Multiplicación algebraica vs. factorización

1. Multiplicación algebraica vs. factorización

2. Recordemos que las expresiones algebraicas pueden multiplicarse y son una consecuencia de las leyes de los exponentes. • Por otra parte, la factorización algebraica es, en cierto sentido, el proceso inverso a la multiplicación. Consiste en reescribir una expresión algebraica en 2 o más factores.

3. Por las leyes de los exponentes… MULTIPLICACIÓN MONOMIO - POLINOMIO

4. Por el contrario, si tenemos un polinomio con literales comunes, éste se puede factorizar en un monomio y un polinomio. • Se identifican las literales comunes, y se toman con su exponente menor. El término formado con éstas será el término común. Exponente menor FACTORIZACIÓN DE UN TÉRMINO COMÚN

5. Productos notables y factorización

6. Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que tienen una forma particular, y que pueden realizarse de manera más rápida aplicando ciertas reglas. • Ya que la factorización es inversa a la multiplicación, las reglas de los productos notables nos servirán para factorizar expresiones con cierta estructura.

7. El trinomio del lado derecho es un trinomio cuadrado perfecto • Realizando las multiplicaciones correspondientes y simplificando, se obtiene… CUADRADO DE UN BINOMIO Elevar al cuadrado equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:

8. EJEMPLO GEOMÉTRICO

9. MÁS EJEMPLOS

10. Recíprocamente, si tenemos un trinomio cuadrado perfecto, su factorización resulta ser un binomio al cuadrado. Asociar las raíces con el signo del doble producto Extraer raíz Extraer raíz FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

11. La multiplicación de dos binomios conjugados resulta BINOMIOS CONJUGADOS Los binomios conjugados son aquellos que poseen los mismos términos, pero difieren en un signo:

12. EJEMPLOS

13. En sentido contrario, si tenemos una diferencia de cuadrados, ésta se puede factorizarcon un par de binomios conjugados. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

14. Si se realizan las multiplicaciones y simplificaciones correspondientes, se obtiene CUBO DE UN BINOMIO Elevar al cubo equivale a multiplicar este binomio por sí mismo tres veces:

15. EJEMPLOS

16. Recíprocamente, podemos factorizar polinomios de la forma como el cubo de un binomio CUBO PERFECTO DE BINOMIO

17. Factorización de trinomios de la forma

18. Hemos visto dos formas de factorizar para casos especiales: cuando es un trinomio cuadrado perfecto, y cuando se tiene una diferencia de cuadrados. • Ahora veremos dos técnicas de factorización para trinomios más generales. • Buscamos expresar el trinomio como producto de dos factores:

19. Consideremos • Buscamos dos números que multiplicados den , y los colocamos debajo del primer término junto con . • Análogamente, buscamos dos números que multiplicados resulten y los ponemos debajo del tercer término.

20. Esta técnica de factorización puede ser inmediata en algunos casos, pero podría volverse complicada, e incluso imposible para ciertos trinomios. • Un método siempre seguro de factorización y de solución de ecuaciones cuadráticas lo proporciona la fórmula cuadrática general.

21. Fórmula cuadrática

22. Consideremos un trinomio de la forma • Podemos factorizarlo con la ayuda de su fórmula general:

23. La factorización queda: Consideremos

24. Suma y diferencia de cubos

25. Consideremos un producto de la forma ¡Diseña tres ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior!

26. Ahora consideremos un producto muy parecido al anterior: ¡Diseña dos ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior! ….Ahora factoriza….