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第十四讲. 1. 数字信号处理的理论体系 ----- 信号分析理论 2. 离散哈特莱变换 (DHT). 数字信号处理的理论体系. 1. 信号抽样与采集理论 2. 信号分析理论： Z 变换 离散傅里叶变换 (DFT) 离散余弦变换 (DCT) 离散正弦变换 (DST) 离散哈特莱变换 (DHT). 傅里叶变换的家族成员. 短时傅里叶变换（ STFT ）. 分数阶傅里叶变换 （ FRFT ）. 数字信号处理的理论体系. 3. 离散系统分析 4. 离散系统设计 ( 滤波器设计 ) 5. 随机信号统计分析理论 ;
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第十四讲 1.数字信号处理的理论体系 -----信号分析理论 2. 离散哈特莱变换(DHT)
数字信号处理的理论体系 • 1. 信号抽样与采集理论 • 2. 信号分析理论： Z变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散余弦变换(DCT) 离散正弦变换(DST) 离散哈特莱变换(DHT) 傅里叶变换的家族成员 短时傅里叶变换（STFT） 分数阶傅里叶变换（FRFT）
数字信号处理的理论体系 3. 离散系统分析 4. 离散系统设计(滤波器设计) 5. 随机信号统计分析理论; 6. 信号建模(AR，MA，ARMA) 7. 特征估计(自相关函数，功率谱计) 8. 实现(软件—MATLAB； 硬件--DSP) 9. 应用
数字信号处理的理论体系----信号分析理论 1.信号的描述 信号的主要特征 时域： 连续周期 连续非周期 离散周期 连续非周期 信号的持续时间T：有限长与无限长 频域： 信号带宽B 存在于带宽内的所有频率 在各频率处的相对幅度 所有频率发生的时间
所有实际信号都有起点和终点，时宽T在时域的作用和带宽B在频域的作用相同。对于0<t<T的信号，我们若希望知道信号的能量分布，须对信号做傅里叶变换，即研究其频率特性。所有实际信号都有起点和终点，时宽T在时域的作用和带宽B在频域的作用相同。对于0<t<T的信号，我们若希望知道信号的能量分布，须对信号做傅里叶变换，即研究其频率特性。 “频率”是我们在工程和物理学乃至日常生活中最常用的技术术语之一。截至目前我们在信号（平稳信号）的分析和处理中，当我们提到频率时，指的是Fourier变换的参数---频率f和角频率ω，它们与时间无关。然而对于非平稳信号， Fourier变换不再是合适的物理量。原因：非平稳信号的频率是随时间变化的，所以不再简单地用Fourier变换做分析工具。因此需要提供能给出瞬时频率的变换工具----时频分析。
分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier分析。Fourier变换建立了信号从时（间）域到频（率）域的变换桥梁，而Fourier反变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一的映射，如下式：分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier分析。Fourier变换建立了信号从时（间）域到频（率）域的变换桥梁，而Fourier反变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一的映射，如下式：
Fourier变换从时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。 Fourier变换的局限和算法上的不足： （1）Fourier变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局域性信息。即它不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号是十分重要的。 为了分析和处理非平稳信号，人们对Fourier分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时Fourier变换，分数阶Fourier变换、小波变换、WVD变换等。
