摩擦力，不再成立。刚体做纯滚动约束条件为，代入刚体做纯滚动的运动微分方程，解之得：式中的负号表示此时摩擦力的方向沿轴正向，与图示方向相反。为了保证只滚不滑，则要求，即，显然这一条件由题设满足。

现在把 代入刚体做纯滚动的运动微分方程，得：设时刻球停止，则对上式做积分，有：所以可见，球体从开始运动到停止所经过的时间是。

例题 4-2棒的一端置于光滑的水平面上,另一端则靠在光滑的墙上,且棒与地面的倾角为。如果任其自此位置开始下滑，求棒与地面的倾角为时的角速度和角加速度。解：取棒为研究对象，在任意角 时，由运动学可知：

A P   C vC mg  B 解得：主动力的功：由动能定理得：

A P   C vC mg  B 将方程对时间求导，并注意：解得：同学们自己计算棒离墙时棒与地的夹角。

B E  A 例题 4-3已知：轮 A 的质量为，半径为R，杆AB质量，长。求： =45°点A在初瞬时的加速度。解：取系统为研究对象，在任意角 时，由运动学可知：

B E  m1g A m2g B AB C E vB vE vA  A  系统总动能：

系统的总功率： 代入功率方程：注意到 和 vA 都是 t 的函数，且有：

注意到初瞬时： vA=0，= =45°

§4.2 中心力场行星的运动 一、中心力的基本性质由于中心力与质点的位矢共线，所以由动量矩定理得知 =恒矢量，即运动质点的动量矩守恒。又由于，所以质点只能在垂直于矢量的平面内运动。因此，我们只须用两个坐标或就可以描述质点在中心力场的运动。

因为中心力 的量值一般只是矢径r的函数，即F=F(r),所以可写为：如果选用直角坐标系，并以力心为原点，O-XY平面为运动平面，则牛顿方程在坐标轴上的投影为：

如果取力心为极点，则质点的运动微分方程是： 如果取力心为极点，则质点的运动微分方程是：首先，很容易对（4.2-3）式的第二个方程进行一次积分。将该方程改写为：

积分一次便得： 或式中的h为积分常数。

如图所示， 在极坐标系中，动量的径向分量对O点的矩为零。动量的横向分量对O点的矩为：由此可见，就是质点对力心O的动量矩。所以,(4.2—5)式表示运动物体的动量距守恒。

由于（4.2—4）比（4.2—3）式简单，所以在研究中心力问题时，常用下列两式作为基本方程，以代替（4.2—3）式中心力场中的运动质点，不但动量矩守恒，而且机械能也是守恒的。下面予以证明。

当质点受力的作用沿曲线运动时， 作的功是：在极坐标系中，和可写成：于是功W可写成：

如果是中心力，则 =0，且只是r的函数，而与无关。这（4.2—7）式便简化为：若A与B点的极坐标分别对应和，则中心力对质点作的功应是：

这个积分的值显然与质点的运动路径无关。可见中心力是保守力，质点的机械能守恒。如果以V（r）表示中心力场的势能，则机械能守恒便可写为：公式（4.2—10）是一阶微分方程。求解中心力问题时也可以把它与（4.2—6）的第二式联合起来，作为基本方程。

二、轨道微分方程——比尼公式 当求出运动规律r=r(t),以后，消去参数t便可求出质点的轨道方程。在中心力问题中，还有另外的方法求质点的轨道。先从方程组（4.2-6）中消去t，求出r、和F之间的方程；然后代入力的表达式，求出质点的轨道方程。为了运算的方便，我们令u=1/r。由（4.2-6）的第二式。可得：

于是可把和表示成： 再把与代入（4.2—6）的第一式，变量t便自动消去，得到u与之间的微分方程，常称为比尼公式。

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