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第七章 关系

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第七章 关系. 7.1 集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质 7.4 二元关系的闭包运算 7.5 等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格 7.7 链与反链. 等价关系. 定义 1 A 是一个非空集 , R 是 A 上的一个二元关系, 若 R 有自反性、 对称性、 传递性, 则说 R 是 A 上的 等价关系 。.

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Presentation Transcript
slide1
第七章 关系

7.1 集合的笛卡尔积集

7.2 二元关系的基本概念

7.3 二元关系的性质

7.4 二元关系的闭包运算

7.5 等价关系和集合的划分

7.6 偏序关系和格

7.7 链与反链

slide2
等价关系

定义1 A是一个非空集,

R是A上的一个二元关系,

若R有自反性、

对称性、

传递性,

则说R是A上的等价关系。

slide3
等价类、代表元

若R是A上的等价关系, a是A中任意一个元素,

集合

{x∊A│(x,a) ∊ R}

称为集合A关于关系R的一个等价类,记

[a]R= {x∊A│(x,a) ∊ R},

其中a叫代表元。

slide4
例1

A={1,2,3},

R={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}

则R是A上一个等价关系。

1 2 3

显然 [1]R={1,2}

[2]R={1,2}

[3]R={3}

slide5
例 试画出关系图

1

2

3

6

4

5

7

8

A={1,2,3,4,5,6,7,8}

R={(x,y) │x,y ∊A, x≡y(mod 3)}

其中x≡y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除.

2 p83 a r a a b r a b
例2 (p83)设A是计算机系的学生的集合,R是A上一个二元关系,使得(a, b) ∊R当且仅当a和b住在同一宿舍里。

不难验证, R是A上一个等价关系。

  • 还可以引入A上的其它等价关系如下:
  • R是A上一个二元关系,使得(a, b) ∊R当且仅当a和b是学习相同的专业
  • R是A上一个二元关系,使得(a, b) ∊R当且仅当a和b同龄
3 p83 z z r x y z x y r x y 5 r z
例3(p83)Z是整数集,在Z上定义一个二元关系R:对于任意的 x,y∊Z, (x,y) ∊R当且仅当x与y被5除余数相同。R是Z上的等价关系。

显然, x与y被5除同余的充要条件是5|(x-y), 这里符号a|b表示a整除b,a与b是两个整数。

对于x∊Z,有5|(x-x), 即(x,x) ∊R,亦即R有自反性。

对于x,y∊Z,若(x,y) ∊R, 即5|(x-y),

也即5|(y-x), 所以(y,x) ∊R, 亦即R有对称性。

对于x,y,z∊Z,若(x,y) ∊R, 且(y,z) ∊R,

即5|(x-y),且5|(z-y),则 5|[(x-y)+(y-z)],

亦即5|(x-z),所以(x,z) ∊R,亦即R有传递性。

故R是A上的等价关系。

a 1 2 3 a a ad bc a b c d
例设A={1,2,3,…},并设~是A×A上的关系,其定义为:若ad=bc, 则(a,b) ~(c,d)。证明 ~ 是一个等价关系。

证: (1) 自反性 对于∀(a,b)∊A×A,因为ab=ba,

则有(a,b) ~(a,b) 。

(2) 对称性 如果(a,b) ~(c,d),即有 ad=bc,

即有 cb=da, 故有(c,d) ~(a,b)。

(3) 传递性 如果(a,b) ~(c,d),(c,d) ~(e,f),

即有 ad=bc, cf=de,

于是有 adcf=bcde

即 af=be, 故有 (a,b)~(e,f)

slide9
商集合

定义2 A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系,集合{[x]R│x∊A} 叫集合A的商集合,记为

A/R= {[x]R│x∊A}

例 A={1,2,3},

1 2 3

显然 A/R={ [1]R, [3]R}

={ {1,2} , {3} }

slide10

例Z是整数集,在Z上定义一个二元关系R:

对于任意的 x,y∊Z, (x,y) ∊R

当且仅当x与y被5除余数相同。

Z/R={ [0]R, [1]R, [2]R, [3]R, [4]R}

这里

[0]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n}

[1]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+1}

[2]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+2}

[3]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+3}

[4]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+4}

slide11
定理1

A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系,则有

(1)∪[x]R=A,

(2) 对于任意的x,y∊A,

若[x]R∩[y]R≠Ø,则[x]R=[y]R。

证明(1)显然,对于任意的x∊A,有[x]R⊆A,

所以 ∪[x]R ⊆ A.

