概率 与 统计 第三讲课程教学中应该注意的 几个方面

1. 概率与统计第三讲课程教学中应该注意的几个方面概率与统计第三讲课程教学中应该注意的几个方面 陈 萍 e-mail:prob123@mail.njust.edu.cn 主页 http://jpkc.njust.edu.cn/gltj/index.htm

2. 一 注意概念的直观含义或实际意义 示例1如何引入事件独立性的概念? ? 将一枚硬币连抛两次，已知第一次抛得正面,则第二次仍抛得正面的概率是多少? 直观上,若事件A发生与否对事件B发生没有影响,即P(B|A)=P(B),则说事件A与B独立.

3. 一 注意概念的直观含义或实际意义 示例1如何引入事件独立性的概念? ? 将一枚硬币连抛两次，已知第一次抛得正面,则第二次仍抛得正面的概率是多少? 直观上,若事件A发生与否对事件B发生没有影响,即P(B|A)=P(B),则说事件A与B独立. 定义 设A、B是两事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。

4. 示例2概率密度的几何意义及正态分布的引入 概率密度的几何意义

5. 示例2概率密度的几何意义及正态分布的引入 概率密度的几何意义

6. 示例2概率密度的几何意义及正态分布的引入 概率密度的几何意义

7. 正态分布 正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。

8. 正态分布 正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。 B A

9. 正态分布 正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。 B A A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？

11. 若随机变量

12. 若随机变量 其中 为实数，>0 ，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).

13. 示例3几类常用随机变量的数学期望

14. 示例3几类常用随机变量的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征

15. 示例3几类常用随机变量的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1.二项分布B(n, p) 图示

16. 示例3几类常用随机变量的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1.二项分布B(n, p) 图示

17. 示例3几类常用随机变量的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1.二项分布B(n, p) 图示 2.泊松分布 图示

18. 示例3几类常用随机变量的数学期望 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1.二项分布B(n, p) 图示 2.泊松分布 图示

19. 二 重视对学生思想方法的指导 示例1、极大似然思想的介绍 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？ 一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想

20. 1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为 现有样本观察值x1,x2,…xn,,其中xk取值于{ak,k=1,2…} 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计q? 根据极大似然思想, 值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个,也就是使 样本联合分布律 最大.

21. 2. 设总体X为连续型随机变量，概率密度f(x;q) 现有样本观察值x1,x2,…xn, 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,…xn估计q? 根据极大似然思想, 值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个,也就是使 样本联合密度最大.

22. 3、似然函数与极大似然估计(p123) 为该总体的似然函数。 定义：若有 使得 则称 为的极大似然估计.记为

23. 示例2 假设检验思想的介绍 分布 基本思想 例1. 设某种产品的次品率为p,若规定次品率不能超过2%,现随机抽取10个产品进行检验，其中含有1个次品，可否认为这批产品合格？ 求检验准则—10个产品中至少有几个次品则判断不合格？ 思路：假定p=2%, 约定α=0.1（小概率）, 记10件样品中的次品数为X，检验准则为 “当Xk时，拒绝这批产品”。 易见k2;

24. 假设检验的基本概念 （一）原假设与备择假设：H0：…；H1：… (二) 检验法则与拒绝域 假设检验的基本思想是”小概率准则”： 1.给定小概率α—显著性水平； 2.假定原假设成立，根据问题背景决定小概率事件W—拒绝域； 3.若(x1, …, xn) 使事件W发生, 则拒绝H0；否则接受H0。 这种从样本出发制定的,参考H1,判断是否拒绝H0的法则称为H0对H1的一个检验法则, 简称检验法

25. ? 在例1中, 约定α=0.1, 则“当X2时，拒绝这批产品”,为何不是”X3”? (三) 检验的两类错误(p143) 称H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。 记 p(I)=p{拒绝H0|H0真}; P(II)=p {接受H0|H0假} 奈曼—皮尔逊 准则： “在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下, 尽量使犯第二类错误概率小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”, 称为显著性水平或检验水平。

26. 三 如何选讲例题 示例1 古典概型的三类问题 1、抽球问题 例1设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解: 设A-----取到一红一白 解法一: 答:取到一红一白的概率为3/5

27. 解法二 可见:随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解. 关键是:计算事件概率时保证分子,分母在同一个样本空间下讨论.

28. 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是

29. 在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。

30. 2、分球入盒问题 例2 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒 (1) (2) 解法一:(用对立事件)

31. (2) 解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中,另一球单独放在另一个盒子中) (2) 解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合空,三号盒空且其余两盒全满这三种情况) 答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3.

