第七章关系

第七章关系 7.1 集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质 7.4 二元关系的闭包运算 7.5 等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格 7.7 链与反链

等价关系 定义1 A是一个非空集, R是A上的一个二元关系，若R有自反性、对称性、传递性，则说R是A上的等价关系。

等价类、代表元 若R是A上的等价关系， a是A中任意一个元素，集合 {x∊A│(x,a) ∊ R} 称为集合A关于关系R的一个等价类，记 [a]R= {x∊A│(x,a) ∊ R}, 其中a叫代表元。

例1 A={1,2,3}, R={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} 则R是A上一个等价关系。 1 2 3 显然 [1]R＝{1,2} [2]R＝{1,2} [3]R＝{3}

例试画出关系图 1 2 3 6 4 5 7 8 A={1,2,3,4,5,6,7,8} R={(x,y) │x,y ∊A, x≡y(mod 3)} 其中x≡y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除.

例2 (p83)设A是计算机系的学生的集合，R是A上一个二元关系，使得(a, b) ∊R当且仅当a和b住在同一宿舍里。不难验证， R是A上一个等价关系。 • 还可以引入A上的其它等价关系如下： • R是A上一个二元关系，使得(a, b) ∊R当且仅当a和b是学习相同的专业 • R是A上一个二元关系，使得(a, b) ∊R当且仅当a和b同龄

例设A={1,2,3,…},并设~是A×A上的关系，其定义为：若ad=bc， 则(a,b) ~(c,d)。证明 ~ 是一个等价关系。证： (1) 自反性对于∀(a,b)∊A×A,因为ab=ba，则有(a,b) ~(a,b) 。 (2) 对称性如果(a,b) ~(c,d)，即有 ad=bc，即有 cb=da，故有(c,d) ~(a,b)。 (3) 传递性如果(a,b) ~(c,d)，(c,d) ~(e,f)，即有 ad=bc, cf=de, 于是有 adcf=bcde 即 af=be, 故有 (a,b)~(e,f)

商集合 定义2 A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系，集合{[x]R│x∊A} 叫集合A的商集合，记为 A/R= {[x]R│x∊A} 例 A={1,2,3}, 1 2 3 显然 A/R={ [1]R, [3]R} ={ {1,2} , {3} }

例Z是整数集，在Z上定义一个二元关系R： 对于任意的 x,y∊Z, (x,y) ∊R 当且仅当x与y被5除余数相同。则 Z/R={ [0]R, [1]R, [2]R, [3]R, [4]R} 这里 [0]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n} [1]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+1} [2]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+2} [3]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+3} [4]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+4}

定理1 A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系，则有 (1)∪[x]R=A， (2) 对于任意的x,y∊A，若[x]R∩[y]R≠Ø，则[x]R=[y]R。证明(1)显然，对于任意的x∊A，有[x]R⊆A，所以 ∪[x]R ⊆ A. 反之，对于任意的x’ ∊A，则x’ ∊[x’]，即 x’ ∊ ∪[x]R，所以 A ⊆ ∪[x]R x∊A x∊A x∊A x∊A

定理1 证明若[x]R∩[y]R≠Ø，则[x]R=[y]R 证明(2): 对于任意的x,y ∊A，若[x]R∩[y]R≠Ø，则存在a∊[x]R∩[y]R。由a∊[x]R，得(a,x)∊R；再由R的对称性，有(x,a) ∊R。由a∊[y]R, 有(a,y) ∊R。利用R的传递性，得(x,y)∊R。下面开始证明[x]R=[y]R。对于任意的z∊[x]R，有(z,x) ∊R, 又因为刚才已得到(x,y) ∊R，由R的传递性，得到(z,y) ∊R, 所以有z∊[y]R。从而证得 [x]R⊆[y]R。同理可证[y]R⊆[x]R。所以最后得到[x]R=[y]R。

定理1’ A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系，则有 (1) ∪[x]R=A， (2) 对于任意的x,y∊A，若[x]R∩[y]R≠Ø，则[x]R=[y]R。 (3) [x]R≠Ø, 且[x]R⊆A. (4) 若xRy, 则[x]R=[y]R. (5) 若xRy, 则[x]R∩[y]R=Ø x∊A

集合的划分 定义3 A是一个非空集合，一个集合 π= {Aα│α∊B， Aα≠Ø，且Aα⊆A} 称做集合A的一个划分，若 ① ∪Aα=A ② 对于任意的α,β∊B，若Aα∩Aβ≠Ø，则 Aα=Aβ，其中B是下标集。 α∊B 例商集合 A/R 是集合A上的一个划分。

例考虑集合A={a,b,c,d}的下列子集族: {{a}, {b,c}, {d}} {{a,b,c,d}} {{a,b},{c},{a,d}} {Ø, {a,b}, {c,d}} {{a}, {b,c}} 试判断这些子集是不是一个划分. ✔ ✔ ✘ ✘ ✘

集合的划分——等价关系 若给定集合A上的一个划分π，可以在A上定义一个二元关系R，使得R成为A上的一个等价关系，且有 A/R ＝π

定理2 (p84) A是一个非空集合，π是A上的一个划分， π= {Aα│α∊B，Ø≠Aα⊆A} 在A上定义一个二元关系R：对于任意的x,y∊A， (x,y) ∊R当且仅当存在α∊B，x,y∊Aα. 则 R是A上一个等价关系，而且 A/R＝π