反之,对于任意的x’ ∊A,则x’ ∊[x’],

即 x’ ∊ ∪[x]R,

所以 A ⊆ ∪[x]R

x∊A

x∊A

x∊A

x∊A

1 x r y r x r y r
定理1 证明若[x]R∩[y]R≠Ø,则[x]R=[y]R

证明(2): 对于任意的x,y ∊A,若[x]R∩[y]R≠Ø,

则存在a∊[x]R∩[y]R。

由a∊[x]R,得(a,x)∊R;

再由R的对称性,有(x,a) ∊R。

由a∊[y]R, 有(a,y) ∊R。

利用R的传递性,得(x,y)∊R。

下面开始证明[x]R=[y]R。

对于任意的z∊[x]R,有(z,x) ∊R,

又因为刚才已得到(x,y) ∊R,

由R的传递性,得到(z,y) ∊R,

所以有z∊[y]R。从而证得 [x]R⊆[y]R。

同理可证[y]R⊆[x]R。

所以最后得到[x]R=[y]R。

slide13
定理1’

A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系,则有

(1) ∪[x]R=A,

(2) 对于任意的x,y∊A,若[x]R∩[y]R≠Ø,

则[x]R=[y]R。

(3) [x]R≠Ø, 且[x]R⊆A.

(4) 若xRy, 则[x]R=[y]R.

(5) 若xRy, 则[x]R∩[y]R=Ø

x∊A

slide14
集合的划分

定义3 A是一个非空集合,一个集合

π= {Aα│α∊B, Aα≠Ø,且Aα⊆A}

称做集合A的一个划分,若

① ∪Aα=A

② 对于任意的α,β∊B,若Aα∩Aβ≠Ø,则 Aα=Aβ,其中B是下标集。

α∊B

例 商集合 A/R 是集合A上的一个划分。

slide15

考虑集合A={a,b,c,d}的下列子集族:

{{a}, {b,c}, {d}}

{{a,b,c,d}}

{{a,b},{c},{a,d}}

{Ø, {a,b}, {c,d}}

{{a}, {b,c}}

试判断这些子集是不是一个划分.

slide16
集合的划分——等价关系

若给定集合A上的一个划分π,

可以在A上定义一个二元关系R,

使得R成为A上的一个等价关系,且有

A/R =π

2 p84
定理2 (p84)

A是一个非空集合,π是A上的一个划分,

π= {Aα│α∊B,Ø≠Aα⊆A}

在A上定义一个二元关系R:

对于任意的x,y∊A,

(x,y) ∊R当且仅当存在α∊B,x,y∊Aα.

则 R是A上一个等价关系,而且

A/R=π

2 r a
定理2 先证 R是A上的等价关系

对于任意的x∊A,存在α∊B,x∊Aα,

即有x, x∊Aα, 所以有(x,x)∊R, 故R是自反的。

对于任意的x,y∊A,若(x,y) ∊R,

则存在α∊B, x,y∊Aα, 即有y,x∊Aα,

所以有(y,x) ∊R, 故R是对称的。

对于任意x,y,z∊A,若(x,y) ∊R 且(y,z) ∊R,

则存在α∊B,x,y∊Aα,

而且又存在β∊B,y,z∊Aβ。

因为 y∊Aα∩Aβ,所以Aα∩Aβ≠Ø,

则Aα=Aβ,即x∊Aβ,所以(x,z) ∊R,

故R是传递的。

所以 R是A上的等价关系。

2 a r
定理2 证明 A/R=π

首先证明 A/R⊆π。

对于任意的[x]R∊A/R ,

因为x∊A,故存在α∊B,X∊Aα,

可以证明[x]R=Aα。

所以 A/R⊆π。

再证明π⊆A/R。

对于任意的Aα∊π,

因为Aα≠Ø ,故存在x∊Aα,

可以证明有[x]R=Aα,即Aα=[x]R ∊A/R。

所以π⊆ A/R。

2 a r1
定理2 证明 A/R ⊆ π

对于任意的[x]R∊A/R ,

因为x∊A,所以存在α∊B,X∊Aα。 要证明[x]R=Aα。

对于任意的a∊Aα,有(a,x) ∊R,则a∊[x]R,

即有Aα⊆[x]R;

反之, 对于任意的a∊[x]R,所以(a,x) ∊R,

即存在β∊B,a,x∊Aβ。

因为x∊Aα∩Aβ,所以Aα∩Aβ≠Ø,所以Aα=Aβ,

从而有a∊Aα,所以[x]R⊆Aα。

故[x]R=Aα∊π。

所以 A/R⊆π。

slide21

考虑集合A={a,b,c,d}的一个划分:

{{a}, {b,c}, {d}}

求该划分所对应的等价关系.