（2） Fourier变换的基函数是复指形 式，在计算时须进行复乘和复加。 为解决这一问题：在Fourier变换的基础上提出了以下变换： 哈特莱变换（HT） 离散哈特莱变换(DHT) 离散余弦变换 （DCT） 离散余弦变换 （DST） 这些变换都与Fourier变换紧密相连，且变换的运算均在实数域进行。
离散余弦变换（DCT）是N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法,成为H.261、JPEG、MPEG 等国际上公用的图像压缩编码标准的重要环节。在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT, 变换编码的主要特点有： （1）在变换域里视频图像要比空间域里简单。 （2）视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，可有效地压缩其数据。 （3）具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。通常,对高质量的图像，DMCP要求信道误码率 ，而变换编码仅要求信道误码率 。
4.5 离散哈特莱变换(DHT) • 4.5.1 离散哈特莱变换定义 设x(n),n=0,1,…,N-1，为一实序列，其DHT定义为 唯一性证明：
于是有： 离散哈特莱变换具有唯一性。
4.5.2 DHT与DFT之间的关系 为了便于比较，重写DFT如下： 容易看出，DHT的核函数 是DFT的核函数 的实部与虚 部之和。
将XH(k)分解为奇对称分量XHo(k)与偶对称分量XHe(k)之和将XH(k)分解为奇对称分量XHo(k)与偶对称分量XHe(k)之和 以N/2为对称中心。 由DHT定义有
所以，x(n)的DFT可表示为 • 同理，x(n)的DHT可表示为 • 因此，已知x(n)的DHT，则DFT可用下式求得： DFT与DHT的关系
4.5.3 DHT的主要优点 (1)DHT是实值变换，在对实信号或实数据进行谱分析时避免了复数运算，从而提高了运算效率，相应的硬件也更简单、更经济； (2)DHT的正、反变换(除因子1/N外)具有相同的形式，因而，实现DHT的硬件或软件既能进行DHT，也能进行IDHT； (3)DHT与DFT间的关系简单，容易实现两种谱之间的相互转换。离散Hartley 变换矩阵也是正交阵，且是周期的，周期为N。DHT可用来实现DFT的几乎所有功能，而这些实现都是在实数域进行的。
4.5.4 DHT的性质 1. 线性性质 2. x(N-n)的DHT 其中，当k=0时，XH(N-k)=XH(N)=XH(0)。
3. 循环移位性质 证明 由DHT定义有
4. 奇偶性 奇对称序列和偶对称序列的DHT仍然是奇对称序列或偶对称序列，即DHT不改变序列的奇偶性。 5.循环卷积定理
证明 下面利用DFT的循环卷积定理和DHT与DFT之间的关系来证明 其中，X1(k)=DFT［x1(n)］,X2(k)=DFT［x2(n)］,根据DHT与DFT之间的关系，则有
当x1(n)或x2(n)是偶对称序列时，则由DHT的奇偶性有当x1(n)或x2(n)是偶对称序列时，则由DHT的奇偶性有
数字信号处理的历史回顾 • 数值计算 • 系统仿真 • 复杂算法的尝试 • 快速傅立叶变换 • 离散时间信号的应用 • 未来的展望
数字信号处理的历史回顾 离散时间信号处理以不同寻常的步伐走过了很长一段历史时期，回顾一下这个领域的发展会提供给我们一个很有价值的有关对该领域在现在以及在较长时间内仍然是一些核心基础内容的看法。 • 数值计算 自17世纪发明微分以来，科学家和工程师们就已经利用连续变量函数和微分方程来表示物理现象建立了各种模型。为了求解这些方程，当解析解不可能得到时就已经使用了数值解法。的确，牛顿使用过的有限差分法就是早期的数值计算方法。 18世纪的数学家，像欧拉（Euler）、伯努利（Bernouli）、和拉格朗日（Lagrange）等已经建立了一个连续变量函数的数值积分和内插方法。在1805年，高斯提出快速傅立叶变换的基本原理，而这时傅立叶关于函数的谐波级数表示法的论文尚未发表！
