* 第一节线性规划问题及其数学模型第二节线性规划问题的图解法第三节单纯形法 * 第四节线性规划的对偶问题 * 第五节线性规划在卫生管理中的应用

第二章线性规划 *第一节线性规划问题及其数学模型 *第二节线性规划问题的图解法 *第三节单纯形法 *第四节线性规划的对偶问题 *第五节线性规划在卫生管理中的应用

*线性规划对偶问题的概念 * 线性规划的对偶单纯形法 * 线性规划的灵敏度分析第四节线性规划的对偶问题

（一）对偶问题的提出 （二）对偶规划的形式 1. 对称形式的对偶问题 2. 非对称形式的对偶问题 3. 一般形式对偶问题（三）对偶规划的基本性质一、线性规划对偶问题的概念

约束条件 变量 Max，≤，变量皆非负 Min，≥ ，变量皆非负价值系数右端常数系数矩阵为 A A 转置矩阵 AT (二) 对偶规划的形式  对偶问题的对应关系  对称形式的对偶问题

等式约束 变量无符号限制 (二) 对偶规划的形式  非对称形式含有等式约束和变量无符号限制  非对称形式的对偶规划的对应关系  一般形式的对偶关系见下表所示 

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设有原线性规划问题，它的矩阵表示如下： 式中 (三) 对偶规划的基本性质

其对偶规划的矩阵表示是 (三) 对偶规划的基本性质这里A，B，C与上面的原规划相同下面我们用矩阵表示法说明对偶问题的基本性质：

性质1线性规划对偶问题的对偶是原问题。 性质2若分别为互为对偶线性规划问题的可行解，则有性质3若分别为互为对偶线性规划问题的可行解，则当时，是最优解。性质4若互为对偶的两个线性规划问题中，有一个有最优解，那么另一个也一定有最优解，且最优的目标函数值相等。性质5原问题的判别数对应着对偶问题的一个解。有了性质5，在求解线性规划问题时，原规划问题单纯形表中的判别数，就是对偶问题的一个解，但符号相反。 (三) 对偶规划的基本性质返回

我们前面介绍的一般单纯形法，是从“可行”(右端项非负）开始，逐步地迭代运算，直到得出最优解。而应用对偶规划的性质，可以找到一种求解线性规划的新方法——对偶单纯形法。对偶单纯形法则是从“不可行”(右端项含负）开始，在保持最优性之下逐步迭代，直到不可行变为可行，即得到可行最优解为止。当对偶问题的约束条件的数目较原问题为少时，应用对偶单纯形法求解较为方便。我们前面介绍的一般单纯形法，是从“可行”(右端项非负）开始，逐步地迭代运算，直到得出最优解。而应用对偶规划的性质，可以找到一种求解线性规划的新方法——对偶单纯形法。对偶单纯形法则是从“不可行”(右端项含负）开始，在保持最优性之下逐步迭代，直到不可行变为可行，即得到可行最优解为止。当对偶问题的约束条件的数目较原问题为少时，应用对偶单纯形法求解较为方便。 (四) 对偶单纯形法

可行(右端项非负） 非最优（检验数非负）最优（检验数非正）不可行(右端项含负）可行(右端项非负）非最优（检验数非负）最优（检验数非正）不可行(右端项含负）可行(右端项非负）最优解（检验数非正）最优（检验数非正）可行解(右端项非负）单纯形法思路（保持可行性）对偶单纯形法思路（保持最优性）

对偶单纯形法的基本思想 对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。 2.检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果得到的基本解的分量皆非负,则该基本解为最优解。 3. 如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。 1.从原规划的一个基本解出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶可行解（检验数非正）,从一个对偶可行解出发. 右端项可正可负检验数非正检验数可正可负可行(右端项非负）不可行(右端项含负）检验数非正非最优（检验数非负）可行(右端项非负）最优解(右端项非负）检验数非正最优解（检验数非正）可行(右端项非负）

例7利用对偶单纯形法求解 解：将原问题化成

再化成标准形 列表用对偶单纯形法求解：

0 S5 0 S6 [-1] -2 1 -1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -3← -2 Zj Cj - Zj 0 0 0 0 0 0 -1 -4 0 -3 0 0 0 -1 x1 0 S6 1 2 -1 1 -1 0 0 -3 [-2] -3 2 1 3 -8← Zj Cj - Zj -1 -2 1 -1 1 0 0 -2 -1 -2 -1 0 -3 -1 x1 0 x3 1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 7 4 Zj Cj - Zj -1 -7/2 0 -5/2 2 1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2 -7 12 3 2/3 1/2 2/3

对偶单纯形法的步骤 (2)以对应的基变量作为换出变量; (1)将原问题化成标准形式：建立初始对偶单纯形表,若 b 列全为非负，判别数行Cj – Zj ≤ 0,则已得最优解，计算停止；若b列中至少有一个负分量，且判别数Cj – Zj ≤ 0，则进行下一步；

（3）检查 所在行的系数若所有的则无可行解，计算停止。若存在则计算确定为换入变量；（4）以为主元素，进行迭代运算，得新表。对偶单纯形法的步骤重复步骤（1）—（4）