解: R={(a,a), (b,b), (c,c), (b,c),(c,b),(d,d)}

a 1 2 3 a
例 设A={1,2,3},求出A上所有的等价关系.

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

π 1 π2π3π4π5

R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

R3={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2)}

R4={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}

R5={(1,1),(2,2),(3,3)}

slide23
划分加细

定义4 A是一个非空集合。π1与π2是集合A上的两个划分,其中

π1= {Aα│α∊B,Ø≠Aα⊆A},

π2= {Aα’│α’∊B’,Ø≠Aα’⊆A},

若对于任意的α∊B,

存在α’∊B’,使得Aα⊆Aα’,

则称π1是π2的加细。

slide24
划分加细

定理3A是一个非空集合, π1与π2是A上的两个划分:

π1= {Aα│α∊B,Ø≠Aα⊆A},

π2= {Aα’│α’∊B’,Ø≠Aα’⊆A},

它们相应的等价关系分别为R1和R2 。

R1⊆R2当且仅当 是 π1是π2的加细。

3 r 1 r 2 1 2
定理3的证明:“”若R1⊆R2则 π1是π2的加细

对于任意的α∊B,Aα∊π1,

存在 a∊A,Aα=[a]R1。

对于任意的x∊ [a]R1=Aα,所以有(x,a) ∊R1。

根据假设R1⊆R2,得到(x,a) ∊R2,

所以有x∊ [a]R2。

因为[a]R2∊A/R2=π2,

所以存在α’ ∊B’,[a]R2=Aα’∊π2,

所以得到x∊Aα’,

从而得到Aα⊆Aα’。所以π1是π2的加细。

3 1 2 r 1 r 2
定理3的证明“”若π1是π2的加细,则R1⊆R2。定理3的证明“”若π1是π2的加细,则R1⊆R2。

对于任意的x,y∊A,若(x,y) ∊R1,即x∊ [y]R1,

又因为A/R1=π1,所以存在α∊B,[y]R1=Aα

根据假设π1是π2的加细,

则存在α’∊B’,Aα⊆Aα’

于是[y]R1=Aα⊆Aα’,y∊Aα’,且x∊Aα’

故(x,y) ∊R2.

所以R1⊆R2得证。

2006 r a r 2 a
(2006年硕士研究生试题)已知R是A上的等价关系, 证明R2也是A上的等价关系。

证: (1) 自反性 对于∀a∊A, 因为R是自反的,即有

(a,a) ∊R,故由定义知 (a,a) ∊R2。

(2) 对称性 对于∀(a,b) ∊R2, 由定义知:

存在c,使得 (a,c) ∊R,且 (c,b) ∊R.

由于R是对称的,有(c,a) ∊R,且 (b,c) ∊R.

由R2定义知有 (b,a) ∊R2。

(3) 传递性 对于∀(a,b) ∊R2, (b,c) ∊R2, 存在x,y,有:

(a,x) ∊R,且 (x,b) ∊R.

(b,y) ∊R,且 (y,c) ∊R.

由于R具有传递性,则有 (x,c) ∊R

进而,由定义知,(a,c) ∊R2.

2004 r a t r a
(2004年硕士研究生试题)已知R是集合A上自反的、对称的二元关系, 证明t(R)是A上的等价关系。

证明: 因为t(R)= ∪Ri是传递闭包,即满足传递性,

即要证明自反性与对称性。

显然,只需要证明Ri具有自反性与对称性即可。

运用数学归纳法证明如下:

当i=1时,结论成立。

归纳假使当i=k时Rk具有自反性与对称性.

考察i=k+1的情况。

对于∀x∊A, (x,x) ∊R, (x,x) ∊Rk, 故由定义知,(x,x) ∊Rk+1.

对于∀(x,y) ∊Rk+1=R∘Rk,存在z∊A, (x,z) ∊R, (z,y) ∊Rk

于是 (z,x) ∊R, (y,z) ∊Rk, 从而,(y,x) ∊Rk+1=Rk∘R

即i=k+1时Rk+1具有自反性与对称性。

i=1