定理2 先证 R是A上的等价关系 对于任意的x∊A，存在α∊B，x∊Aα，即有x, x∊Aα, 所以有(x,x)∊R，故R是自反的。对于任意的x,y∊A，若(x,y) ∊R，则存在α∊B, x,y∊Aα, 即有y,x∊Aα, 所以有(y,x) ∊R, 故R是对称的。对于任意x,y,z∊A，若(x,y) ∊R 且(y,z) ∊R，则存在α∊B，x,y∊Aα，而且又存在β∊B，y,z∊Aβ。因为 y∊Aα∩Aβ，所以Aα∩Aβ≠Ø，则Aα=Aβ，即x∊Aβ，所以(x,z) ∊R，故R是传递的。所以 R是A上的等价关系。

定理2 证明 A/R=π 首先证明 A/R⊆π。对于任意的[x]R∊A/R ，因为x∊A，故存在α∊B，X∊Aα，可以证明[x]R=Aα。所以 A/R⊆π。再证明π⊆A/R。对于任意的Aα∊π，因为Aα≠Ø ，故存在x∊Aα，可以证明有[x]R=Aα，即Aα=[x]R ∊A/R。所以π⊆ A/R。

定理2 证明 A/R ⊆ π 对于任意的[x]R∊A/R ，因为x∊A，所以存在α∊B，X∊Aα。要证明[x]R=Aα。对于任意的a∊Aα，有(a,x) ∊R，则a∊[x]R，即有Aα⊆[x]R；反之, 对于任意的a∊[x]R，所以(a,x) ∊R，即存在β∊B，a,x∊Aβ。因为x∊Aα∩Aβ，所以Aα∩Aβ≠Ø，所以Aα=Aβ，从而有a∊Aα，所以[x]R⊆Aα。故[x]R=Aα∊π。所以 A/R⊆π。

例考虑集合A={a,b,c,d}的一个划分: {{a}, {b,c}, {d}} 求该划分所对应的等价关系. 解: R={(a,a), (b,b), (c,c), (b,c),(c,b),(d,d)}

例设A={1,2,3},求出A上所有的等价关系. 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 π 1 π2π3π4π5 R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} R3={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2)} R4={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)} R5={(1,1),(2,2),(3,3)}

划分加细 定义4 A是一个非空集合。π1与π2是集合A上的两个划分，其中 π1= {Aα│α∊B，Ø≠Aα⊆A}, π2= {Aα’│α’∊B’，Ø≠Aα’⊆A}, 若对于任意的α∊B，存在α’∊B’，使得Aα⊆Aα’，则称π1是π2的加细。

划分加细 定理3A是一个非空集合， π1与π2是A上的两个划分: π1= {Aα│α∊B，Ø≠Aα⊆A}, π2= {Aα’│α’∊B’，Ø≠Aα’⊆A}，它们相应的等价关系分别为R1和R2 。则 R1⊆R2当且仅当是 π1是π2的加细。

定理3的证明：“”若R1⊆R2则 π1是π2的加细 对于任意的α∊B，Aα∊π1，存在 a∊A，Aα=[a]R1。对于任意的x∊ [a]R1=Aα，所以有(x,a) ∊R1。根据假设R1⊆R2，得到(x,a) ∊R2，所以有x∊ [a]R2。因为[a]R2∊A/R2=π2，所以存在α’ ∊B’，[a]R2=Aα’∊π2，所以得到x∊Aα’，从而得到Aα⊆Aα’。所以π1是π2的加细。

定理3的证明“”若π1是π2的加细，则R1⊆R2。定理3的证明“”若π1是π2的加细，则R1⊆R2。对于任意的x,y∊A，若(x,y) ∊R1，即x∊ [y]R1，又因为A/R1=π1，所以存在α∊B，[y]R1=Aα 根据假设π1是π2的加细，则存在α’∊B’，Aα⊆Aα’ 于是[y]R1=Aα⊆Aα’，y∊Aα’，且x∊Aα’ 故(x,y) ∊R2. 所以R1⊆R2得证。

例设A是南京理工大学的学生组成的集合。学生们分别属于不同的分院，按学院划分R1是A的一个划分。学生们也分别属于不同的系，按系划分R2也是 A的一个划分。显然， R1与R2都是等价关系，而且 R2⊆R1 所以，R2是R1的加细。

例 (2006年硕士研究生试题)已知R是A上的等价关系, 证明R2也是A上的等价关系。证: (1) 自反性对于∀a∊A, 因为R是自反的，即有 (a,a) ∊R，故由定义知 (a,a) ∊R2。 (2) 对称性对于∀(a,b) ∊R2, 由定义知: 存在c,使得 (a,c) ∊R，且 (c,b) ∊R. 由于R是对称的，有(c,a) ∊R，且 (b,c) ∊R. 由R2定义知有 (b,a) ∊R2。 (3) 传递性对于∀(a,b) ∊R2, (b,c) ∊R2, 存在x,y,有： (a,x) ∊R，且 (x,b) ∊R. (b,y) ∊R，且 (y,c) ∊R. 由于R具有传递性，则有 (x,c) ∊R 进而，由定义知，(a,c) ∊R2.

例 (2004年硕士研究生试题)已知R是集合A上自反的、对称的二元关系, 证明t(R)是A上的等价关系。 ∞ 证明：因为t(R)= ∪Ri是传递闭包，即满足传递性，即要证明自反性与对称性。显然，只需要证明Ri具有自反性与对称性即可。运用数学归纳法证明如下：当i=1时，结论成立。归纳假使当i=k时Rk具有自反性与对称性. 考察i=k+1的情况。对于∀x∊A, (x,x) ∊R, (x,x) ∊Rk, 故由定义知，(x,x) ∊Rk+1. 对于∀(x,y) ∊Rk+1=R∘Rk，存在z∊A, (x,z) ∊R, (z,y) ∊Rk 于是 (z,x) ∊R, (y,z) ∊Rk, 从而，(y,x) ∊Rk+1=Rk∘R 即i=k+1时Rk+1具有自反性与对称性。 i=1

第七章 关系