David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston)

1. David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (p.161) «Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate. [...].

2. Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabili a teoremi ed a problemi. Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).

3. Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: «Posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa». Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda. Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato.

4. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.

5. In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicchéPQ valga AP + BQ

7. Costruzione: Rovesciamo il processo. Che cosa possiamo fare all’angolo in A e in B per trovare X? E poi come come sarà disegnato PQ? A questo punto si dà la dimostrazione [sintesi].

8. Alfredo Sabbatini, Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte II, edizione III, 1926Articolo XIII. Sui metodi elementari per la risoluzione dei problemi geometrici (p.3): «L’analisi è la strada che parte da ciò che si cerca, come fosse accordato, e conduce per le conseguenze che se ne traggono, a qualche cosa che sia realmente accordata» più avanti a proposito della risoluzione di problemi:

9. «Nel genere problematico noi riguardiamo come eseguito ciò che è proposto, e seguendo le conseguenze che ne risultano, cerchiamo di pervenire a qualche cosa, che sia conosciuta [...] se questa cosa è eseguibile la proposta lo sarà pure» • (Gli altri metodi citati sono: - luoghi geometrici, - trasformazioni) • Analogo approccio troviamo in Luigi Campedelli, Repertorio di matematiche, 1951 (a cura di M. Villa)

10. I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone: nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone l’idea di un doppio percorso dalle idee ai principi (ascendente) e dai principi alle idee (discendente). Tale doppio percorso rappresenta un processo completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso e, meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a farne un procedimento dimostrativo. Nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d. C.) si dice che Platone insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso], che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per mezzo di esso.

11. Collectiones mathematicae (Pappi ..., 1660, p.240): «Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit, tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes, quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod sit è

12. numero principiorum. Et huismodi processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus vocatur compositio»

13. U. Bottazini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli: 1992, Fonti per la storia della matematica (p.88) Quello che è chiamato il campo dell’analisi - mio caro Hermodoro - è, complessivamente, una particolare tecnica che fu predisposta, dopo la realizzazione dei basilari e vari Elementi, per coloro che vogliono acquisire in geometria una notevole capacità a risolvere i problemi che loro vengono proposti; ed è utile per questo soltanto. Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide, l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria] avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte da ciò che si cerca, considerato come concesso, per giungere passo dopo passo alla sintesi.

14. Cioè in analisi noi assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora ciò che viene prima di questa, e via di seguito regredendo in questo modo fino a giungere a qualcosa che già conosciamo, o che costituisce un principio primo. Chiamiamo questo tipo di metodo «analisi» da «anapalin lysis» (cioè: ridurre, passare a ciò che precede). Nella sintesi, al contrario, noi assumiamo ciò a cui si era giunti da ultimo con l’analisi, come appunto se questo dato fosse già ottenuto, e, procedendo quindi in modo logicamente naturale, ciò che prima, nell’analisi, seguiva, ora, nella sintesi, precede; giungiamo così alla fine della costruzione alla dimostrazione di ciò che era stato cercato. Dunque in questo consiste quel procedimento che chiamiamo «sintesi».

15. Costruire il triangolo ABC, dati due lati AB, AC, e la mediana AM, relativa a BC

16. Supponiamo il problema risolto, ossia supponiamo di aver disegnato il triangolo ABC avente i lati AB, AC e la mediana AM, rispettivamente uguali ai tre segmenti assegnati. Prolunghiamo la mediana AM del segmento MD = AM e congiungiamo D con B. Otteniamo un triangolo ADB del quale si conoscono i lati: AB è dato; AD = 2AM; DB = AC per l’uguaglianza dei triangoli AMC, DMB e quindi il triangolo ADB lo sappiamo costruire.

17. Dai tre segmenti dati abbiamo costruito il triangolo ADB, da questo possiamo risalire al triangolo richiesto ABC. Infatti, costruito il triangolo ADB e unito il punto medio M di AD con B, basta prolungare il segmento BM del segmento MC = BM per individuare la posizione del vertice C, cioè per essere in grado di costruire il triangolo ABC. Osservazione: Prima si suppone il problema risolto, poi si fa l’analisi sia della figura che di altre possibili costruzioni con lo scopo di sostituire la figura della quale è chiesta la costruzione con una seconda figura la cui costruzione è già nota. Infine si risale da questa seconda figura a quella richiesta.

18. Dopo aver risolto il problema, è necessario fare la discussione per stabilire se i dati del problema possono essere qualunque, oppure se fra loro sussistono determinate relazioni; se queste non sono soddisfatte, il problema è impossibile. Nel problema precedentemente risolto, osserviamo che è possibile costruire il triangolo ABC se è possibile costruire il triangolo ABD. Sappiamo che in un triangolo un lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Pertanto, supposto AC>AB, il problema risulta possibile se: BD – AB < AD < BD + AB, cioè AC – AB < 2AM < AC + AB, e quindi se (AC – AB)/2<AM< (AC + AB)/2

19. You are given a right-angled triangle ABC, AB being the hypotenuse. Take a point P on AB. Draw the parallel lines to AC and BC through P. Name H and K the points of intersection with AC and BC respectively. For which position of P does the line HK have minimum length?

21. Per vostra conoscenza: Euclide Pappo Platone Biografie nel sito