32. 一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是： ? 某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？

33. 3.分组问题 例330名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组 30人 (1) (2) (3)

34. 一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法：

35. (2) 解法一 (“3名运动员集中在一个组”包括 “3名运动员都在第一组”, “3名运动员都在第二组”, “3名运动员都在第三组”三种情况.) 30人 (1) (2) (3)

36. (2) 解法二 (“3名运动员集中在一个组”相当于 “取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.) 答:每组有一名运动员的概率为50/203; 3名运动员集中在一个组的概率为18/203. 30人 (1) (2) (3)

37. 4 随机取数问题 例4从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 N(3)=[200/24]=8 (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25

38. 示例2 极大似然估计例题选讲 例1.设X1， … ， Xn为取自参数为的泊松分布总体的样本，求的极大似然估计 注1：若概率分布中含有多个未知参数，则可解方程组

39. 例2 设X1， … ， Xn为取自 总体的样本，求参数 的极大似然估计。 注2：极大似然估计具有下述性质(p125) 若 是未知参数的极大似然估计， u()是的严格单调函数，则u()的极大似然估计为u( ), 例3：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布 总体的样本，a>0为一给定实数。 求p=P{X<a}的极大似然估计

40. 注3*：由似然方程解不出的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上 满足 例4：设X1， … ， Xn为取自 U(0,)总体的样本， >0未知，求参数的极大似然估计。

41. 示例3 容易产生困惑的题目(习题课选题) 问题1. 有两箱同类的零件, 第一箱装50只, 其中10只次品; 第二箱装30只, 其中18只次品.今从两箱中任取一箱,然后从该箱中任取两次,每次取一件,做不放回抽样. 求在第一次取到一件次品的条件下, 第二次仍取到次品的概率q. 设 --Ai第i次取到次品，i=1,2；B—取到第一箱。 解法一： 其中，由全概率公式

42. ? 解法二：如果第一只产品是从第一箱中取的，则第二只仍是次品的概率为9/49 ；如果第一只产品是从第二箱中取的，则第二只仍是次品的概率为 17/29 ；因此，在第一次取到一件次品的条件下,第二次仍取到次品的概率为

43. 我们可以通过以下结构简单些的问题，从样本空间的结构分析这类问题。我们可以通过以下结构简单些的问题，从样本空间的结构分析这类问题。 问题2. 有两箱同类的零件, 第一箱装3只, 其中1只次品; 第二箱装3只, 其中2只次品.今从两箱中任取一箱, 然后从该箱中任取两次,每次取一件,做不放回抽样. 求在第一次取到一件次品的条件下, 第二次仍取到次品的概率q. 用缩减样本空间的方法直接计算 将第一箱的产品编号为1，2，3，第二箱的产品编号为4，5，6。不妨设1，4，5号产品为次品。则本试验的样本空间为：

44. 古典概型 已知事件 发生，则样本空间缩减为 在此缩减的样本空间中，事件 发生的概率为 ， 对比解法一：

45. 解法二：如果第一只产品是从第一箱中取的，则第二只仍是次品的概率为0 ；如果第一只产品是从第二箱中取的，则第二只仍是次品的概率为1/2 ；因此，在第一次取到一件次品的条件下,第二次仍取到次品的概率为

46. 取一种极端的情形则可从直观上说明问题： 问题3. 有两箱同类的零件, 第一箱装3只, 全是次品; 第二箱装3只, 全是正品. 今从两箱中任取一箱, 然后从该箱中任取两次,每次取一件,做不放回抽样. 求在第一次取到一件次品的条件下, 第二次仍取到次品的概率q. 从直观上可以看出，第一次取到的是次品，表明这件产品必然是从第一箱中取的，因此，第二次仍取到次品的概率q=1。现在复制两种解法：

47. 解法一： 解法二：如果第一只产品是从第一箱中取的，则第二只仍是次品的概率为1; 如果第一只产品是从第二箱中取的，则第二只仍是次品的概率为0。因此，在第一次取到一件次品的条件下, 第二次仍取到次品的概率为 。

48. 三 如何实现师生互动 • 课堂提问 • 课堂讨论 • 课堂练习 • 案例教学

49. 案例分析示例—积分的蒙特卡罗计算 蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术平均值，根据大数定律得到问题的解；

50. 例 设a,b有限，0g(x)M,求积分 法一：令Ω={(x,y):axb,0yM},并设(X,Y)是在Ω上均匀分布的二维随机向量，其联合密度函数为 易见， 是Ω中曲线g(x)下方面积。 假设我们向Ω中投点，则点落在y=g(x)下方的概率为 若进行了n次投点，其中n0次中的，则根据大数定律，当n充分大时