对偶单纯形法迭代的要点 1．确定换出变量：选择最负的基本变量为换出变量。 2．确定换入变量：用换出变量那一行具有负值的系数分别去除同列的检验数，取最小商数所对应的变量为换入变量；如果换出变量那一行无负值的系数，则原问题无可行解。 3．初等行运算: 使枢元变为1, 其他枢列位置变为0。 4．最优解检查。如果所得的基本解都是非负的，则此解即为最优解。如果基本解中还有负的数值，则重复第一步继续迭代，直到所有基变量为非负数为止。

对偶单纯形法的优点及用途 1．初始解可以是非可行解，当检验数都是小于等于零时，就可以进行基变换，这样就避免了增加人工变量，使运算简化。 2．对变量较少，而约束条件很多的线性规化问题，可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形法求解，简化计算。 3．用于灵敏度分析。

①单纯形表检验数全部非正（对偶可行） ②变量取值可有负数（非可行解）对偶单纯形法在什么情况下使用应用前提：有一个基，其对应的基满足: 注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯形表。

对偶单纯形法的适用范围 适合于解如下形式的线性规划问题

以上形式的线性规划模型在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。以上形式的线性规划模型在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。 # 返回

(五) 灵敏度分析 系数变化的灵敏度分析它主要考虑两种情况：一是这些系数在什么范围内变化时，已得到的最优解保持不变，或者最优解的基本变量保持不变（但数值有所改变）；二是如果某些系数的变化引起最优解的变化，如何用最简便的方法求出新的最优解。

(五) 灵敏度分析 （一）价值系数c发生变化 1. 非基变量的系数发生变化 2．基变量的系数发生变化 3. 基变量系数和非基变量系数都变化（二）右端项 b发生变化

（一）价值系数c发生变化 1. 非基变量的系数发生变化例8MaxY = 2x1 + 3x2 + x3 1/3 x1 + 1/3 x2 + 1/3 x3 ≤1 1/3 x1 + 4/3 x2 + 7/3 x3 ≤ 3 x1 , x2 , x3 ≥0 MaxY = 2x1 + 3x2 + x3 + 0x4+ 0x5 1/3 x1 + 1/3 x2 + 1/3 x3 + x4 =1 1/3 x1 + 4/3 x2 + 7/3 x3 + x5 = 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0

最优单纯形表 当 -3+Δc3≤0最优解不变可得到Δc3 ≤ 3时，原最优解不变。

2．基变量的系数发生变化 ：设 cs变化为 cs + cs，那么 j’= cj -∑ criarij - (cs + cs ) asj = j - cs as， i≠s 观察所有非基变量：对于极小化问题，只要对所有非基变量j’≥0 ，即j’≥cs asj ，则最优解不变；否则，将最优单纯形表中的检验数j用j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j / asjasj > 0 }≤cs≤Min{ j / asjasj < 0 }

-3 +Δc1≤0 -5 - 4Δc1 ≤0 -1 + Δc1 ≤0 最优解不变 2．基变量的系数发生变化下表为最优单纯形表（考虑基变量系数c1发生变化）

可得到 -5/4 ≤ΔC1 ≤1 时， 原最优解不变。最优值将会出现相应的变化。

x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 =12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0 例9 Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5

下表为最优单纯形表（考虑基变量系数c2发生变化）下表为最优单纯形表（考虑基变量系数c2发生变化）可得到 -3≤Δc2≤1 时，原最优解不变。

3. 若基变量的系数和非基变量 的系数都变化：只要计算非基变量的检验数即可。返回

（二）右端项 b发生变化 设分量 br 变化为 br + br ，根据前面的讨论，最优解的基变量 xB = B-1b，那么只要保持 B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。对于问题MaxZ = cTx Ax ≤ b x ≥ 0

最优单纯形表中含有 B-1 = ( aij）i =1, …, m ; j = n+1, …, n+m 那么新的 xi = (B-1b)i + br air i =1,…, m 由此可得，最优基不变的条件是 Max { -bi/ airair > 0}≤br≤ Min{ -bi / air air <0 }

x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 =12+ Δb3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0 例9 （二）右端项 b 发生变化 Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5 例9的最优单纯形表如下

比如第三个式子中，由4+Δb3 ≥0，解得Δb3≥ -4时最优性不变若Δb 3 = - 8，则 4+（-8）= -4 < 0，改变了最优性，只要再继续迭代即可。见下表

（一）价值系数c发生变化： 1. 非基变量的系数发生变化 2.基变量的系数发生变化 3. 若基变量的系数和非基变量的系数都变化（二）右端项 b发生变化小结四、对偶单纯形法 1.对偶单纯形法迭代的要点 2.对偶单纯形法的优点及用途 3.对偶单纯形法的适用范围五、灵敏度分析

作业 P52 8（2）

* 第一节 线性规划问题及其数学模型 *第二节 线性规划问题的图解法 *第三节 单纯形法 * 第四节 线性规划的对偶问题 * 第五节 线性规划在卫生管理中的应用