数字信号处理的历史回顾 直到20世纪50年代初，信号处理还是用模拟系统来完成的，实现这些模拟系统多是用电子线路，甚至还有用机械装置的。其时数字计算机已逐渐在商业场合和科学实验室获得应用，但其价格却异常昂贵，能力也相当有限。在这一时期，某些应用领域对更为复杂的信号处理的需求激发了人们对信号处理的极大兴趣。这一阶段离散时间信号处理只适用于数值计算，几秒钟的数据往往要耗去几分钟，甚至几个小时的计算时间，因此一般来说是不能实时完成的。即便如此，由于数字计算机的灵活性和潜在的能力使得这种方法也颇受欢迎。
数字信号处理的历史回顾 • 系统仿真 同样还是在50年代，数字计算机在信号处理方面还有另外一些不同的形式。由于数字计算机的灵活性，在用模拟硬件实现某一信号处理系统之前，在数字计算机上先对该系统进行仿真往往是很有用的。在这种方式下，在系统实际实现之前，首先在计算机上对系统性能进行仿真。这类仿真的典型例子就是由林肯实验室和贝尔实验室所研究成的声码器的仿真。例如，在一个模拟信道声码器的实现中，滤波器的特性会影响已编码语音信号可理解程度的质量，而对这种质量又很难客观地进行定量研究。通过计算机仿真可以调节这些滤波器特性，从而对语音编码系统可理解程度的质量能在模拟装置构成之前就能给予评估。
绪论----数字信号处理的历史回顾 • 复杂算法的尝试 在数字计算机上实现数字信号处理的同时，研究人员自然有一种愿望要试试日益增长的一些复杂的信号处理算法。其中一些算法就是由于数字计算机的灵活性而生长起来的，而用模拟设备是无法实现的。因此，很多算法都曾被看作是一些有趣的，但多少有些不切实际的想法。这样一些信号处理算法的发展使得用全数字化来实现信号处理系统的想法更具诱惑力。最初在数字声码器、数字频谱分析仪以及其它全数字化系统的研究上就开始了积极有效的工作，希望这样一些系统最终会变成可以实际应用的系统。
数字信号处理的历史回顾 • 快速傅立叶变换 Cooley和Tukey（1965）发现的一种计算傅立叶变换的高效算法进一步加速了迈向离散时间信号处理的进程。这种算法就是现在成为快速傅立叶变换或FFT算法。 FFT的意义：当时用数字计算机实现的许多信号处理算法所要求的处理时间要比实时处理大几个数量级，而在当时却没有一种高效的算法来实现它。快速傅立叶变换算法将傅立叶变换的计算时间减少了几个数量级，使得一些复杂的信号处理算法的实现在其处理时间内允许与系统之间可以在线交互试验。再者，快速傅立叶变换算法事实上可以用专用数字硬件来实现，因此曾认为是不切实际的数字信号处理算法开始显露出具体实现的可能。
数字信号处理的历史回顾 快速傅立叶变换算法的另一个重要的内涵就是它本身属于离散时间范畴。它可以直接计算离散时间信号或序列的傅立叶变换，并且它所涉及到的许多性质和数学方法完全属于离散时间的范畴；这就是说，它不只是一个对连续时间傅立叶变换的近似。由此激发了人们用离散时间数学方法来重现形成很多数字信号处理的概念和算法，这些概念和算法构成了完整的离散时间域内信号处理的理论体系。也使得离散时间信号处理成为一门单独的重要研究领域。
数字信号处理的历史回顾 • 离散时间信号的应用 离散时间信号处理发展史上一个主要进展出现在微电子学领域。微处理器的发明及其在数量上的激增为离散时间信号处理的廉价实现铺平了道路。尽管第一台微处理器因速度太慢而不能实时地实现大部分离散时间系统。但是到了80年代中期，集成电路技术已经发展到了一个新的水平，能够制造出在结构上专门为实现离散时间信号处理算法而设计的高速定点和浮点微型计算机。由此展现出离散时间处理技术获得广泛应用的灿烂前景。
数字信号处理的历史回顾 • 未来的展望 微电子学的工程师们仍在继续为提高电路的集成度和产量而奋斗着，因此微电子学系统的复杂性和先进程度也在不断的稳步提高。的确，自80年代以来，DSP芯片的复杂性和容量一直成指数地增长着，并且没有任何放慢的迹象。随着单片集成技术的迅速发展，价廉、超微型和低功耗的和很复杂的离散时间处理系统也将会实现。因此，离散时间信号处理的重要性无疑仍会与日俱增，而且未来这一领域的发展很可能比我们刚刚描述的发展进程更富戏剧性。
